Pesquisa Sobre Progressão

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Escola Técnica "Adolpho Berezin" 
Mongaguá, 17 de Março de 2021 
Natalie Gonçalves da Silva 2MA2 
Curso:​ NovoTec-Administração 
Disciplina:​ Matemática Prof° Clodomir/Abreu 
Atividade:​ Pesquisa Sobre Progressão 
 
1° Pesquise o que é Sequência, escreva sobre dando exemplos. Diga também o que é 
Sequência Finita e Infinita. 
 
O que é Sequência 
 
Sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma 
determinada ordem. 
Exemplo:​ O diário do professor é composto pelos nomes de seus alunos. Esses nomes 
obedecem a uma ordem (são escritos em ordem alfabética), assim, essa lista de nomes 
(diário) é considerada uma sequência. 
Exemplo:​ Os dias do mês são dispostos no calendário obedecendo a certa ordem, que 
também é um tipo de sequência. 
 
Sequência Finita 
 
Sequência finita é uma sequência numérica na qual os elementos têm fim, como, por 
exemplo​, a sequência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35. 
 
 
Sequência Infinita 
 
Sequência infinita é uma sequência que não possui fim, ou seja, seus elementos seguem ao 
infinito, por ​exemplo:​ a sequência dos números naturais. 
 
 
2° Pesquise o que é a obtenção dos elementos de uma sequência. Quero exemplos e 
3 exercícios escritos e resolvidos. 
 
Sequência 
 
Na matemática, a sequência numérica ou sucessão numérica corresponde a uma função 
dentro de um agrupamento de números. 
De tal modo, os elementos agrupados numa sequência numérica seguem uma sucessão, 
ou seja, uma ordem no conjunto. 
 
Classificação 
 
As sequências numéricas podem ser finitas ou infinitas, ​por exemplo: 
SF = (2, 4, 6, ..., 8) 
SI = (2,4,6,8...) 
Note que quando as sequências são infinitas, elas são indicadas pelas reticências no final. 
Além disso, vale lembrar que os elementos da sequência são indicados pela letra a. ​Por 
exemplo: 
1° elemento:​ a1 = 2 
4° elemento:​ a4 = 8 
O último termo da sequência é chamado de enésimo, sendo representado por "an". Nesse 
caso, o "an" da sequência finita acima seria o elemento 8. 
Assim, podemos representá-la da seguinte maneira: 
SF =​ (a1, a2, a3,...,an) 
SI =​ (a1, a2, a3, an...) 
 
Lei de Formação 
 
A Lei de Formação ou Termo Geral é utilizada para calcular qualquer termo de uma 
sequência, expressa pela expressão: 
an = 2n2 - 1 
 
Lei de Recorrência 
 
A Lei da Recorrência permite calcular qualquer termo de uma sequência numérica a partir 
de elementos antecessores: 
an = an-1, an-2,...a1 
 
Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas 
 
Dois tipos de sequências numéricas muito utilizadas na matemática são as progressões 
aritmética e geométrica. 
A progressão aritmética ​(PA)​ é uma sequência de números reais determinada por uma 
constante r (razão), a qual é encontrada pela soma entre um número e outro. 
A progressão geométrica ​(PG)​ é uma sequência numérica cuja razão (r) constante é 
determinada pela multiplicação de um elemento com o quociente (q) ou razão da PG. 
Para compreender melhor, veja abaixo os ​exemplos: 
PA​ = (4,7,10,13,16...an...) PA infinita de razão (r) 3 
PG​ (1, 3, 9, 27, 81, ...), PG crescente de razão (r) 3 
 
Exercícios 
 
1) Seguindo o padrão da sequência numérica, qual o próximo número 
correspondente nas sequências abaixo: 
 
A)​ (1, 3, 5, 7, 9, 11,...) 
B)​ (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) 
C)​ (3, 6, 9, 12,...) 
D)​ (1, 4, 9, 16,...) 
E) ​(37, 31, 29, 23, 19, 17,...) 
a)​ Trata-se de uma sequência de número ímpares, donde o próximo elemento é o 13. 
b)​ Sequência de números pares, cujo elemento sucessor é o 12. 
c)​ Sequência de razão 3, donde o próximo elemento é 15. 
d)​ O próximo elemento da sequência é o 25, donde: 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25. 
e)​ Trata-se de uma sequência de números primos, sendo o próximo elemento 13. 
 
