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Analise_Circuitos/Analise_Circuitos_Magneticos_2014.pdf
Circuitos Magnéticos 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
1
1 Circuitos magnéticos nas condições de corrente 
contínua 
1.1 Introdução. Substâncias ferromagnéticas e não-
ferromagnéticas 
Da física sabe-se que pelas suas propriedades magnéticas todas as substâncias 
podem dividir-se em diamagnéticas, paramagnéticas e ferromagnéticas. 
Substâncias diamagnéticas são aquelas que tendem a desviar-se de um campo 
magnético mais forte e a sua permeabilidade relativa r é ligeiramente inferior à 
unidade (para o bismuto é 0.99983). 
Substâncias paramagnéticas são aquelas que têm uma permeabilidade relativa r 
ligeiramente superior à unidade (para a platina é 1.00036). 
Substâncias ferromagnéticas são as que têm valores altos de permeabilidade relativa 
r, até 104 ou mesmo 106, tais como ferro, níquel, cobalto, etc. 
Para o nosso estudo basta classificá-las simplesmente em ferromagnéticas e não-
ferromagnéticas. As primeiras incluem substâncias de permeabilidade relativa muitas 
vezes maior que a unidade, enquanto que as últimas têm permeabilidades relativas 
praticamente iguais à unidade. 
 
1.2 Parâmetros do campo magnético 
Os parâmetros de um campo magnético são a intensidade magnética (ou grandeza do 
campo magnético) H, indução magnética (ou densidade de fluxo magnético) B, e 
magnetização J. 
A intensidade magnética H em qualquer ponto de um campo magnético é definida pela 
força que produz, ou com a qual está associada, a indução magnética no mesmo 
ponto. 
A indução magnética B em qualquer ponto de um campo magnético é a quantidade 
vectorial que determine a f.e.m. induzida num condutor elementar que se move 
através do campo nesse ponto. 
A magnetização J em qualquer ponto de um campo magnético é definida como o 
momento magnético por unidade de volume. 
As três quantidades estão relacionadas pela expressão abaixo: 
)(0 JHB  
Eq. 1 
em que 0 é a permeabilidade do vácuo. 
A unidade de indução magnética é o tesla que é igual a um weber por metro quadrado. 
A magnetização J em qualquer ponto de um campo magnético é um vector que tem a 
mesma direcção de H nesse ponto e é directamente proporcional à intensidade 
magnética (no interior da substância). Assim: 
Circuitos Magnéticos 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
2
HJ  
Eq. 2 
em que  é a susceptibilidade magnética da substância e é por sua vez uma função 
de H. Substituindo a Eq. 2 na Eq. 1 e pondo r 1 , temos: 
HB r0 
Eq. 3 
No sistema internacional de unidades 0 = 4 x10-7 henry/m = 1,256x10-6 henry/m. 
A permeabilidade relativa de um meio,r, é igual à razão entre a permeabilidade desse 
meio e a permeabilidade do vazio, e assim é uma grandeza sem dimensões. Para as 
substâncias ferromagnéticas é uma função de H. 
O fluxo magnético  através de uma área S é o integral duplo da componente normal 
do vector indução magnética ao longo da área, ou 

S
dSB 
Eq. 4 
Em que dS é um elemento da área S. 
Os circuitos são em geral resolvidos em função de B e H. Quanto a J raras, vezes é 
usado. Quando necessário, o seu valor pode ser tirado da Eq. 1. 
 
1.2.1 Propriedades básicas das substâncias ferromagnéticas 
As propriedades magnéticas das substâncias ferromagnéticas são convenientemente 
representadas desenhando as curvas de B em função de H. 
Como é sabido da física as substâncias ferromagnéticas apresentam um atraso entre 
a indução magnética e a intensidade magnética aplicada chamado de histerese. O 
fenómeno de histerese é análogo ao da inércia mecânica, e, falando aproximadamente 
é devido à fricção entre os domínios. Devido à histerese, para um dado ciclo 
magnético, B tem dois valores para cada valor de H, um quando H aumenta e outro 
quando H diminui. A curva resultante é fechada e é conhecida como ciclo de histerese 
de uma dada substância. Pode haver ciclos simétricos e assimétricos. 
A Fig. 1, mostra um conjunto de ciclos de histerese simétricos. Estes são obtidos 
quando uma substância magnética é colocada num campo magnético alternado de 
uma intensidade suficiente para levar a indução magnética ao máximo; sendo depois a 
grandeza do campo progressivamente diminuída, a substância apresenta ciclos de 
histerese de área progressivamente menor. Para cada máximo + B há um máximo –B 
igual em grandeza. O mesmo se passa com H. As extremidades dos ciclos limitam 
uma curva chamada curva de magnetização normal. Para valores muitos altos de H, 
as curvas de H crescente e de H decrescente são quase coincidentes em  Hmax. 
Para uma substância que nunca foi magnetizada (isto é, no estado virgem), podem ser 
necessários muitos ciclos de magnetização até se obter um ciclo fechado. O que se 
Circuitos Magnéticos 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
3
obtém para Hmax designa-se por ciclo limite de histerese, e diz-se que a substância 
está magnetizada ciclicamente. 
 
 
Fig. 1 
 
Quando a intensidade magnética é reduzida a partir do valor de saturação, a indução 
magnética apresenta um atraso em relação a intensidade magnética aplicada. Para H 
reduzido a zero, a indução magnética está ainda perto do seu valor de saturação e é 
igual a Br, indução residual ou remanescente. Para reduzir B a zero, aplica-se um 
campo magnético negativo Hc chamado de força coerciva. A porção Br Hc do ciclo de 
limite de histerese chama-se de curva de desmagnetização. Ela dá quase todas as 
características requeridas numa substância para ser usada como íman permanente ou 
como memória de computadores. 
 
1.3 Lei de Ampere 
Uma corrente eléctrica passando através de um condutor produz um campo magnético 
na sua vizinhança. A relação quantitativa entre a circulação do vector intensidade 
magnética H ao longo de qualquer percurso fechado e a corrente total  I limitada 
por este percurso é dada por 
  IldH

 
em que o sentido positivo de integração (dl) e o sentido positivo da corrente estão 
relacionados pela regra do saca-rolhas. 
Esta é muitas vezes conhecida como a lei de Ampere. Ela traduz uma relação 
empírica e pode provar-se experimentalmente com, o anel de Rowland. 
 
Circuitos Magnéticos 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
4
1.4 Força magnetomotriz 
A força magnetomotriz (f.m.m.), F, de uma bobina percorrida por uma dada corrente é 
dada pelo produto do número de espiras, N, da bobina, pela corrente , I, que circula 
nas espiras da bobina, sendo a sua unidade o Ampere-espira. 
A força magnetomotriz (f.m.m.), F, dá origem a um fluxo magnético num circuito 
magnético, do mesmo modo que uma f.e.m. dá uma corrente eléctrica num circuito 
eléctrico. 
Como a f.e.m., a f.m.m. é uma quantidade vectorial. O seu sentido positivo está 
indicado na Fig. 2 por uma seta. Este sentido pode ser encontrado aplicando-se a 
regra do saca-rolhas: Fazendo rodar a cabeça do saca-rolhas no sentido da corrente 
na bobina, o movimento progressivo do saca-rolhas dará o sentido da f.m.m. Como 
alternativa pode usar-se a regra da mão direita para um enrolamento condutor de uma 
corrente: Se a bobina é agarrada de modo que os dedos apontem na direcção de 
deslocamento da corrente, o polegar estendido apontará na direcção do campo 
magnético originado pela corrente. 
 
Fig. 2 
 A Fig. 2 mostra em esboço várias formas de bobinadas enroladas num núcleo e 
os respectivos sentidos da f.m.m., F. 
 
1.5 Diferença de potencia magnético 
A diferença de potencial magnético entre dois pontos a e b de um campo magnético é 
o integral escalar da intensidade magnética entre esses pontos. 

b
a
Mab ldHV

 
Eq. 5 
Se H entre os dois pontos é constante e tem a mesma direcção que o elemento de 
percurso dl, estão H dl = H dl cos 0º, e H pode ser colocado fora do sinal de 
integração. Então, 
ab
b
a
Mab lHdlHV   
Eq. 6 
Em que lab é o percurso entre os pontos a e b do campo magnético. Como a f.m.m., a 
diferença de potencial
magnético mede-se em ampere-espira. 
Circuitos Magnéticos 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
5
Se o circuito magnético entre dois pontos de um campo magnético pode ser dividido 
em n partes de modo que para cada parte H = Hk seja constante, então 



n
k
kkMab lHV
1
 
Eq. 7 
1.6 Lei de Ohm para um circuito magnético 
Por definição, a diferença de potencial magnético de um circuito magnético é 
lHVM  
Por outro lado 
 
S
BH
rr  00

 
em que  é o fluxo magnético, e S a secção transversal do circuito magnético. 
Consequentemente, 
 
S
l
V
r
M 0
 
ou 
MM RV  
Eq. 8 
em que 
S
lR
r
M 0
 
Eq. 9 
é chamada de resistência magnética ou, de preferência de relutância. 
 
1.7 Leis de Kirchoff para os circuitos magnéticos 
Como para os circuitos eléctricos, também os circuitos magnéticos podem ser 
convenientemente calculados da 1ª e 2ª leis de Kirchoff. 
A 1ª lei de Kirchoff para os circuitos magnéticos baseia-se na continuidade do fluxo 
magnético. Ela diz-nos que a soma algébrica dos fluxos magnéticos em qualquer nó 
de um circuito magnético é zero. 
 0 
Eq. 10 
A 2ª lei de Kirchoff para os circuitos magnéticos estabelece que a soma algébrica das 
diferenças de potencial magnético ao longo de qualquer percurso fechado é igual à 
soma algébrica das forças magnetomotrizes ao longo do mesmo percurso. 
Circuitos Magnéticos 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
6
 
   INFVM 
Eq. 11 
Antes de se escreverem as equações para um circuito magnético aplicando as leis de 
Kirchoff, deve-se arbitrar um sentido positivo para os fluxos nos vários ramos e para o 
somatório ao longo do circuito. Se o fluxo numa porção do circuito tem o sentido do 
somatório a diferença de potencial magnético desta porção entrará no termo do 
somatório com sinal positivo, e caso contrário com o sinal negativo. Do mesmo modo, 
se a f.m.m. de uma porção do circuito tem o sentido do somatório, entrará no termo do 
somatório, com sinal positivo e caso contrário com sinal negativo. 
 
Como exemplo, escrevamos as equações de Kirchoff para o circuito ramificado da Fig. 
3, que tem três ramos e duas f.m.m. 
 
