Dimensionamento de Estruturas de Concreto

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Universidade de São Paulo
Escola Politécnica - Engenharia Civil
PEF - Departamento de Engenharia de Estruturas 
e Fundações
ES25 - Conceitos Fundamentais de 
Dimensionamento de Estruturas de 
Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
Flexão Simples
Professores: Túlio N. Bittencourt 
ES25
Flexão Simples
Dimensionamento e Verificação
______________________________________________________________________
As
Mud Mud
A A’ B’ B
diagrama de e
fissuras
es
ecu
seção
transversal trecho de viga
Tipos de ruptura na flexão
Em geral, tem-se os seguintes tipos de ruptura: 
 
 se As = 0, ou muito pequena  ruptura frágil (brusca) por tração no concreto; 
 se As for muito grande (pequena deformação es) ruptura frágil (brusca) por 
esmagamento do concreto comprimido; e 
 se As for “adequada”  ruptura dútil (com aviso), com escoamento da armadura 
e acompanhada de intensa fissuração da zona tracionada 
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Dimensionamento e Verificação
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Hipóteses básicas
1) manutenção da seção plana: por exemplo, as seções A e B passam para A’ e B’, quando
fletidas, permanecendo planas;
2) aderência perfeita entre concreto e armadura: inexistência de escorregamento entre os
materiais (a deformação da armadura es é admitida igual à deformação da fibra de
concreto ec , junto a esta armadura);
3) a tensão no concreto é nula na região da seção transversal sujeita a deformação de
alongamento;
4) diagrama tensão-deformação (de cálculo) na armadura
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Dimensionamento e Verificação
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aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento.
ssd
fyk
fyd
eyd 0,010
esd
arctg Es
diagrama de cálculo
 Es = 21.000 kN/cm
2
fyk = valor característico da resistência da armadura correspondente ao 
patamar de escoamento (resistência característica no escoamento)
s = 1,15 (coeficiente de ponderação da resistência da armadura)
fyd = fyk / s = valor de cálculo da resistência da armadura correspondente 
ao patamar de escoamento
eyd = fyd / Es = deformação correspondente ao início do patamar de 
escoamento
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aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento.
ssd
fyk
fyd
eyd 0,010
esd
arctg Es
diagrama de cálculo
 Es = 21.000 kN/cm
2
fyk = valor característico da resistência da armadura correspondente ao 
patamar de escoamento (resistência característica no escoamento)
s = 1,15 (coeficiente de ponderação da resistência da armadura)
fyd = fyk / s = valor de cálculo da resistência da armadura correspondente 
ao patamar de escoamento
eyd = fyd / Es = deformação correspondente ao início do patamar de 
escoamento
 Os aços desta categoria são os seguintes:
TIPO fyk (kN/cm
2) fyd (kN/cm
2) eyd
CA25 25 21,74 0,00104
CA32 32 27,83 0,00132
CA40A 40 34,78 0,00166
CA50A 50 43,48 0,00207
Os aços são designados pela sigla CA (Concreto Armado), seguido da resistência 
característica no escoamento em kN/cm2.
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aço encruado (CA50B e CA60B)
ssd
fyk
fyd
eyd 0,010
esd
arctg Es
diagrama de cálculo
0,002
A
B
 Até o ponto A (limite de proporcionalidade), tem-se diagrama linear; entre
A e B, admite-se diagrama em parábola do 2o grau; e, além do ponto B,
um patamar.
Admite-se que o diagrama tensão-deformação na armadura seja o mesmo,
na tração e na compressão.
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diagrama tensão-deformação (de cálculo) no concreto
diagrama parábola-retângulo
scd
0,85fcd
0,002 0,0035
ec (encurtamento)
parábola do 2o grau
patamar
c = 1,4 (coeficiente de ponderação da resistência do concreto)
fcd = fck / c
0,85 : coeficiente para considerar a queda de resistência do concreto
para cargas de longa duração (efeito Rusch)
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diagrama retangular simplificado
As
Mud
x
k fcd
0,8x
deformação de
estado limite
último (eu)
x = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimida
k = 0,85 , quando a largura da zona comprimida não diminui em
direção à borda comprimida (seção retangular)
0,80 , em caso contrário
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estado limite último convencional na flexão
O estado limíte último é atingido quando ocorre uma das duas situações seguintes:
1) a deformação de encurtamento no concreto (ecu) atinge 0,0035; denomina-se, estado
limite último por esmagamento do concreto;
As
ecu = 0,0035
es
Mud
2) a deformação de alongamento na armadura mais tracionada (esu) atinge 0,010; denomina-
se, estado limite último por alongamento plástico excessivo da armadura;
As
ec
esu = 0,010
Mud
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domínios de deformação
Conforme foi visto no ítem anterior, o estado limite último convencional ocorre quando o
diagrama de deformação passa por um dos dois pontos, A ou B
h
d
As
0,0035
eyd
0,010
A
B
x34
x23
D4
D3
D2
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Mud
d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimida
x = altura da zona comprimida (medida a partir da borda comprimida)
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Diz-se que o diagrama de deformação do tipo 2 está no domínio de deformação 2 
(D2); passa pelo ponto B (ELUlt. por alongamento plástico excessivo da armadura) e 
o encurtamento do concreto na borda comprimida está compreendido entre 0 e 
0,0035. O concreto é pouco solicitado e a armadura está em escoamento. A ruptura é 
do tipo dútil (com “aviso”). A altura da zona comprimida obedece à condição: 
 