2) Complete às sequência numérica baseado na lógica de cada sequência, 
escrevendo uma frase que explique a obtenção de cada termo e tente obter uma 
representação matemática que ajude na obtenção do próximo elemento. 
 
A)​ 1,3,5,7, , , 
B)​ 1,2,4,8, , , 
C)​ 3,7,11,15,19 , , , 
D)​ 100, 90, 800, 70, , , 
a)​1,3,5,7,9,11… A sequência aumenta de dois em dois. 
b)​1,2,4,8,16,32… A sequência se segue com o dobro do número anterior. 
c)​3,7,11,15,19,23,27… A sequência aumenta de quadro em quadro. 
d)​100,90,800,70,600,50… Se diminui 20 números nas dezenas e 200 nas centenas em 
ordem regressiva. 
 
3) Determine os três próximos números da sequência 0, 5, 10, 15, 20, … 
 
Perceba que temos uma PA com razão 5. 
Portanto, podemos continuar desenvolvendo a sequência utilizando a fórmula do termo 
geral da PA. 
an = a1 + (n – 1) . r 
Assim, os três próximos termos são: 
a6 = 0 + (6 – 1) . 5 = 0 + 5 . 5 = 25 
a7 = 0 + (7 – 1) . 5 = 0 + 6 . 5 = 30 
a8 = 0 + (8 – 1) . 5 = 0 + 7 . 5 = 35 
Portanto, os três próximos termos da sequência são: 25, 30 e 35 
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … 
 
3° Pesquise P.A (Progressão aritmética). Quero exemplos e 5 exercícios escritos e 
resolvidos. 
 
A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois 
termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da 
P.A.. 
Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são 
resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior. 
Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são 
multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados. 
As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. 
finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita). 
Para indicar que uma sequência continua indefinidamente utilizamos reticências, por 
exemplo: 
a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. infinita. 
a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita. 
 
Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para 
representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um número 
que indica sua posição na sequência. 
Por ​exemplo​, o termo a4 na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 
4ª posição na sequência. 
 
Classificação de uma P.A. 
 
De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em: 
Constante:​ quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0. 
Crescente:​ quando a razão for maior que zero. ​Por exemplo:​ (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2. 
Decrescente:​ quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5 
 
Propriedades da P.A. 
 
1ª propriedade: 
 
Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos 
extremos. 
 
Exemplo 
 
 
2ª propriedade: 
 
Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média 
aritmética dos outros dois termos. 
 
Exemplo 
 
 
3ª propriedade: 
Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média 
aritmética do primeiro termo com o último termo. 
 
Exemplo 
 
 
Fórmula do Termo Geral 
 
Como a razão de uma P.A. é constante, podemos calcular seu valor a partir de quaisquer 
termos consecutivos, ou seja: 
 
 
Sendo assim, podemos encontrar o valor do segundo termo da P.A. fazendo: 
 
 
Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o mesmo cálculo: 
 
 
Substituindo o valor de a2, que encontramos anteriormente, temos: 
 
 
Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos encontrar: 
 
 
Observando os resultados encontrados, notamos que cada termo será igual a soma do 
primeiro termo com a razão multiplicada pela posição anterior. 
Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da P.A., que nos permite 
conhecer qualquer elemento de uma progressão aritmética. Assim, temos: 
a com n subscrito igual a a com 1 subscrito mais parêntese esquerdo n menos 1 parêntese 
direito. r. 
 
Onde, 
an :​ termo que queremos calcular. 
a1:​ primeiro termo da P.A. 
n:​ posição do termo que queremos descobrir. 
r:​ razão. 
 
Exemplo 
Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, …) 
SoluçãoPrimeiro, devemos identificar que a1 = 26, r = 31 - 26 = 5 e n = 10 (10º termo). Substituindo 
esses valores na fórmula do termo geral, temos: 
an = a1 + (n - 1) . r 
a10 = 26 + (10-1) . 5 
a10 = 26 + 9 .5 
a10 = 71 
Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a ​71​. 
 
Soma dos Termos de uma P.A. 
 
Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, basta utilizar a fórmula: 
 
Onde, 
Sn:​ soma dos n primeiros termos da P.A. 
a1:​ primeiro termo da P.A. 
an:​ ocupa a enésima posição na sequência. 
n:​ posição do termo. 
 