 
Fig. 3 
Suponhamos que os fluxos (1, 2 e 3) se dirigem todos para o nó a. 
Para a 1ª lei teremos: 
0321   
Para a 2ª lei teremos: 
2122221111 FFHlHHlH    
 
133331111 FlHlHHlH   
Analise_Circuitos/Analise_Circuitos_Quadripolos_2014.pdf
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1
Teoria de Quadripolos
Quadripolo é um circuito eléctrico com dois terminais de entrada e dois
terminais de saída. Neste dispositivo são determinadas as correntes e
tensões nos terminais de entrada e saída e não no interior do mesmo.
Analise_Circuitos_2014 1
CZ1E 1U 2U
1I 2I
m
n
p
q
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 2
Classificação dos quadripolos
Lineares – quando contém apenas elementos lineares.
Não Lineares – quando contém pelo menos um elemento não linear
Activo – quando contém fontes de tensão ou de corrente ou ambas.
Passivo – quando não contém nenhuma fonte.
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014
3
A
Quadripolo activo
P
Os quadrípolos podem ser simétricos e não simétricos. Um quadrípolo
designa-se simétrico se aos trocarmos o posicionamento da fonte e da
carga, as respectivas tensões e correntes não mudarem
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 4
CZ1E 1U 2U
1I 2I
m
n
p
q
CZ1E 1U 
2U 
1I  2I 
m
n
p
q
Para o quadrípolo simétrico:
2222
1111
;
;
UUII
UUII


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2
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 5
Descrição Matemática dos quadripolos
Para um quadrípolo pode-se determinar o número de
combinações possíveis aplicando a relação:
6
)24(!2
!42
4 

C





2221212
2121111
UYUYI
UYUYI1. Modelo Y
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 6
2. Modelo Z





2221212
2121111
IZIZU
IZIZU
3. Modelo A





2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
4. Modelo H





2221212
2121111
UHIHI
UHIHU
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 7
5. Modelo G





2221212
2121111
IGUGU
IGUGI
6. Modelo B





1221212
1121112
IBUBI
IBUBU
Nas equações (modelos) apresentadas Y, Z, A, H, G e B são
parâmetros gerais do quadrípolo e dependem:
a) Do modo como os elementos estão ligados no interior do
quadrípolo;
b) Dos valores das impedâncias e da frequência
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 8
Para qualquer quadrípolo estes coeficientes podem ser calculados ou
determinardos experimentalmente.
Pressupõ-se que tanto a carga como as tensões de entrada podem
variar, enquanto que as configurações das ligações internas e as
impedâncias permanecem inalteradas.
No estudo que faremos vamo-nos basear no modelo de parâmetros A
Na obtenção do modelo A, foi suposto que
qpCnm UZIUUUE  2211 ;
Pelo teorema da compensação, a impedância de carga pode ser
substituída por uma fem com sentido contrário ao da corrente na carga
e numericamente igual a tensão na carga.
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3
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 9
1E 1U 2U
1I 2I
m
n
p
q
CZIE 22 
Escrevamos as expressões das correntes em função das fem e das
admitâncias.





)2(
)1(
2221212
2121111
EYEYI
EYEYI
Obtenção dos parâmetros do modelo A
Nestas equações Y11 e Y22 são admitâncias
próprias e Y12 e Y21 são admitâncias de
transferências e Y12=Y21.
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 10
De (2) pode-se escrever: )3(1
2
12
2
12
22
1 I
Y
E
Y
YE 
Substituindo (3) em (1): )4(2
12
11
2
12
2
122211
1 I
Y
YE
Y
YYYI 


12
11
22
12
2
122211
21
12
12
12
22
11 ;;1;
Y
YA
Y
YYYA
Y
A
Y
YA 


Subistituindo as fem pelas respectivas tensões, os paramentros
A resultantes são:
Analise_Circuitos_2014 11
Teoria de Quadripolos
Consideremos o caso em que trocarmos o posicionamento da fonte e da
carga





)6(
)5(
1222211
1122112
EYEYI
EYEYI
CZ1E 1U 
2U 
1I  2I 
m
n
p
q
De (5) pode-se escrever: )7(1
2
12
2
12
11
1 I
Y
E
Y
YE 
Analise_Circuitos_2014 12
Teoria de Quadripolos
Substituindo (7) em (6): )8(2
12
22
2
12
2
122211
1 I
Y
YE
Y
YYYI 


Substituindo as fem pelas respectivas tensões, o modelo de
parâmentros A resultantes, neste é:





2112211
2122221
IAUAI
IAUAU
Os parâmentros lineares A são relacionados por: 121122211  AAAA
No caso de um quadrípolo simétrico: 2211 AA 
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4
Analise_Circuitos_2014 13
Teoria de Quadripolos
Determinação dos coeficientes de quadripolos
Os coeficientes complexos do modelo A pdem ser determinados :
1. Analiticamente conhecendo a configuração do esquema das ligações
internas e parâmetros dos elementos;
2. Analiticamente usando os regimes de marcha em vazio e curto-
circuito;
3. Experimentalmente usando os regimes de marcha em vazio e curto-
circuito;
4. Analiticamente usando as configurações equivalentes em T ou em Π;
5. Analiticamente representando um quadrípolo complexo por meio de
quadrípolos simples, com ligações em série, em cascata ou em
paralelo.
Analise_Circuitos_2014 14
Teoria de Quadripolos
21
11
10
10
10
202110
201110
A
A
I
UZ
UAI
UAU







1. O método analítico no caso em que se conhecem a configuração do
esquema das ligações internas e os parâmetros dos elementos será
analisado na aula prática.
2. Método da marcha em vazio e curto-circuito
1U 2U
1I 2I
m
n
p
q
a) Terminais p e q em vazio, isto é, I2= 0
Analise_Circuitos_2014 15
Teoria de Quadripolos
b) Terminais p e q em curto-circuito, isto é, U2= 0
22
12
1
1
1
2221
2121
A
A
I
UZ
IAI
IAU
cc
cc
cc
cccc
cccc 






c) Terminais m e n em curto-circuito, isto é, U2= 0
2U 1U
2I 1I
m
n
p
q





2112211
2122221
IAUAI
IAUAU
11
12
1
1
2
2111
2121
A
A
I
UZ
IAI
IAU
cc
cc
cc
cccc
cccc 






Analise_Circuitos_2014 16
Teoria de Quadripolos














121122211
11
12
2
22
12
1
21
11
10
AAAA
A
AZ
A
AZ
A
AZ
cc
cc
Pode-se formar o sistema de quatro
equações com quatro incógnitas:
De onde podem ser obtidos os valores
dos parâmetros:
cc
cc
cccc
cc
Z
AA
Z
AAZAA
ZZZ
ZZA
1
12
22
10
11
2121112
1102
110
11 ;;;
)(



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Analise_Circuitos_2014 17
Teoria de Quadripolos
3. Método experimental da marcha em vazio e curto-circuito
Neste método, os valores anteriormente calculados analiticamente são
obtidos experimentalmente, recorrendo-se ao esquema apresentado no
qual são medidos três valores: tensão, corrente e potência.
O mesmo esquema é utilizado no caso de curto-circuito dos terminais p
e q e m e n.
Analise_Circuitos_2014 18
Teoria de Quadripolos
No caso do esquema apresentado, por exemplo, são medidos os valores:
101010 ,, PIU
101010
1010
10
10
10
10
10 arccos;   ZZ
IU
P
I
UZ

Com base nestes valores são obtidos :
O mesmo procedimento é feito nos casos de curto-circuito dos terminais p
e q e curto-circuito dos terminais m e n.
Analise_Circuitos_2014 19
Teoria de Quadripolos
Impedância característica de um quadrípolo
Num quadrípolo, o quociente da tensão de entrada pela
corrente de entrada designa-se impedância de entrada enZ
CZ1U 2U
1I 2I
m
n
p
q 222221
212211
1 IAUA
IAUAZen 


Como:
2222 ZIZIU C 
22221
12211
1 AZA
AZAZen 


Analise_Circuitos_2014 20
Teoria de Quadripolos
1Z 2U 2U
2I 1I
m
n
p
q





2112211
2122221
IAUAI
IAUAU
)(;)(
;
1221
122
11121
12122
1
1
2
ZfZZfZ
ZIU
AZA
AZA
I
UZ
enen
en




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6
Analise_Circuitos_2014 21
Teoria de Quadripolos
Estabelece-se que para um
quadrípolo não simétrico
existem tais valores
caractcaract ZZZZ 1122 , 
caracten ZZ 11  Quando nos terminais pq está ligada a impedância
de carga
caractac ZZZ 22arg 
Quando nos terminais mn está ligada a impedância
de carga
caracten ZZ 22 
caractac ZZZ 11arg 
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 22
As impedâncias caractcaract ZZ 21 , São designadas impedâncias
características.
22221
12211
11 AZA
AZA
ZZ
caract
caract
encaract 


11121
12122
22 AZA
AZA
ZZ
caract
caract
encaract 


2221
1211
1 AA
AAZ caract 
1121
1222
2 AA
AAZ caract 
Para um quadrípolo simétrico:
21
12
21 A
AZZ caractcaract 
Analise_Circuitos_2014 23
Teoria de Quadripolos
4. Método Analítico usando as configurações equivalentes 
em T ou em Π
3Z


1U 2U
1I
3I
2I
2Z
1Z
321
2222211
2122111 ; III
IAUAI
IAUAU






3
2
22
3
21
2
3
2
2
3
1
3
222
333222
1
1
;)1(1
0
Z
ZA
Z
A
I
Z
ZU
Z
I
Z
UZIIZIUZI





Analise_Circuitos_2014 24
Teoria de Quadripolos
21
3
21
22
2
21
11
1
3
21
2112
3
1
11
2
3
21
212
3
1
222111
1;1;1
;1
)()1(
A
Z
A
AZ
A
AZ
Z
ZZZZA
Z
ZA
I
Z
ZZZZU
Z
ZUZIZIU







21-07-2014
7
Analise_Circuitos_2014 25
1Z


1U 2U
1I 2I


2Z 3Z
1

I
Teoria de Quadripolos
112
3
1
11
212
3
1
212
3
2
1
2
3
2
12111
;1
)1()(
;
ZA
Z
ZA
IZU
Z
ZUZI
Z
UU
I
Z
UIUZIU