 x  x23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d 
 
que pode ser obtida por semelhança de triângulos 
Diz-se que o diagrama do tipo 3 está no domínio 3 (D3); passa pelo ponto A (ELUlt.
por esmagamento do concreto) e o alongamento da armadura está compreendido entre
eyd e 0,010. O concreto está adequadamente solicitado e a armadura está em
escoamento. A ruptura é do tipo dútil (com “aviso”). A altura da zona comprimida
obedece à condição:
x23  x  x34 = 0,0035 d / (0,0035 + eyd)
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Diz-se que o diagrama de deformação 4 está no domínio 4 (D4); passa pelo ponto A
(ELUlt. por esmagamento do concreto) e o alongamento da armadura está
compreendido entre 0 e eyd. O concreto está muito solicitado e a armadura é pouco
solicitada. A ruptura é do tipo frágil (praticamente, sem “aviso”). A altura da zona
comprimida obedece à condição:
x34  x  d.
A seção que atinge o ELUlt. nos domínios D2 e D3 é dita subarmada ou normalmente
armada.
Quando o ELUlt. é atingido no D4, a seção é dita superarmada. Trata-se de situação
antieconômica, pois a armadura não é explorada na sua plenitude. Procura-se evitar o
dimensionamento neste domínio.
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seção retangular com armadura simples
A seção retangular com armadura simples é caracterizada da seguinte forma:
 a zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular;
a barras que constituem a armadura está agrupada junto à borda tracionada e pode ser
imaginada concentrada no seu centro de gravidade
h
d
b
x
0,8x
0,85fcd
Rcd
Rsd
0,4x
d- 0,4x
Mud
As
eu
ssd
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 Resultantes das tensões:
no concreto: Rcd = 0,85fcdb0,8x = 0,68bxfcd
na armadura: Rsd = Asssd
 Equações de equilíbrio:
de força: Rcd = Rsd ou 0,68bxfcd = Asssd (1)
de momento: Mud = Rcd(d - 0,4x)
ou
Mud = Rsd(d - 0,4x)
Substituindo o valor das resultantes de tensão, vem:
Mud = 0,68bxfcd(d - 0,4x) (2)
ou
Mud = Asssd(d - 0,4x) (3)
h
d
b
x
0,8x
0,85fc
d Rcd
Rsd
0,4
x
d - 0,4x
MSd
As
eu
ssd
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Caso de dimensionamento
Nos casos usuais de dimensionamento, tem-se b, fcd e faz-se Mud = Md (momento fletor
solicitante em valor de cálculo). Normalmente, pode-se adotar d  0,9 h. Dessa forma, a
equação (2) nos fornece o valor de x:
0 4
0 68
02,
,
x d x
M
bf
d
cd
   