Exercícios 
 
1) PUC/RJ - 2018 
Sabendo que os números da sequência (y, 7, z, 15) estão em progressão aritmética, 
quanto vale a soma y + z? 
 
A)​ 20 
B) ​14 
C)​ 7 
D)​ 3,5 
E)​ 2 
Para encontrar o valor de z, podemos usar a propriedade que diz que quando temos três 
termos consecutivos o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois. Assim, 
temos: 
 
Sendo z igual a 11, então a razão será igual a: 
r = 11 - 7 = 4 
 
Desta forma, y será igual a: 
y = 7 - 4 = 3 
 
Portanto: 
y+z = 3 + 11 = 14 
Alternativa: b) 14 
 
2) IFRS - 2017 
Na figura abaixo, temos uma sequência de retângulos, todos de altura a. A base do 
primeiro retângulo é b e dos retângulos subsequentes é o valor da base do anterior 
mais uma unidade de medida.​ ​Sendo assim, a base do segundo retângulo é b+1 e do 
terceiro b+2 e assim sucessivamente. 
 
Considere as afirmativas abaixo. 
I - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão aritmética de razão 1. 
II - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão aritmética de razão a. 
III - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão geométrica de razão a. 
IV - A área do enésimo retângulo (An) pode ser obtida pela fórmula An = a . (b + n - 1). 
 
Assinale a alternativa que contém a(as) afirmativa(s) correta(s). 
A)​ I. 
B)​ II. 
C) ​III. 
D)​ II e IV. 
E)​ III e IV. 
Calculando a área dos retângulos, temos: 
A = a . b 
A1 = a . (b + 1) = a . b + a 
A2 = a . (b + 2) = a . b. + 2a 
A3 = a . (b + 3) = a . b + 3a 
 
Pelas expressões encontradas, notamos que a sequência forma uma P.A. de razão igual a 
a. Continuando a sequência, encontraremos a área do enésimo retângulo, que é dada por: 
An= a . b + (n - 1) .a 
An = a . b + a . n - a 
 
Colocando o a em evidência, temos: 
An = a (b + n - 1) 
Alternativa: d) II e IV. 
 
3) Analise as sequências a seguir: 
 
A – (1, 4, 7, 10, 13) 
B – (1, 1, 1, 1, 1, 1) 
C – (9, 3, -3, -9, -15...) 
D – (1, 0, -1, 2, -2, 3, -3) 
 
Sobre as sequências, podemos afirmar que: 
A)​ Todas são progressões aritméticas. 
B) ​Somente A e C são progressões aritméticas. 
C)​ Somente D não é uma progressão aritmética. 
D)​ Somente B e D são progressões aritméticas. 
E)​ Nenhuma das sequências representa uma progressão aritmética. 
Alternativa C 
Para que uma sequência seja uma progressão a aritmética, a diferença de um termo com o 
seu antecessor tem que ser constante, essa diferença é o que chamamos de razão r. 
 
Analisando cada uma delas, temos que: 
A – (1, 4, 7, 10, 13) é uma progressão aritmética: 
 4 – 1 = 3 
7 – 4 = 3 
10 – 7 = 3 
13 – 10 = 3 
 
É fácil ver que, de um termo para o seu anterior, a diferença é sempre 3, o que faz com que 
essa seja uma PA de razão 3. 
 
B – (1, 1, 1, 1, 1, 1) é uma progressão aritmética: 
1 – 1= 0 
 
Note que a diferença entre um termo e o outro é sempre igual a 0, logo, essa é uma 
progressão arimética de razão 0. 
 
C – (9, 3, -3, -9, -15...) é uma progressão aritmética: 
3 – 9 = -6 
-3 – 3 = -6 
-9 – (-3) = -9 + 3 = -6 
-15 – (-9) = -15 + 9 = -6 
 
Note que a diferença entre um termo e o outro é sempre igual a -6, logo, essa é uma 
progressão arimética de razão -6. 
 
D – (1, 0, -1, 2, -2, 3, -3) não é uma progressão aritmética: 
0 – 1 = -1 
-1 – 0 = -1 
2 – (-1) = 2 + 1 = 3 
 
Já é possível perceber que essa sequência não é uma progressão aritmética, pois a 
diferença entre os termos não é constante. 
 