2
1
22
32
321
212
2
1
2
32
321
1
2
3
2
212
3
1
2
1
2
1
1
1;;)1(
])1[(1
Z
ZA
ZZ
ZZZAI
Z
ZU
ZZ
ZZZI
I
Z
UIZU
Z
Z
Z
I
Z
UI






Analise_Circuitos_2014 26
Teoria de Quadripolos
5. Acoplamento de quadrípolos
a) Cascata
aI1 aI2 bI1 bI2
aU1 aU 2 bU2
bU1
1U 2U
1I 2I
Analise_Circuitos_2014 27
Teoria de Quadripolos




































a
a
b
b
b
b
a
a
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1 ;;








































































2
2
2221
1211
2
2
2221
1211
2221
1211
1
1
2
2
2221
1211
1
1
2
2
2221
1211
1
1 ;
I
U
AA
AA
I
U
AA
AA
AA
AA
I
U
I
U
AA
AA
I
U
I
U
AA
AA
I
U
ba
bbbaaa
Analise_Circuitos_2014 28
Teoria de Quadripolos
b) Série
aI1 aI2aU1 aU 2
bI1 bI2 bU2bU1
1U
1I 2I
2U
1U 2U
1I 2I
21-07-2014
8
Analise_Circuitos_2014
29
Teoria de Quadripolos














































































































2
1
2221
1211
2221
1211
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
2
1
2221
1211
2
1
;;
;
I
I
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
U
U
U
U
U
U
U
U
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
ZZ
ZZ
U
U
I
I
ZZ
ZZ
U
U
ba
baaba
bbbaaa
No caso do acoplamento em série o modelo prárico para se utilizar é o Z:
Analise_Circuitos_2014 30
Teoria de Quadripolos
c) Paralelo
aU1 aI1
aU 2
aI2
bI1bU1 bU2bI2
1U 1I
2U
2I 1U 2U
1I 2I
Analise_Circuitos_2014 31
Teoria de Quadripolos


































































































2
1
2221
1211
2221
1211
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
2
1
2221
1211
2
1 ;
U
U
YY
YY
YY
YY
I
I
I
I
I
I
U
U
U
U
U
U
U
U
YY
YY
I
I
U
U
YY
YY
I
I
baba
ba
bbbaaa
No caso do acoplamento em paralelo a obtenção do quadrípolo resultante
torna-se efectivo com o modelo Y:
Analise_Circuitos_2014 32
Teoria de Quadripolos
Transformacao do modelo A em outros e vice-versa
a) A em Z e vice-versa






























2
21
22
1
21
2
2
21
1
21
11
1
2
21
22
1
21
2
2
21
22112112
1
21
11
1
2
21
22
1
21
2
212
21
2211
1
21
11
1
2222211
2122111
1
1
1
1
)(
)2(
)1(
I
A
AI
A
U
I
A
I
A
AU
I
A
AI
A
U
I
A
AAAAI
A
AU
I
A
AI
A
U
IA
A
AAI
A
AU
IAUAI
IAUAU
21-07-2014
9
Analise_Circuitos_2014
33
Teoria de Quadripolos
21
22
22
21
21
21
12
21
11
11 ;1;1;
A
AZ
A
Z
A
Z
A
AZ 
21
22
22
21
21
21
22112112
12
21
11
11
2
21
22
2
21
1
2
21
22112112
2
21
11
1
2221212
2121111
;1;.;
1
.
)4(
)3(
Z
ZA
Z
A
Z
ZZZZA
Z
ZA
I
Z
ZU
Z
I
I
Z
ZZZZU
Z
ZU
IZIZU
IZIZU
















Analise_Circuitos_2014 34
Teoria de Quadripolos
b) A em Y e vice-versa






























2
12
11
1
12
2
2
12
1
12
22
1
2
12
11
1
12
2
2
12
11221221
1
12
22
1
2
12
11
1
12
2
2
12
11
1
12
222211
2222211
2122111
1
1
1
1
)1(
)2(
)1(
U
A
AU
A
I
U
A
U
A
AI
U
A
AU
A
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U
A
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A
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U
A
AU
A
I
U
A
AU
A
AUAI
IAUAI
IAUAU
Analise_Circuitos_2014 35
Teoria de Quadripolos
12
11
22
12
21
12
12
12
22
11 ;1;1;
A
AY
A
Y
A
Y
A
AY 
21
11
22
21
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1221
21
12
21
22
11
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21
11
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2211
121
2
21
2
21
22
1
2221212
2121111
;;1;
)(
1
Y
YA
Y
YYYA
Y
A
Y
YA
I
Y
YU
Y
YYYI
I
Y
U
Y
YU
UYUYI
UYUYI














1221122121122211 ;;1 YYZZAAAA 
Analise_Circuitos_2014 36
Teoria de Quadripolos
Concordância de um quadrípolo instalado entre uma 
fonte de CA e a carga para obtenção de potência 
máxima na carga
CZ1E
m
n
p
q
1entZ 2entZ
intZ








arg2
1
cent
iten
ZZ
ZZ
Analise_Circuitos/Analise_Circuitos_Transformadores_2014.pdf
Transformadores 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
 
 
1 Transformadores 
O transformador é destinado a transformação de uma corrente alternada primária noutra 
corrente secundária, com a mesma frequência, tendo no caso geral outras características, 
nomeadamente tensão e corrente, diferentes. 
Um transformador é constituído por um núcleo em chapa de aço de transformador, por 
dois ou mais enrolamentos acoplados electromagneticamente e, no caso particular de 
um auto-transformador, com acoplamento eléctrico. 
De acordo com o número de enrolamentos, o transformador pode ser de dois, três ou de 
vários enrolamentos. Consoante o tipo de corrente os transformadores podem ser 
monofásicos, trifásicos ou polifásicos. 
Ao enrolamento do transformador que absorve energia designamos por primário e ao 
outro enrolamento, que fornece energia, chamamos secundário. Todas as grandezas do 
transformador relacionadas com o enrolamento primário, são igualmente chamadas de 
primárias (exemplo, corrente, tensão, etc.) e, as relacionadas com o secundário são 
designadas por secundárias. 
Ao enrolamento do transformador ligado à rede com tensão mais elevada chamamos de 
enrolamento de alta tensão (AT); o enrolamento ligado à rede de tensão mais inferior 
designamos por enrolamento de baixa tensão (BT). Se a tensão do secundário é inferior 
à do primário, dizemos que o transformador é abaixador e, quando a tensão do 
secundário é superior que a do primário, dizemos que o transformador é elevador. 
 
1.1 Princípio de funcionamento de um transformador 
Considere-se dois enrolamentos de material condutor com posição relativa fixa, entre os 
quais há ligação magnética, isto é, o fluxo ligado com cada enrolamento depende das 
duas correntes em jogo. 
u1 u2
i1 i2A
X
a
x
 
Fig. 1 Esquema representativo de um transformador monofásico 
 
Transformadores 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
 
 
A Fig. 1 mostra o esquema representativo de um transformador monofásico. Se aos 
terminais A - X de um dos enrolamentos se aplica uma tensão proveniente de uma rede 
de corrente alternada, no segundo enrolamento, sob a acção do fluxo magnético comum 
aos dois enrolamentos, aparecerá uma fem alternada e caso uma carga for conectada aos 
terminais a – x uma corrente circulará através desta. Deste modo é feita a transferência 
de energia, com corrente alternada, do circuito primário para o circuito secundário. 
Para reforçar o acoplamento electromagnético dos dois enrolamentos utiliza-se o núcleo 
do transformador, constituído por chapas de aço do transformador. Para transformar a 
tensão e corrente primárias em corrente e tensão secundárias é necessário calcular, e 
executar de forma conveniente, os enrolamentos primário e secundário. 
 
1.2 Equações de fmm e de fem de um transformador 
A análise do funcionamento de um transformador baseia-se nas equações de fem dos 
enrolamentos primário e secundário e na equação da fmm. 
Seja u1 for o valor o valor instantâneo da tensão aplicada aos terminais A – X do 
enrolamento primário do transformador, proveniente de uma rede de frequência f, i1 e i2 
os valores instantâneos das correntes nos enrolamentos primário e secundário. 
As correntes i1 e i2 desenvolvem as fmm primária e secundária i1w1 e i2w2, em que w1 e 
w2 são os números de espiras, ligadas em série, nos enrolamentos primário e secundário. 
De acordo com a 2ª lei de Kirchoff para circuitos magnéticos: 
 
102211 wiwiwi  
Eq. 1 
ou 
102211 wiwiwi  
Eq. 2 
em que i0w1 é a componente magnetizante necessária para criar, no núcleo do 
transformador, um fluxo cujo valor é t, que se reparte de um modo praticamente 
uniforme pela secção do núcleo e atravessa as espiras dos enrolamentos primário e 
secundário. Este fluxo é o mais importante sendo designado por fluxo principal. 
O fluxo principal, cria nos enrolamentos primário e secundário do transformador, fem 
dt
d
dt
dwe 10t
11

 
Eq. 3 
Transformadores 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
 
 
dt
d
dt
d
we 20t
22

 , 
Eq. 4 
onde 10 e 20 são os fluxos totalizados que correspondem, somente, ao fluxo principal 
t. 
As fmm i1w1 e i2w2 criam também fluxos de fugas primário e secundário 1 e 2 que se 
fecham nos respectivos enrolamentos. Tendo em conta que os fluxos de fugas se fecham 
principalmente por meios não magnéticos, de permeabilidade magnética constante 
(óleo, ar, cobre, etc.), pode-se admitir que os coeficientes de auto-indução L1 e L2 são 
constantes e assim pode-se escrever: 
dt
di
Le 1
11  
Eq. 5 
e 
dt
diLe 2
22  . 
Eq. 6 
De acordo com a 2ª lei de Kirchoff, a equação da equilíbrio de tensões do enrolamento 
primário é: 
11111 Rieeu   
Eq. 7 
onde R1 é resistência do enrolamento primário. A Eq. 7 pode ser rescrita do seguinte 
modo: 
  11111 Rieeu   . 
Eq. 8 
Substituindo este último resultado na Eq. 7, obteremos, 
11
1
11
1
1
10
1 Ri
dt
d
Ri
dt
di
L
dt
d
u 

 
Eq. 9 
onde 1 representa o fluxo total no enrolamento primário. 
Para o enrolamento secundário temos: 
  22222 uRiee   
Eq. 10 
ou 
222
2
222
2
2
20 uRi
dt
duRi
dt
diL
dt
d0 

 
Eq. 11 
sendo 2 o fluxo total no enrolamento secundário. 
Transformadores 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
 