x d x
M
bf
d
cd
2 2 5
2 5
0 68
0  ( , )
,
,
x d
M
bd f
d
cd
  





1 25 1 1
0 425 2
,
,
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Com o valor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo ocorrer as
seguintes situações:
I) domínio 2, onde x x23 = 0,259 d; e ssd = fyd
II) domínio 3, onde x23  x x34 = 0,0035 d / (0,0035 + eyd); e ssd = fyd
III) domínio 4, se x  x34; neste caso, convém alterar a seção para se evitar a peça 
superarmada; esta alteração pode ser obtida da seguinte forma:
 aumentando-se h (normalmente, b é fixo pois depende da espessura da 
parede onde a viga é embutida);
 adotando-se armadura dupla.
Obs.: o aumento da resistência do concreto (fck), também permitiria fugir do 
domínio 4.
Para a situação adequada de peça subarmada tem-se, ssd = fyd . Assim, a equação (3) nos
fornece
A
M
d x
M
f d xs
d
sd
d
yd



s ( , ) ( , )0 4 0 4
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Caso de verificação
Algumas vezes, procura-se o momento resistente da seção inteiramente definida. Nas duas
equações de equílíbrio, as variáveis desconhecidas são: x, Mud e ssd. Contudo, esta última é
conhecida ou é função de x; de fato, nos domínios 2 e 3 tem-se ssd = fyd e, no domínio 4, ela
é dada pela expressão:
s esd s sd sE E
d x
x
  

0 0035, .
Dessa forma, tem-se duas equações a duas incógnitas e, portanto, o Mud procurado.
Não se sabe, a priori, qual o domínio de deformação correspondente ao ELUlt. Assim, a
solução pode ser obtida por tentativas:
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Caso de verificação
admite-se, por exemplo, que o ELUlt. corresponda ao domínio 2 ou 3 (armadura em
escoamento); da equação de equilíbrio de força tem-se
0,68 b x fcd = As ssd = As fyd
e, portanto
x = (As fyd) / (0,68 b fcd)
que permitirá verificar a validade da hipótese inicialmente admitida. Caso positivo, é só
determinar o momento resistente
Mud = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x)
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Caso de verificação
Se a hipótese inicial não for válida, isto é, se o ELUlt. corresponder ao domínio 4, a tensão
na armadura será função de x e o seu novo valor pode ser obtido da equação de equilíbrio
(reescrita):
0 68 0 0035, ,       

b x f A A E
d x
xcd s sd s s
s .
e o momento procurado é obtido, substituindo esse valor de x na expressão já vista
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A p l ic a ç ã o à s v ig a s u s u a i s d e e d i f íc io s
bw
bw
b2
bf
bf
L1
hf =
b1
l
V1
V2
M’
M
As
bf
b1 bw
hf 0,8x
eu
0,85fcd0,85fcd
Mud
Seção T
10/1 ab 
