4) Os ganhos de uma empresa, ao decorrer do ano, foram de R$800.000 no primeiro 
mês, e, a cada mês, houve um aumento de R$15.000 em relação ao mês anterior. 
Caso essa tendência seja mantida durante todos os meses, o lucro mensal dessa 
empresa, em dezembro, será de: 
 
A)​ R$165.000 
B)​ R$180.000 
C)​ R$816.500 
D) ​R$965.000 
E)​ R$980.000 
Alternativa D 
Analisando a situação, é possível percebermos que o primeiro termo a1 = 800.000 e que a 
razão dessa progressão r = 15.000. 
 
Utilizando a fórmula do termo geral de uma P.A., queremos encontrar os lucros no 12º mês 
(dezembro), ou seja, o termo a12. 
 
Sabemos que: 
an = a1 + (n – 1) r 
 
Substituindo os valores conhecidos, temos que: 
a12 = 800.000 + (12 – 1) 15.000 
a12 = 800.000 + 11 · 15.000 
a12 = 800.00 + 165.000 
a12 = 965.000 
 
5) No ano de 2020, infelizmente, as Olimpíadas foram adiadas devido à pandemia de 
COVID-19. Sabendo que as Olimpíadas ocorrem de 4 em 4 anos e supondo que, em 
2021, tenhamos esse evento, e que, até 2100, ele não passe por um novo adiamento, a 
quantidade de Olimpíadas que terão acontecido nesse intervalo será de: 
 
A)​18 
B)​19 
C) ​20 
D)​ 21 
E)​ 22 
Alternativa C 
Queremos o valor de n, tal que an seja igual a 2100 ou o valor que chegue mais próximo a 
ele. 
 
Sabendo que: 
an = 2100 
a1 = 2021 
r = 4 
 
Sendo assim, faremos: 
an = a1 + (n – 1) r 
2100 = 2021 + (n – 1) · 4 
2100 – 2021 = (n – 1) · 4 
79 = (n – 1) · 4 
79 = 4n – 4 
79 + 4 = 4n 
83 = 4n 
n = 83/4 
n = 20,75 
 
Note que a parte inteira é o número de Olimpíadas que já ocorreram, logo, o número de 
Olimpíadas, nesse intervalo de tempo, é igual a 20. 
 
4° Fórmula do termo geral de uma P.A com exemplos e 5 exercícios escritos e 
resolvidos. 
 
Termo Geral da P.A 
 
O termo geral da PA é uma fórmula usada para encontrar um dos termos da progressão 
aritmética quando o primeiro termo, o último termo, a razão e a quantidade de termos são 
conhecidos. 
O termo geral de uma progressão aritmética (PA) é uma fórmula usada para encontrar um 
termo qualquer de uma PA, indicado por an, quando seu primeiro termo (a1), a razão (r) e o 
número de termos (n) que essa PA possui são conhecidos. 
 
A fórmula do termo geral da progressão aritmética é a seguinte: 
an = a1 + (n – 1)r 
 
Essa fórmula pode ser obtida a partir de uma análise dos termos da PA. Para isso, é preciso 
conhecer bem alguns elementos e características das progressões aritméticas, os quais 
serão discutidos brevemente a seguir. 
 
O que é uma P.A 
 
Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo (número) é 
resultado da soma de seu antecessor com uma constante, chamada razão. Os termos de 
uma PA são indicados por índices, de modo que cada índice determina a posição de cada 
elemento da progressão. Veja um ​exemplo: 
A = (a1, a2, a3, … an) 
Se an – an – 1 = k para todo n, então, a sequência acima é uma progressão aritmética. 
 
Encontrando a fórmula do termo geral da P.A 
 
Sabendo que cada termo de uma PA é igual ao seu anterior somado a uma constante, 
podemos escrever os termos da PA em função do primeiro termo. Na progressão A = (1, 3, 
5, 7, 9, 11, 13, … an), por ​exemplo​, teremos: 
a1 = 1 
a2 = 1 + 2 
a3 = 1 + 2·2 
a4 = 1 + 2·3 
a5 = 1 + 2·4 
a6 = 1 + 2·5 
a7 = 1 + 2·6 
… 
an = 1 + 2·(n – 1) 
 
Essa é a fórmula usada para encontrar qualquer termo, ou seja, o termo geral da P.A dada 
como exemplo. 
 
Sabendo que an representa um termo qualquer de uma PA, podemos tentar encontrar o 
termo geral de uma progressão aritmética cujos termos são desconhecidos. Para isso, 
considere uma PA que possui n termos. Saiba que a1 é o primeiro, an é o último e a razão é 
r. 
 