 
Desprezando as perdas no ferro e admitindo que a permeabilidade magnética do ferro 
constante, podemos representar 1 e 2 sob a forma: 
212111 iMiL  121222 iMiL  
Eq. 12 
onde L1 e L2 são os coeficientes de auto-indução total dos enrolamentos primário e 
secundário, que correspondem ao fluxo total através dos respectivos enrolamentos e 
M12=M21=M são os coeficientes de indução mútua dos enrolamentos. 
Substituindo os valores de 1 e 2 na Eq. 9 e Eq. 11, obtemos: 
11
21
11 Ri
dt
diM
dt
diLu  
Eq. 13 
222
12
2 uRi
dt
diM
dt
diL0  . 
Eq. 14 
1.3 Razão de transformação 
A razão de transformação de tensões de um transformador (razão de transformação) é 
definida com a razão das fem induzidas nos enrolamentos primário e secundário, pelo 
fluxo principal: 
2
1
t
2
t
1
2
1
w
w
dt
dw
dt
d
w
e
ek 





. 
Eq. 15 
 
1.4 Esquema equivalente de um transformador 
Em muitas circunstâncias torna-se prático representar o transformador por um circuito 
eléctrico, o circuito equivalente, por forma a evidenciar certos aspectos relativos ao seu 
comportamento e também para estabelecer de forma mais fácil as conexões com os 
circuitos a que esta máquina está ligada. 
No caso geral a representação do transformador por um circuito eléctrico equivalente 
pode ser feita de várias formas, desde que cada uma delas satisfaça as equações 
fundamentais de fem e fmm do transformador. 
No nosso estudo utilizaremos o esquema equivalente em T(Fig. 2) no qual cada 
enrolamento do transformador equivalente é composto por duas bobinas ligadas em 
Transformadores 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
 
 
série, uma das quais representada a impedância do enrolamento correspondente e a 
outra representa a impedância do ramo comum de magnetização.
1R 2R 2X 1X
mX
mR
1U
2U 
1I
2I 
magI
CZ 
 
Fig. 2 Esquema equivalente em T de um transformador 
 
As equações que caracterizam o funcionamento do transformador são dadas por: 
m21 III  
Eq. 16 
1111 ZIEU  
Eq. 17 
22212 UZIEE  
Eq. 18. 
1.5 Funcionamento de um transformador em regime 
permanente 
Neste ponto considera-se que o transformador está ligado a fontes de alimentação de 
energia eléctrica que impõem tensões alternadas sinusoidais e as cargas que o 
transformador alimenta podem considerara-se elementos lineares. Estas hipóteses 
possibilitam considerar um regime permanente alternado sinusoidal, regime permanente 
que se considera significativo, nomeadamente no sistema de produção e distribuição de 
energia eléctrica. 
 
1.5.1 Funcionamento de um transformador em vazio 
O transformador diz-se em vazio quando o secundário está em aberto, isto é, tem aos 
seus terminais uma impedância infinita. Nesta hipótese, a corrente 2I  é nula e a 
impedância vista pelo primário tem um valor relativamente elevado. Para se concluir 
este facto basta ter presente o circuito equivalente assim como os valores típicos dos 
seus parâmetros. 
Quando o transformador funciona em vazio, as perdas relevantes são as perdas no ferro, 
que são compensadas pela potência em vazio que o transformador recebe da rede. 
 
Transformadores 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
 
 
1.5.2 Funcionamento de um transformador ideal em vazio 
Nos transformadores vulgares, o fluxo de fugas no funcionamento em vazio é 
extremamente pequeno (normalmente de 0,25% do fluxo principal). Nestas condições as 
perdas no ferro representam uma pequena percentagem da potência nominal do 
transformador. 
 
mX
mR
1U
2U 
10I 2I 
magI
 
Fig. 3 Esquema equivalente de um transformador ideal em vazio 
 
A Fig. 3 mostra o esquema equivalente de um transformador ideal em vazio. Como 
considera-se que neste transformador não há fugas os parâmetros dos enrolamentos 
(resistências e indutâncias) não todos nulos. 
Admitamos que a tensão aplicada ao primário seja da forma: 
tfsenUtsenUu m  22111  . 
A equação do equilíbrio de tensões tem o aspecto: 
11 eu  
Eq. 19. 
Por analogia com a expressão de u1, teremos: 
)(2)( 111   tsenEtsenEe m . 
Eq. 20 
 
O fluxo magnético principal pode ser determinado a partir da fem e1: 
)(2111  

 tsenE
dt
dwe t 
de onde se pode obter 
)
2
(2
1
1 


 tsen
w
E
t . 
Eq. 21 
 
A constante de integração é nula ,pois, em regime permanente, não há fluxo com 
sentido constante no núcleo do transformador. 
Transformadores 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
 
 
Da Eq. 21 resulta que, quando a tensão aplicada for sinusoidal, o fluxo magnético de um 
transformador ideal é igualmente representado por uma função sinusoidal do tempo e 
este fluxo está em avanço relativamente à fem num ângulo de 90º. 
 
Podemos representar a Eq. 21 na forma: 
)
2
(   tsenmt 
Eq. 22 
em que 
1
1
1
1
2
2
wf
E
w
E
m 
 
Eq. 23 
é a amplitude do fluxo magnético. Obtemos, assim, expressão fundamental da teoria do 
transformador para o valor eficaz da fem do enrolamento primário: 
m11 wf44,4E  . 
Eq. 24 
Desta fórmula conclui-se que, se a frequência f e o número de espiras w1 são 
conhecidas, teremos mE1 CE  , ou seja, o fluxo m é proporcional à fem E1. 
O enrolamento secundário é atravessado pelo mesmo fluxo m. Por isso o valor eficaz 
da fem do enrolamento secundário poder ser escrito da seguinte forma: 
mm wfwfE  222 44,42 , 
Eq. 25 
em que w2 é o número de espiras do secundário. A fem 2E , tal como a fem 1E , está 
atrasada em 90º em relação ao fluxo. 
A razão de transformação é dada por 
2
1
2
1
w
w
E
Ek  . 
 
1.5.3 Funcionamento de um transformador real em vazio 
Num transformador real o fluxo de fugas é tido em conta. O fluxo de fugas do 
enrolamento primário cria, neste uma fem da fugas e as perdas em vazio do 
transformador são equilibradas pela potência eléctrica que este absorve da rede. 
 
Transformadores 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
 
 
1R 2R 2X 1X
mX
mR
1U
2U 
10I 2I 
magI
 
Fig. 4 Esquema equivalente de um transformador real em vazio 
 
A Fig. 4 mostra o esquema equivalente de um transformador real em vazio. A equação 
do equilíbrio eléctrico neste caso toma s forma: 
1mag11 ZIEU  
Eq. 26 
 
1.5.4 Perdas em vazio de um transformador 
As perdas em vazio de um transformador são constituídas por: 
1) Perdas no cobre do enrolamento primário, 1
2
mag1c RIP  . 
2) Perdas principais no ferro do núcleo, Pf0. 
3) Perdas adicionais em vazio, Pad0. 
A potência absorvida pelo transformador em vazio é inteiramente dispendida para 
compensar as perdas em vazio. Assim, 
0010 adfc PPPP  
Eq. 27 
 
Em geral as perdas no cobre representam valores muito baixos (inferiores a 2%), por 
isso podem ser desprezadas. Assim pode-se constatar que a potência em vazio do 
transformador é praticamente gasta para compensar as perdas no ferro. 
As perdas principais no ferro do núcleo são constituídas por perdas por histerese e 
perdas por correntes de Foucalt. 
As perdas adicionais em vazio compreendem: a) perdas suplementares no ferro; b) 
perdas nas juntas e nos locais onde se encontram as cavilhas; c) perdas nas diferentes 
peças do transformador; d)perdas no isolamento, nos transformadores de alta. As perdas 
adicionais representam 15 a 20% das perdas principais no ferro. Assim : 
  0f0ad0ff P20,1a15,1PPP   . 
Eq. 28 
 
Transformadores 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
 
 
1.5.5 Ensaio em vazio de um transformador 
O ensaio em vazio é efectuado de acordo com o esquema indicado na Fig. 5. Por meio 
dos voltímetros, do amperímetro e do wattímetro medem-se as tensões primária e 
secundária U1 e U20, a corrente I10 e a potência em vazio P0. 
A partir dos dados no funcionamento com tensão nominal, podemos determinar os 
parâmetros do funcionamento em vazio do transformador. 
 
A
V V
W**
 
Fig. 5 Esquema para o ensaio em vazio de um transformador 
 
O esquema equivalente que pode ser considerado, neste regime de funcionamento, é o 
indicado na Fig. 6. 
1R 1X
mX
mR
1U
10I magI
 
Fig. 6 Esquema equivalente de um transformador em vazio 
 
Do esquema da Fig. 6 
    00mm11m110
10
1 jXRjXRjXRZZZ
I
U
 . 
Eq. 29 
Nos transformadores de potência os valores de R1 e X1 são muito pequenos em relação a 
Rm e Xm. Por este motivo, pode admitir-se, sem grande erro, que 
mmm0010
10
1 jXRZjXRZ
I
U
 . 
Eq. 30 
Se por cálculo ou por via experimental se determinarem as perdas no ferro, teremos: 
Transformadores 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
 
 
2
0
f
m I
P
R

 . 
Eq. 31 
Então, 
2
10
2
2
10
122





 







I
P
I
URZX f
mmm . 
Eq. 32 
Do ensaio em vazio determina-se a razão de transformação, 
 
20
1
2
1
U
U
E
E
k  . 
Eq. 33 
 
 
1.5.6 Ensaio em curto-circuito de um transformador 
A determinação dos parâmetros de curto-circuito é feita mediante o ensaio em curto-
circuito de um transformador. Este ensaio é realizado de acordo com o esquema da Fig. 
12. 
A
V A
W**
 
Fig. 7 Esquema para o ensaio em curto-circuito de um transformador 
 
Com base nos valores medidos são efectuados cálculos para a determinação dos 
parâmetros conforme: 
1
1
I
U
Z cc
cc  
Eq. 34 
 
2
1I
PR cc
cc  
Eq. 35 
 
22
cccccc RZX  
Eq. 36 
 
Transformadores 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
 
 
1.6 Auto-transformadores 
Um auto-transformador é um transformador em que parte do enrolamento pertence,
simultaneamente, ao primário e ao secundário. Os auto-transformadores podem ser 
abaixadores ou elevadores, monofásicos ou trifásico. Na Fig. 18 está indicado o 
esquema de um auto-transformador monofásico abaixador. 
Examinando o funcionamento de um auto-transformador da Fig. 18, constatamos que a 
tensão primária U1=UAX está aplicada aos terminais AX do enrolamento primário; a parte 
do enrolamento primário compreendida entre a e x, serve de enrolamento secundário. 
 