00,2
60,0
75,0
00,1
a
Viga simplismente apoiada
Momento em uma só extremidade
Em balanço
Momento nas duas extremidades
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bf
bw
Rsd
d
hf
MSd
1 1
2
x 0,8x
0,85fcd Rcfd
Rcwd
eu
As
Rcfd = 0,85 fcd (bf - bw) hf
Rcwd = 0,85 fcd bw (0,8 x)
Mcwd = Md - Rcfd (d - hf / 2)
Rsd = As fyd = Rcfd + Rcwd
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s e ç ã o r e t a n g u l a r c o m a r m a d u r a d u p la
h
d
d’
A’s
As
b
x
e’s
ec
0,4x
d’
Rcd
R’sd
Rsd
MSd
Equilíbrio de força: Rsd = Rcd + R’sd
As ssd = 0,68 b x fcd + A’sd s’sd (a)
Equilíbrio de momento:
Md = Rcd (d - 0,4 x) + R’sd (d - d’)
Md = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) + A’sd s’sd (d - d’) (b)
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s e ç ã o r e t a n g u la r c o m a r m a d u r a d u p la
Tem-se duas equacões, (a) e (b) e três incógnitas: x, As e A’s (pois, as tensões nas
armaduras dependem de x). Costuma-se adotar um valor de x (naturalmente, menor ou
igual a x34), por exemplo, x = d/2. Dessa forma, podem ser determinadas as armaduras As e
A’s como se indica a seguir. As equações (a) e (b) sugerem a decomposição mostrada na
figura seguinte.
x
ec
0,4x d’
Rcd
R’sd
Rsd1
Mwd
d
b
d
d’
A’s
As2
Rsd2
x
e’s
Md
ec
As1
d-0,4x
d-d’
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s e ç ã o r e t a n g u la r c o m a r m a d u r a d u p la
x
ec
0,4x d’
Rcd
R’sd
Rsd1
Mwd
d
b
d
d’
A’s
As2
Rsd2
x
e’s
Md
ec
As1
d-0,4x
d-d’
Conforme se indica na figura acima, pode ser determinada a primeira parcela do momento
resistente, designada por Mwd:
Mwd = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x)
e
Rsd1 = Mwd / (d - 0,4 x).
Como ssd = fyd (peça subarmada), tem-se
As1 = Rsd1 / fyd.
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Dimensionamento e Verificação
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s e ç ã o r e t a n g u la r c o m a r m a d u r a d u p la
x
ec
0,4x d’
Rcd
R’sd
Rsd1
Mwd
d
b
d
d’
A’s
As2
Rsd2
x
e’s
Md
ec
As1
d-0,4x
d-d’
Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente 
 Md = Md - Mwd. 
Também, 
 Md = R’sd (d - d’) = A’sd s’sd (d - d’) 
e 
 Md = Rsd2 (d - d’) = As2 ssd (d - d’) 
que permitem determinar as áreas restantes de armadura, As2 e A’s. 
 
De fato, 
 R’sd = Rsd2 = Md / (d - d’) 
e 
 As2 = Rsd2 / fyd 
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Dimensionamento e Verificação
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s e ç ã o r e t a n g u la r c o m a r m a d u r a d u p la
x
ec
0,4x d’
Rcd
R’sd
Rsd1
Mwd
d
b
d
d’
A’s
As2
Rsd2
x
e’s
Md
ec
As1
d-0,4x
d-d’
O cálculo de A’s, requer a determinação da tensão s’sd. Com x = x, tem-se, no domínio 3
ec = 0,0035 e, no domínio 2:
ec = 0,010 x / (d - x) (por semelhança de triângulos).
Logo
e’s = ec (x - d’) / x
que permite obter s’sd (no diagrama s x e da armadura).
Finalmente
A’s = R’sd / s’sd e As = As1 + As2
ES25
Classe de agressividade
Micro-clima
Macro-clima Ambientes internos Ambientes externos e obras em geral
Seco1)
UR  65%
Úmido ou ciclos2) de 
molhagem e secagem
Seco3)
UR  65%
Úmido ou ciclos4) de 
molhagem e secagem
Rural I I I II
Urbana I II I II
Marinha II III ----- III
Industrial II III II III
Especial 5) II III ou IV III III ou IV
Respingos de maré ----- ----- ----- IV
Submersa  3m ----- ----- ----- I
Solo ----- ----- não 
agressivo I
úmido e agressivo II, 
III ou IV
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Classede agressividade e qualidade do concreto
Concreto Tipo Classe de agressividade 
I II III IV
Relação 
água/aglomerant
e em massa
CA  0,65  0,60  0,55  0,45
CP  0,60  0,55  0,50  0,45
Classe de 
concreto 
(NBR 8953)
CA  C20  C25  C30  C40
CP  C25  C30  C35  C40
NOTAS:
CA Componentes e elementos estruturais de concreto armado
CP Componentes e elementos estruturais de concreto protendido
ES25
Cobrimento
Tipo de estrutura Componente ou 
elemento
Classe de agressividade ambiental (tabela 1)
I II III IV3)
Cobrimento nominal
mm
Concreto armado Laje2) 20 25 35 45
Viga/Pilar 25 30 40 50
Concreto 
protendido1)
Todos 30 35 45 55
29
30
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ES25
Armadura mínima de flexão
Forma da 
seção
Valores de rmin*
%
fck 20 25 30 35 40 45 50
wmín
Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
T 
(mesa 
comprimida)
0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197
T 
(mesa tracionada)
0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0.229 0,255
Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575
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