 
u1
u2
i1
i2
A
X
a
x
 
Fig. 18 Esquema de um auto-transformador monofásico abaixador 
 
O regime de funcionamento em vazio de um auto-transformador (I2=0) em nada difere 
do correspondente regime de um transformador normal. Como a tensão UAX aplicada ao 
primário está unicamente repartida pelas espiras do enrolamento primário, a tensão 
secundária será: 
aa
AX
ax
AX
AX
ax k
U
k
U
w
w
U
UU 1
2  , 
Eq. 37 
sendo 
ax
AX
a w
wk  a razão de transformação do auto-transformador. 
No caso de um auto-transformador elevador, teremos U2=UAX=kaU1. 
Quando o auto-transformador está em curto-circuito, a rede primária fornece uma 
corrente I1 e o condutor que curto-circuita os terminais a e x é percorrido pela corrente 
I2. 
Se os enrolamentos A-X e a-x estivessem electricamente separados, tal como num 
transformador normal, desprezando a corrente magnetizante teríamos: 
Transformadores 
 
 
Texto de apoio – Análise de Ciurcuitos  2014 
 
 
021  axAX wIwI 
ou 
01
21  I
k
I
a
 . 
Eq. 38 
 
Num auto-transformador a corrente I1 apenas circula na parte A-a do enrolamento e, na 
parte comum a-x do enrolamento, circula uma corrente Iax que representa a soma 
algébrica das correntes do primário e do secundário. Assim, 
 
  






a
aax k
IkIIII 111 2121 . 
Eq. 39 
Analise_Circuitos/Analise_Circuitos_Transitorios_2014.pdf
21-07-2014
1
Fenómenos Transitórios
Definição de fenómenos transitórios
São fenómenos que ocorrem em circuitos eléctricos entre dois estados de
regime permanente.
Normalmente, os fenómenos transitórios ocorrem em circuitos eléctricos
durante as manobras de abertura e fecho de interruptores. Podem também
acontecer devido a outras causas, tais como ligações defeituosas.
Normalmente estes fenómenos duram alguns décimos, centésimos ou
milésimos de segundo.
Fig. 1 – Fecho e abertura de um interruptor
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 1
Fenómenos Transitórios
Os fenómenos transitorios duram usualmente alguns décimos, centésimos
ou milésimos de segundo, contudo o seu estudo é importante, pois mostra
com antecedência qual o aumento perigoso de tensão ou intensidade da
corrente que pode ocorrer em várias secções de um circuito eléctrico. A
análise dos fenómenos transitórios permite também prever as distorções
nas formas de onda ou amplitude dos sinais quando passam através de
amplificadores, filtros ou outros elementos.
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 2
Fenómenos Transitórios
Leis da comutação
Sob quaisquer condições transitórias ou estacionárias há dois aspectos
básicos a considerar: a corrente através de uma indutância e a tensão
através de uma capacidade não podem varias bruscamente.
1ª Lei da comutação
A corrente através de uma indutância imediatamente antes da comutação é
igual à corrente através da mesma indutância imediatamente depois da
comutação.
)0()0()0( LLL iii  
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 3
Fenómenos Transitórios
2ª Lei da comutação
A tensão através de uma capacidade imediatamente antes da comutação é
igual à tensão através da mesma capacidade imediatamente depois da
comutação.
)0()0()0( ccc uuu  
Condições iniciais
As condições iniciais são utilizadas para a determinação das constantes
nas soluções das equações diferencias. Para a determinação das
constantes são aplicadas as leis da comutação.
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 4
21-07-2014
2
Métodos de cálculo de processos
transitórios
Para o cálculo de circuitos em regime transitórios devem ser resolvidas
equações diferenciais lineares. A resolução das equações pode ser feita
por três métodos:
1. Clássico;
2. Operacional;
3. Integral de Duhamel
No nosso estudo aplicaremos o método clássico, que consiste em:
1. Constituir as equações diferenciais para o circuito eléctrico depois
da comutação;
2. Determinar a solução geral como a soma de duas componentes:
a. Componente estacionária (ou forçada) – que corresponde à
solução particular da equação diferencial não homogénea,
quando t .
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 5
Métodos de cálculo de processos
transitórios
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 6
b. Componente livre – que corresponde à solução geral da
equação diferencial homogénea.
A Solução completa é constituida por duas componentes:
3. Determinar as raizes das equações características.
4. Determinar as constantes de integração usando as condições
iniciais. Neste caso o circuito é analisado antes da comutação.
livest iiti )(
Fenómenos Transitórios
Processos transitórios no circuito RL com fonte contínua
Escrevamos uma equação da 2ª lei de Kirchoff para o circuito da figura
dada, com o interruptor fechado:
R
E
L
EiR
dt
idL 
Trata-se de uma equação diferencial linear
com coeficientes constantes, pois R e L são 
constantes.
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 7
Fenómenos Transitórios
Resposta forçada e natural
Da matemática sabe-se que a solução geral de uma equação diferencial
linear é a soma da solução particular de uma equação não homogénea
com a solução geral de uma equação homogénea. A solução particular
(forçada) é:
R
Ei forçada 
A equação homogénea obtém-se igualando o segundo membro a zero é:
0 iR
dt
idL
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 8
21-07-2014
3
Fenómenos Transitórios
Resposta forçada e natural
A solução da equação homogénea é uma função exponencial da forma:
tp
livre Aei 
Consideramos que para todos os fenómenos transitórios o tempo t = 0
corresponde ao instante em que o interruptor é levado de uma posição a
outra. A e p são constantes independentes do tempo.
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 9
L
Rp 
Fazendo: dt
dp 
E resolvendo a equação homegenea em ordem a p,
obtemos:
Fenómenos Transitórios
Resposta forçada e natural
Assim a solução completa da equação diferencial será:
t
L
R
livfor eA
R
Eiii


ANALISE DE CIRCUITOS_2014 10
Constante de tempo: ][s
R
L

Determinação da constante de integração:
R
EAA
R
Eiit  0)0(;0)0(0
)1(
t
L
R
e
R
Ei


Fenómenos Transitórios
Processos transitórios no circuito RL com fonte alternada sinusoidal
Escrevamos uma equação da 2ª lei de Kirchoff para o circuito da figura
dada, com o interruptor fechado:
R
e
L
)(; Em tsenEeeiR
dt
idL  
Trata-se de uma equação diferencial linear
com coeficientes constantes, pois R e L são 
constantes.
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 11
Fenómenos Transitórios
Resposta forçada e natural
Neste caso a resposta forçada para a obtenção desta solução, devemos
analisar um circuito de corrente alternada sinusoidal monofásica:
22;;)( L
m
mImfor
Ifor
L
forçada
XRZ
Z
EItsenIi
I
XjR
E
Z
EI






A equação homogénea obtém-se igualando o segundo membro a zero é:
0 iR
dt
idL
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 12
21-07-2014
4
Fenómenos Transitórios
Resposta forçada e natural
A solução da equação homogénea é uma função exponencial da forma:
tp
livre Aei 
A solução completa, será:
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 13
t
L
R
Imlivfor eAtsenIiii

 )( 
Fenómenos Transitórios
Determinação da constante de integração:
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 14
Constante de tempo: ][s
R
L

ImIm senIAAsenIiit   0)0(;0)0(0
t
L
R
ImIm esenItsenIi

  )(
Fenómenos Transitórios
Desligação de um circuito RL da fonte contínua
Escrevamos uma equação da 2ª lei de Kirchoff para o circuito da figura
dada, com o interruptor fechado:
R
E
L
1R
0)( 1  iRR
dt
idL
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 15
A solução desta equação homogénea é uma função exponencial da forma:
tpeAi 
Fenómenos Transitórios
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 16
L
RRp 
 1onde:
t
L
RR
e
R
Ei



1
Determinação da constante de integração:
A
R
Ei
R
Eit  )0(;)0(0
21-07-2014
5
Fenómenos Transitórios
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 17
L
RRp 
 1onde:
t
L
RR
e
R
Ei



1
Determinação da constante de integração:
A
R
Ei
R
Eit  )0(;)0(0
Processos transitórios nos circuitos R-C
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 18
EUAAEUUut C  000 ;)0(0
R
E c
tp
C
tp
livCestC
livCestCCC
CC
C
eAEueAuEu
uuuEu
td
udCR
td
udCiEiRu


;;
;;
Determinação da constante de integração:
Processos transitórios nos circuitos R-C
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 19
tt
C
CC
e
R
UE
td
udCieUEEu
CR
CR
puupCR



1
0
1
0 ;)(
;110
 


Determinação da raíz da equação característica:
0U
R
UU 0
st ,
)( tu
)(ti
transt
)53( transt
Processos transitórios nos circuitos R-C
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 20
Descarga de um consensador através de uma resistência:
R
E c
1R 
i
tp
livC
livClivCestCCC
C
C
CC
C
eAu
uuuuu
td
udRRC
u
td
udRRC
td
ud
CiuRRi



;0)(
0)(;;0)(
1
11
21-07-2014
6
Processos transitórios nos circuitos R-C
ANALISE DE CIRCUITOS_2014 21
tC
t
CC
e
RR
E
td
ud
Ci
CRReEuAEEut

 
1
1
1
1
)(;)0(;0





E
st,
)(tu
)(ti
1RR
E

Analise_Circuitos/Circuitos_lineares_corrente_continua_2014.pdf
1
Analise de Circuitos 2014 1
CIRCUITOS LINEARES DE CORRENTE 
CONTÍNUA
Analise de Circuitos 2014 2
Associação de resistências em série
Numa ligação de resitências em série, a corrente que flui no circuito é a
mesma e pode-se obter uma resistência equivalente do conjunto.
1R
2R 3R nR
I
1U
2U 3U
nU
U
neq RRRRR  ...321
eqR
I
U
n
nn
RRRR
I
U
RRRRIUUUUUU


...
)...(...
321
321321
Analise de Circuitos 2014 3
Associação de resistências em paralelo
Os terminais das resistências encontram-se conectados entre si. Por
isso mesmo deve-se cumprir a condição de que todas as resistências
tenham a mesma tensão.
2R
A B
2I
3R
3I
1R
1II
nR
nI
ABU
)...(
...
321
321
nAB
n
GGGGU
IIIII


neq GGGGG  ...321
eqR
I
U
Analise de Circuitos 2014 4
Transformações estrela-triângulo e vice-versa
abR
a
b
c
bcR
caR
aR
bR
cR
A resistência medida entre dois terminais, tanto da ligação estrela
como da ligação triângulo, deve ser a mesma. Assim:
cabcab
cabcab
ba RRR
RRRRR



)(
cabcab
caabbc
bc RRR
RRRRR



)(
cabcab
bcabca
ca RRR
RRRRR



)(
Para os terminais a e b:
Para os terminais b e c:
Para os terminais c e a:
2
Analise de Circuitos 2014 5
Transformações estrela-triângulo e vice-versa
Na transformação de triângulo para estrela, pode-se escrever:
cabcab
caab
a RRR
RRR


cabcab
abbc
b RRR
RR
R


cabcab
bcca
c RRR
RRR


Na transformação de estrela para triângulo, obtém-se:
c
cbcaba
ab R
RRRRRRR 

a
cbcaba
bc R
RRRRRRR 

b
cbcaba
ca R
RRRRRRR 

Analise de Circuitos 2014 6
Transformações estrela-triângulo e vice-versa
Exemplo: Calcular as correntes do circuito dado aplicando o 
método de transformação.
2R
1R


3R


4RJ
5R
6R

J = 1A; R1 = 1; R2 = 1; R3 = 1;
R4 = 4; R5 = 1, R6 = 2.
a
b
c
d
1I
2I 3I
4I 6I
5I
1º passo: Transformando o triângulo
constituído pelas resistências 
R2 , R3 e R5, obtemos :
;33,0
532
52
25 


RRR
RRR ;33,0
532
32
23 


RRR
RRR
.33,0
532
53
35 


RRR
RRR
Analise de Circuitos 2014 7
Análise de Circuitos de Corrente Contínua
Transformações estrela-triângulo e vice-versa
25R
1R


35R


4R
J
23R
6R

a
b
d
c
1I 4I
6I
;33,2635356  RRR ;33,4423234  RRR
;51,1
234356
234356 


RR
RRR p
;84,12525  RRR pp
;65,0
125
25
1 A
RR
R
JI
p
p 

 ;35,0125 AIJI  ;12,0
234356
356
254 A
RR
RII 


;23,04256 AIII  ;19,03562525 VRIRIU ad  ;19,0
5
5 A
R
UI ad 
;16,0512 AIIJI  .04,0423 AIII 
2º passo: Depois da transformação pode-se representar o circuito
do seguinte modo:
3º passo: Com o circuito simplificado
pode-se proceder ao cálculo do
mesmo:
Analise de Circuitos 2014 8
Transformações estrela-triângulo e vice-versa
Fazendo o equilíbrio de potências, obtém-se:
WIRIRIRIRIRIRP ac 65,0649,02
66
2
55
2
44
2
33
2
22
2
11arg 
WJRIJUP abFonte 65,011 
3
Analise de Circuitos 2014 9
Associação de geradores de tensao 
Associação em série 
Existem dois tipos principais de associação de geradores: a 
associação em série e em paralelo.
1E
1R 2E 3E
2R 3RA BI
Os geradores são ligados de forma que sejam atravessados pela
mesma corrente.
Analise de Circuitos 2014 10
Associação de geradores
Neste caso pode-se obter uma fonte equivalente na qual a f.e.m. 
está em série com a resistência interna equivalente.
eqE
eqRA BI
 ieq EE  ieq RR
No caso geral quando temos várias fontes em série, podemos
escrever:
321 EEEEeq  321 RRRReq 
Analise de Circuitos 2014 11
Associação de geradores
Os terminais ou pólos do mesmo nome do gerador encontram-se
conectados entre si. Por isso mesmo deve-se cumprir a condição de
que todos os geradores tenham a mesma f.e.m.. De outro modo os
geradores com menor f.e.m. funcionariam como cargas.
Associação em paralelo 
2E
2RA B2I
3E
3R 3I
1E
1R
1I
I
Analise de Circuitos 2014 12
Associação de geradores
Tal como no caso da ligação em série, pode-se obter uma fonte
equivalente na qual a f.e.m. está em série com a resistência interna
equivalente.
eqE
eqRA BI
BAeq UE   neq GGAdmitindo a corrente total seja nula :
321
332211
GGG
GEGEGEEeq 


321 GGGGeq 
321 IIII 
Seja : EUEEEE BA  321
4
Analise de Circuitos 2014 13
Métodos de cálculo de corcuitos complexos
Metodo das leis de Kirchoff 
As leis de Kirchoff são usadas nos problemas de circuitos
eléctricos para calcular a corrente nos respectivos ramos.
Consideremos que r seja o número total de ramos num circuito, rc o
número de ramos contendo fontes de corrente e N o número de nós.
Supondo conhecidas as correntes nos ramos com fontes de
correntes, então o número de equações de Kirchoff é obtido como se
segue:
Assinala-se no esquema com uma seta, o sentido positivo da 
Corrente em cada ramo;
Fixa-se o sentido positivo de circulação em cada malha;
Analise de Circuitos 2014 14
Metodo das leis de Kirchoff 
Para que as equações sejam independentes, as equações da 1ª lei
de Kirchoff devem ser tantas, quantos são os nós menos uma, ou N
-1. As que traduzem a 2ª lei de Kirchoff devem ser tantas quantos
são os ramos sem fontes de corrente, menos o número de
equações da 1ª lei de Kirchoff:
1)1()(  NrrNrrN cceq
A título de exemplo,
consideremos o circuito dado.
4R3R


1E
1R
2E2R
Analise de Circuitos 2014 15
Metodo das leis de Kirchoff 
O circuito dado tem 2 nós, identificados
pelas letras a, e b.
De acordo com a 1ª lei de Kirchoff
devem ser escrita 1 equação, que
Fica: 
De acordo com a 2ª lei de Kirchoff devem ser escritas 2 equações 
das malhas indicadas a tracejado:
O número de ramos é 3
e não temos nenhuma
fonte de corrente.
0321  III
13311 EIRIR  233242 )( EIRIRR 
4R3R


1E
1R
2E2Ra
b
Analise de Circuitos 2014 16
Metodo das leis de Kirchoff 
Considerando os seguintes dados:
E1 = 12 V; E2 = 12 V; R1 = 4 ; R2 = 5 ; R3 = 5 ; R4 = 5 
A solução será: I1 = 1,09 A; I2 = 0,44 A; I3 = 1,53 A
Fazendo o equilíbrio de potências:
WIEIEPFonte 36,18)44,009,1(122211 
WxxxIRRIRIRP ac 39,1844,01053,1509,14)( 2222
242
2
33
2
11arg 
5
Analise de Circuitos 2014 17
Método de sobreposição 
A aplicação do método de sobreposição é para circuitos com
elementos lineares e consiste em obter a influência de cada fonte
presente no circuito de forma isolada, para depois se fazer a
sobreposição das soluções obtidas parcialmente.
Exemplo: Considerando o circuito dado, calcular todas as 
correntes usando o método de sobreposição:
1E
1R 2R
3R
2E
E1 = 2 V; E2 = 4 V; R1 = 4 ;
R2 = 5 ; R3 = 10 .
Analise de Circuitos 2014 18
Método de sobreposição 
Devemos indicar os sentidos das correntes no circuito inicial.
Considerar o circuito com apenas uma das fontes de tensão de cada
vez e calcular as respectivas correntes.
1E
1R 2R
3R
2E
1I 2I3I
Analise de Circuitos 2014 19
Método de sobreposição
Correntes da fonte 1:
1E
1R 2R
3R
1I 
2I 
3I  AIII
RR
RIIAI
RR
RRRR
R
EI eq
eq
18,0
09,0
15
5.27,0;27,0
33,7
2
33,7
15
504.
312
32
2
131
23
23
11







Correntes da fonte 2:
2E
1R 2R
3R
1I  2I 
3I 
AIII
RR
RIIAI
RR
RRRR
R
EI eq
eq
36,0
15,0
14
4.51,0;51,0
86,7
4
86,7
14
405.
321
31
1
232
13
13
2
2
2






 
Analise de Circuitos 2014 20
Método de sobreposição 
Finalmente calculamos as correntes totais:
1E
1R 2R
3R
2E
1I 2I3I AIII
AIII
AIII
24,0
33,0
09,0
333
222
111



6
Analise de Circuitos 2014 21
Método das tensões nos nós ou método de 
análise nodal
No método de análise nodal escolhe-se como incógnitas as tensões
nos nós e as equações são obtidas por aplicação da lei dos nós. A
aplicação deste método pode ser sistematizada do seguinte modo:
1º passo: Identificar os nós que servem de incógnitas – Liga-se um
dos nós do circuito à terra, este nó passa a ser o nó de referência e
com tensão absoluta nula. Assim o número de nós com potenciais
desconhecidos passa a ser N-1, sendo N o número de nós.
22
Método das tensões nos nós ou mesmo de 
análise nodal
2º passo: Existindo fontes de tensão ideiais, determinar o número
destas fontes e designar por T;
4º passo: Obter as correntes nos ramos por aplicação da lei de Ohm.
3 passo: Estabelecer as N-1-T equações de nó, em função das
tensões absolutas dos nós e resolver este sistema de equações.
Analise de Circuitos 2014
Analise de Circuitos 2014 23
Método das tensões nos nós ou método de 
análise nodal


1E
2E
1R 2R
3R 4R
5R
1I 2I
3I 4I
5I


a b
c
Exemplo: Calcular as correntes do circuito dado usando análise
Nodal.
;321 VE 
VE 322 
 21R
 12R
 53R
 24R
 55R
Analise de Circuitos 2014 24
Método das tensões nos nós ou método de 
análise nodal
;0c ;0531  III ;0452  III
111
111
)( GEI
U
ERIU
a
acaac
ac





55
44
33
)( GI
GI
GI
ba
b
a






222
222
)( GEI
U
EURI
b
bcbbc
bc





As equações ficam então:





0)()(
0)()(
4522
5311
GGGE
GGGE
bbab
baaa







225425
115531
)(
)(
GEGGGG
GEGGGG
ba
ba


SG
SGSG
SGSG
R
RR
RR
2,0
2,0;1
5,0;5,0
3
52
41
1
3
1
5
1
2
1
4
1
1








327,12,0
162,09,0
ba
ba


7
Analise de Circuitos 2014 25
Método das tensões nos nós ou método de 
análise nodal
Resolvendo o sistema de equações, obtemos:





V
V
b
a
48,21
55,22


As correntes resultam em:













AI
AI
AI
AI
AI
214,0
74,10
51,4
52,10
735,4
5
4
3
2
1





WIRIRIRIRIRP
WIEIEP
c
F
13,488
16,488
2
55
2
44
2
33
2
22
2
11
2211
Fazendo o balanço de potências obtemos:
Analise de Circuitos 2014 26
Método das correntes nas malhas (malhas 
independentes)
Tal como foi visto na aplicação do método das leis de
Kirchoff, para que as equações sejam independentes, as
equações que traduzem a 2ª lei de Kirchoff devem ser
tantas quantos são os ramos sem fontes de corrente,
menos o número de equações da 1ª lei de Kirchoff:
1)1()(  NrrNrrN cceq
Sendo r o número de ramos do circuito, rc o número de
ramos com fontes de corrente e N o número de nós.
Analise de Circuitos 2014 27


1E
1R
J
2R

3R
4R
E1 = 100 V; J = 6 A; R1 = 2,5 ; R2 = 
10 ; R3 = 40 ; R4 = 20 .
Exemplo: Calcular as correntes do circuito dado aplicando o
método de análise de malhas.
21416 eqN
O circuito tem 6 ramos, 4 nós e um 
ramo com fonte de corrente, isto é, r = 
6, N = 4 e rc=1. Assim:
O número de equações de malhas independentes é então
de 2, o que significa que devemos identificar duas malhas
independentes.
Métodos das malhas independentes
Analise de Circuitos 2014 28


1E
1R
J
2R

3R
4R
As malhas identificadas estão
assinaladas no circuito pelas setas a
azul. Assim temos as malhas A e B e
as respectivas equações estão
escritas no sistema abaixo.





14433
23321
)(
0)(
EJRRRIRI
JRRIRRRI
BA
BA





2206040
60405,52
BA
BA
II
II





2264
6425,5
BA
BA
II
II





A 9
A 8
B
A
I
I
Métodos das malhas independentes
8
Analise de Circuitos 2014 29
Métodos das malhas independentes


1E
1R
J
2R

3R
4R
1I 2I
3I
4II
a
b













AJII
AIII
AJII
II
II
B
AB
A
B
A
3
1
2
A 9
A 8
4
3
2
1





WEIJUP
WIRIRIRIRP
baFonte
aC
420
4202
44
2
33
2
22
2
11arg
VUUVRIRIU abbaab 80;804422 
Analise de Circuitos 2014 30
Teorema de Thevenin 
Qualquer circuito eléctrico em relação a dois terminais,
pode ser substituído por uma fonte de tensão real.
ThE aCR arg
ThR
a
b
Caixa-preta
Analise de Circuitos 2014 31
Teorema de Thevenin 
Procedimento para obter o circuito equivalente de Thevenin:
1. Dividir o circuito nas partes da fonte e da carga, conectadas a
um par de terminais;
2. Considerar o circuito da fonte isolado do circuito da carga e
determinar a sua tensão de circuito aberto Uth;
3. Considerar o circuito da fonte isolado do circuito da carga e
curto-circuitando as fontes de tensão e abrindo as fontes de
corrente, determinar a resistência de Thevenin Rth;
4. Considerar o circuito de Thevenin conectado ao circuito da
carga e determinar as variáveis de interesse.
Analise de Circuitos 2014 32
Teorema de Thevenin
Considerando o circuito dado, determinar a corrente I usando o 
método de Thevenin.
1E
1R 2R
3R RI
2EE1 = 24 V; E2 = 6 V; R1 = 8 ; R2
= 5 ; R3 = 4 ; R = 10 .
mvabth UE ,
1E
1R 2R
3R
2E
a
b
mvI3
mvabU ,
233, ERIU mvmvab 
A
RR
EI mv 2
12
24
31
1
3 


9
Analise de Circuitos 2014 33
Teorema de Thevenin
;264*2233, VERIU mvmvab  VE th 2
1R 2R
3R
a
b


 67,7
12
4*85
31
31
2 RR
RRRRR abth
thE
thR
RI
a
b
A
RR
EI
th
th 113,0
1067,7
2





Analise de Circuitos 2014 34
Teorema de Norton 
Qualquer circuito eléctrico em relação a dois terminais,
pode ser substituído por uma fonte de corrente real.
NJ aCR argNR
a
b
Caixa-preta
Teorema de Norton
Procedimento para obter o circuito equivalente de Norton
1. Dividir o circuito nas partes da fonte e da carga, conectadas a
um par de terminais;
2. Considerar o circuito da fonte isolado do circuito da carga e
determinar a sua corrente de curto-circuito;
3. Considerar o circuito da fonte isolado do circuito da carga e
curto-circuitando as fontes de tensão e abrindo as fontes de
corrente, determinar a resistência de Norton RN;
4. Considerar o circuito de Norton conectado ao circuito
da carga
e determinar as variáveis de interesse.
35Analise de Circuitos 2014 Analise de Circuitos 2014 36
Teorema de Norton
Considerando o circuito dado, determinar a corrente e a tensão 
na resistência R3 usando o método de Norton.
1E
1R 2R
3R
2E
E1 = 2 V; E2 = 4 V; R1
= 4 ; R2 = 5 ; R3 =
10 .
10
Analise de Circuitos 2014 37
Teorema de Norton
1E
1R 2R
2E
a
b
Ncc JI 
ccI 2ccI1
A
R
E
R
EIIJ ccccN 3,1
2
2
1
1
21 


 22,2
21
21
RR
RRRR abN
1R 2R
a
b
Analise de Circuitos 2014 38
Teorema de Norton
NJ 3RNR
a
b
3I
A
RR
RJI
N
N
N 236,0
3
3 


VRIU ab 36,233 
Analise de Circuitos 2014 39
Máxima transferência de potência
Uma rede pode ser considerada como contendo dois elementos, a
fonte e a carga. A fonte pode ser substituída por um circuito
equivalente de Thevenin ou um circuito de Norton. Assim para uma
rede puramente resistiva, a representação da fonte equivalente de
Thevenin e considerando uma carga RL, será:
ThE LR
ThR
a
b
LI
Analise de Circuitos 2014 40
Máxima transferência de potência
A potência na carga é dada por:
;2
LL RIP  Atendendo que a corrente na carga é:
;
Lth
th
L RR
EI

 Pode-se escrever a expressão da potência
como se segue:
L
Lth
th R
RR
EP
2







 Derivando esta expressão em ordem a RL,
pode-se determinar as condições de
potência máxima na carga.
11
Analise de Circuitos 2014 41
Máxima transferência de potência
 3
2
2
Lth
Lth
thL
Lth
th
LL RR
RRER
RR
E
dR
d
dR
dP










De onde se obtém, que para a potência
máxima na carga:
;thL RR 0
LdR
dP
th
th
R
EP
4
2
max 
A potência máxima na carga será então dada por:
Analise_Circuitos/Corrente_Alternada_1_2014.pdf
1
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 1
Tema 2: Circuitos de Corrente 
Alternada Sinusoidal
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 2
Introdução
• Uma corrente alternada é aquela que é
alternadamente positiva e negativa. No caso
em que essa variação seja da forma
sinusoidal, a corrente é designada alternada
sinusoidal.
• A nível da cadeia energética, se ao nível da
utilização da energia eléctrica, um variado e
significativo número de cargas funciona em
corrente contínua, a sua produção,
transporte ou distribuição é feita quase
exclusivamente em corrente alternada
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 3
Grandezas e valores 
característicos
)()2( 
 tsenIt
T
senIi mm
T
f 

22 
T
f 1

- ângulo de fase inicial;
- frequência angular;
T - período
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 4
Valores médios e valores médios 
quadráticos das quantidades sinusoidais
o valor médio da corrente durante metade do ciclo é:
 
2
0
2
2
1
T
mmmed IdttsenI
T
I


m
m
T
m
T
I
I
dttsenI
T
dti
T
I 707,0
2
11
0
22
0
2   
o médio quadrático ou valor eficaz da corrente num
ciclo é:
2
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 5
Representação vectorial de quantidades 
sinusoidais
Se representarmos num sistema cartesiano a posição do vector
girante em cada instante, obtemos a representação instantânea
da quantidade sinusoidal. Assim podemos concluir que uma
quantidade sinusoidal pode ser representada por um vector de
amplitude constante que roda a uma certa velocidade angular .
i
t
1I
2I

1t
2t 1t
T
2t
2
T
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 6
Se introduzirmos um plano complexo no círculo
trigonométrico, podemos representar a quantidade
sinusoidal por um valor complexo.

+1
+j
I
imagI
realI
.cos imagreal jIIsenIjII  
, IIForma polar:
,22
imarea III 
Forma rectangular:
Forma exponencial: jeII 
0,  real
real
imag Ise
I
I
arctg
0,º180  real
real
imag Ise
I
I
arctg
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 7
Operações com valores complexos
Consideremos dois números complexos:
e 111 jbaZ  222 jbaZ 
Soma ou subtracção: .)()( 212121 bbjaaZZZ s 
Multiplicação: ,212121   ZZZZZ p
,2
1
2
11 baZ  ,2
2
2
22 baZ  )arg( 11 Z )arg( 22 Z
Divisão: ,21
2
1
2
1  
Z
Z
Z
ZZq
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 8
Elementos armazenadores de 
energia
Capacitores
uCq 
A corrente i através de um capacitor é a taxa de variação da
carga com o tempo:
dt
duC
dt
dqi 
3
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 9
Associação de capacitores
série
,CBA uuuu 
q
u
q
u
q
u
q
u CBA 
.1111
CBA CCCC

ANALISE DE CIRCUITOS 2014 10
Associação de capacitores
Paralelo
A carga total é a soma das cargas
de cada um dos condensadores:
CBA qqqq 
.
u
q
u
q
u
q
u
q CBA 
Dividindo por u ambos membros:
CBA CCCC Finalmente obtemos:
2
2
1 CUWC A energia é dada por:
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 11
Indutores
,
dt
diLeL A f.e.m. Induzida é dada por:
.
dt
diLuL 
A diferença de potencial sobre
o indutor será:
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 12
Associação de Indutores
série
I
L1 L2 L3
u
u1
u2 u3
321 uuuu 
A tensão sobre o conjunto é:
dt
diLLLu )( 321 
Finalmente obtemos: .321 LLLL 
4
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 13
Paralelo
I
L1
L2
L3
u
Admitindo que os fluxos magnéticos das
bobinas não interajam podemos escrever:
321 iiii 
Da equação da tensão numa bobina 
pode-se escrever:
  .111
321
dtu
L
dtu
L
dtu
L
i
 .)111(
321
dtu
LLL
i
Já que a tensão é a mesma na ligação pode-se escrever:
.1111
321 LLLL
Finalmente:
A energia é dada por:
2
2
1 ILWL 
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 14
Comportamento de alguns 
elementos em CA
Resistência
R
UItsenI
R
tsenU
R
ui
tsenUu
m
mm
m
m


;
;



Ru
i
u
i
U
I
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 15
Comportamento de alguns 
elementos em CA
Bobina pura ou Indutância
LLL
m
mm
LLL
m
XjLjL
I
U
I
UZLX
tsenItsen
L
Ut
L
Ui
tdu
L
iCCdtu
L
i
td
idLu
tsenUu

















90
90
0;
;)90()90(cos
;
1
0;
1
;
u
i
u
i
U
I
L
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 16
Comportamento de alguns 
elementos em CA
Capacidade pura
CCC
m
C
m
m
m
Xj
C
j
CI
U
I
UZ
C
X
tsenItsenUtCU
td
udCi
tsenUu










1901
90
0;1
)90()90(cos
;
1




u
i
u
i
U
I
C
5
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 17
Comportamento de alguns 
elementos em CA
LX L 

C
XC 
1


Dependência das reactâncias indutiva e capacitiva em função 
da frequência
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 18
Impedância e admitância
A impedância representa a relação entre o fasor da tensão e 
o fasor da corrente:
I
UZ 
A admitância é definida como sendo o inverso da 
impedância:
Z
Y 1

jXRZ 
jBGY 
G é a condutância e B susceptância.
R é a resistência e X a reactância.
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 19
Impedância e admitância
As impedâncias podem ser ligadas em série ou em paralelo
ou ainda de forma mista. O cálculo da impedância e
admitância equivalente obedece as mesmas regras
aplicadas no caso de resistências nos circuitos de corrente
contínua.
As figuras abaixo mostram os triângulos de impedância e de
admitância, respectivamente.
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 20
Lei de Ohm na forma complexa
Consideremos o circuito abaixo no qual a aplicação da lei de 
malhas em valores instantaneos resulta em: 
euuu CLR    edti
Cdt
diLRi 1ou
Em notação complexa temos
mmmm E
C
jILjIRI 




)(
6
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 21
Lei de Ohm na forma complexa
Resolvendo em ordem a corrente, resulta:
C
jLjR
EI m
m

 

Em valores eficazes temos:
Z
E
C
jLjR
EI 




A expressão anterior mostra-nos a lei de Ohm para circuitos 
sinusoidais 
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 22
Leis de Kirchoff na forma 
complexa
De acordo com a 1ª Lei de Kirchoff, a soma algébrica das 
correntes em qualquer nó de um
circuito é zero, ou 
  0I
A 2ª Lei de Kirchoff estabelece que a soma das quedas de 
tensão ao longo de uma malha é igual a soma das f.e.m. ao 
longo da mesma malha: 
 
 

n
k
n
k
kkk EZI
1 1
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 23
Métodos de cálculo de circuitos 
de C.A.
Os métodos de cálculo de circuitos estudados em corrente
contínua são aplicáveis também nos circuitos de corrente
alternada, através do uso do método simbólico . Algumas
expecções acontecem em circuitos com acoplamento magnéctico
e serão devidamente analisados.
Analise_Circuitos/Corrente_alternada_2_2014.pdf
Electrotecnia Teorica I­­_2010 1
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 1
Potência nos circuitos de C.A.
A figura abaixo mostra o andamento temporal da tensão e da corrente
através de uma resitência, estando ambas em fase.
A potência p é o produto da tensão pela corrente. A variação da
potência com o tempo é mostrada também na fugura abaixo.
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 2
Potência nos circuitos de C.A.
tsenUutsenIi mm   ;
Sendo a corrente I e a tensã u dadas por:
Então a potência p será dada por:
;
2
2cos
2
1
)cos()cos(2;
ttsentsen
BABABsenAsentsenUtsenIuip mm





)2cos1(
2
1 tUIp mm 
Esta é a equação que descreve a variação da potência com o 
tempo uma resistência pura. Verificamos que ela descreve uma 
variação co-senoidal de frequência dupla, em torno de um valor 
médio.
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 3
Potência nos circuitos de C.A.
Para uma indutância pura, a variação da corrente e tensão é mostrada 
na figura ao lado, e analiticamente, por:
Neste caso, a potência p é dada por:
tUutsenIi mm  cos; 
;cos tUtsenIuip mm 
tsenUIp mm 2
2
1

A potência varia em torno do eixo zero com
frequência dupla, sendo o seu valor médio zero.
)()(cos2 BAsenBAsenBAsen 
tsenttsen  2
2
1cos 
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 4
Na parte do ciclo onde a corrente é positiva a energia é
armanezanada no campo magnéctico do indutor, enquanto que na
parte do ciclo onde a corrente é negativa regista-se uma descarga
dessa energia para o circuito.
Potência nos circuitos de C.A.
Para uma capacitância pura, a variação temporal da corrente e 
tensão é mostrada na figura ao lado, e analiticamente, por:
)90(; 0 tsenUutsenIi mm 
Electrotecnia Teorica I­­_2010 2
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 5
Potência nos circuitos de C.A.
Neste caso, a potência p é dada por:
)1802(
2
1 0 tsenUIp mm 
)1802(2
)902cos(90cos)90(2
0
000


tsentsen
ttsentsen


A potência varia em torno do eixo zero com
frequência dupla, sendo o seu valor médio zero.
Na parte do ciclo onde a tensão é positiva a
energia é armanezanada no campo eléctrico do
capacitor, enquanto que na parte do ciclo onde a
corrente é negativa regista-se uma descarga
dessa energia para o circuito.
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 6
Potência nos circuitos de C.A.
No caso geral, quando se regista uma diferença de fase  entre 
a tensão e a corrente (figura abaixo):
A potência p é então dada por:
)(   tsentsenIUuip mm
;)(;   tsenIitsenUu mm
)2cos(cos)(2   ttsentsen
A figura ao lado mostra o gráfico da última
equação. O segundo termo da equação
descreve uma potência que oscila no tempo
com frequncia 2.
Considerando que:
Resulta em:
)2(cos
2
1cos
2
1
  tIUUIp mmmm
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 7
Potência nos circuitos de C.A.
O primeiro termo da equação descreve um nível constante de 
potência e é em torno desse valor que a oscilação de potência 
ocorre. Para um ciclo completo, o segundo termo terá um valor 
médio igual a zero. Assim, a potência média é dada por:
cos
2
1
mmmed UIP  ou: cosIUPmed 
Ao produto dos valores eficazes da corrente e da tensão desgina-se 
por produto volt-ampère ou potência aparente. A sua unidade é dada 
em VA. A potência aparente multiplicada pelo factor cos, dá a 
potência activa ou potêncial real. Por essa rezão, cos é conhecido 
como factor de potência.
IUS 
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 8
Potência nos circuitos de C.A.
Triângulo de potências
cosIUP 
senIUQ 
IUS 
Electrotecnia Teorica I­­_2010 3
ANALISE DE CIRCUITOS 2014
9
Potência nos circuitos de C.A.
Suponhamos que temos circuito alimentado com tensão sinusoidal da 
qual resulta uma corrente sinusoidal: 
UUU  III 
O produto destas grandezas resulta em: 
IUUIIU  
Como se pode constatar o desfasamento entre a tensão e acorrente 
não aparece correctamente definido. Para que isso suceda, deve-se 
multiplicar pelo conjugado da corrente: 
IUUIIUS   
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 10
Máxima transferência de potência
Uma rede pode ser considerada como contendo dois
elementos, a fonte e a carga. A fonte pode ser substituída por
um circuito equivalente de Thevenin ou um circuito de Norton.
Assim para uma rede de corrente alternada, a representação
da fonte equivalente de Thevenin e considerando uma carga,
será:
ThE CZ
ThZ a
b
CI
CZ
ANALISE DE CIRCUITOS 2014 11
Máxima transferência de potência
A potência na carga é dada por:
;2
CC RIP  Atendendo que a corrente na carga é:
22 )()(
;
)()(
CthCth
th
C
CthCth
th
C
XXRR
EI
XXjRR
EI




Pode-se escrever a expressão da
potência como se segue:
22
2
)()( thCthC
Cth
XXRR
REP


ANALISE DE CIRCUITOS 2014 12
Máxima transferência de potência
Neste caso, verifica-se que a potência pode depender de
ou de . Assim o máximo pode ocorrer em duas situações:
0
CdR
dP
CZ
CX
0
CdX
dP













thC
thC
thCthC
thCCthth
thCthC
ththCCthCthCth
CC
XX
RR
XXRR
XXRRE
XXRR
ERRRXXRRE
dR
dP
dR
dP
0
])()[(
])()[(
0
])()[(
)(2])()[(0
222
2222
222
2222
Electrotecnia Teorica I­­_2010 4
ANALISE DE CIRCUITOS 2014
13
Máxima transferência de potência
Neste caso, verifica-se que a potência pode depender de RC ou
de XC. Assim o máximo pode ocorrer em duas situações:
thththC
thC
thCthC
thCthC
CC
XjRZZ
XX
XXRR
XXER
dX
dP
dX
dP





*
222
2
0
])()[(
)(20
Analise_Circuitos/Fundamentos_Circuitos_Electricos_2014.pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. Fundamentos de Circuitos Eléctricos 
 2
1.1 Circuitos lineares de corrente contínua 
1.1.1 Introdução 
Na teoria dos circuitos eléctricos, os componentes electromagnéticos e os 
processos físicos que ocorrem neles e no espaço que os rodeia são substituídos 
através de certos cálculos de equivalência por circuitos eléctricos. 
Um circuito eléctrico é uma interligação entre fontes e conversores de energia (ou 
cargas) através dos quais uma corrente eléctrica pode circular. Os fenómenos 
electromagnéticos que se processam num circuito eléctrico podem ser descritos em 
função de tensão, força electromotriz (f.e.m.) , resistência, indutância e capacidade. 
As fontes de energia ou f.e.m. são dispositivos que convertem outras formas de 
energia (química, mecânica, etc.) em energia eléctrica. 
A energia eléctrica fornecida é depois transformada nos conversores (cargas) em 
outras formas de energia (trabalho mecânico, calor, luz, etc.). 
 
1.1.2 Carga, corrente eléctrica e intensidade da corrente 
1.1.2.1 Carga eléctrica ou quantidade de electricidade 
O número de electrões em excesso ou defeito, num corpo, define a carga eléctrica 
ou quantidade de electricidade que esse corpo possui. 
Seria, no entanto, inadequado expressá-la desta forma, já que num corpo 
electrizado a grandeza desse número ultrapassa os milhares de trilião. 
Escolheu-se, por conseguinte, uma unidade mais conveniente: o Coulomb (C). 
exC 1910625,01  
1.1.2.2 Corrente eléctrica 
Os electrões livres são, como sabemos, os agentes transportadores de carga. 
Sabemos que num corpo no estado neutro esses electrões erram por toda a sua 
superfície. 
Sob uma diferença de potencial (d.p.p.), os electrões (cargas