Podemos escrever os termos dessa PA em função do primeiro da seguinte maneira: 
a1 = a1 
a2 = a1 + r 
a3 = a1 + r + r = a1 + 2r 
a4 = a1 + r + r + r = a1 + 3r 
… 
an = a1 + r + r + r … + r = a1 + r(n – 1) 
 
Assim, reescrevendo a última igualdade e reorganizando os termos do último membro, 
teremos: 
an = a1 + (n – 1)r 
 
Essa é a fórmula do termo geral da progressão aritmética. 
 
Exemplo 
Qual é o centésimo termo da progressãoaritmética a seguir: 
(2, 4, 6, 8, …) 
 
Trata-se da progressão aritmética formada por todos os números pares a partir de 2. Assim, 
o primeiro termo é 2, a razão é 2 e o número de termos é 100, pois queremos descobrir o 
centésimo termo. Veja: 
an = a1 + (n – 1)r 
a100 = 2 + (100 – 1)2 
a100 = 2 + (99)2 
a100 = 2 + 198 
a100 = 200 
 
Exercícios 
 
1)Em uma progressão aritmética em que o primeiro termo é 23 e a razão é – 6, a 
posição ocupada pelo elemento – 13 é: 
 
A)​ 8ª 
B)​ 7ª 
C)​ 6ª 
D)​ 5ª 
D)​ 4ª 
Alternativa B 
A fórmula do termo geral de uma PA é: 
an = a1 + (n – 1)r 
 
an é o termo geral. 
n é a posição ocupada pelo termo em questão. 
r é a razão da PAm 
a1 é o primeiro termo da progressão. 
 
Substituindo os valores dados no exercício na fórmula acima, teremos: 
– 13 = 23 + (n – 1)·(– 6) 
– 13 = 23 – 6n + 6 
6n = 23 + 6 + 13 
6n = 36 + 6 
6n = 42 
n = 42 
6 
n = 7 
O número – 13 ocupa a 7ª posição. 
 
2) O gráfico, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o 
crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. Se 
mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o 
número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a: 
 
A) ​465 
B) ​493 
C) ​498 
D)​ 538 
E)​ 699 
Alternativa C 
Observando o crescimento no gráfico, podemos concluir que ele é linear. Assim, a cada 
intervalo de quatro anos o número de espécies ameaças de extinção cresce de forma igual 
ao intervalo anterior. 
 
Dessa forma, de acordo com o gráfico, o crescimento pode ser compreendido como uma 
progressão aritmética (PA), na qual os termos são o números de espécie ameaçadas de 
extinção a cada quatro anos. 
O primeiro termo dessa PA é 239, e o sétimo termo é 461. 
 
Com esses dados, podemos usar a fórmula do termo geral da PA para encontrar sua razão. 
an = a1 + (n – 1)r 
461 = 239 + (7 – 1)r 
461 = 239 + 6r 
461 – 239 = 6r 
222 = 6r 
r = 222 
 6 
r = 37 
 
Observe no gráfico que os períodos observados são dados de quatro em quatro anos. 
Assim, o próximo número de espécies ameaçadas de extinção já é relativo a 2011. 
Portanto, basta somar a razão ao último termo para encontrar a solução: 
461 + 37 = 498 
 
3) Qual é o centésimo primeiro termo de uma PA cujo primeiro termo é 107 e a razão é 
6? 
 
A)​ 507 
B)​ 607 
C)​ 701 
D)​ 707 
E)​ 807 
Alternativa D 
Considerando que o primeiro termo é 107, a razão é 6, e procuramos o centésimo primeiro 
termo, podemos usar a fórmula do termo geral da PA para encontrá-lo. 
a100 = 107 + (101 – 1)·6 
a100 = 107 + 100·6 
a100 = 107 + 600 
a100 = 707 
 
4) Qual é a posição do termo 109 em uma PA de razão 3, cujo primeiro termo é igual a 
10? 
 
A)​ 30ª 
B)​ 31ª 
C)​ 32ª 
D)​ 33ª 
E)​ 34ª 
Alternativa E 
Sabendo que o primeiro termo é 10, o último é 109 e a razão é 3, basta usar a fórmula do 
termo geral para encontrar a posição do termo 109: 
an = a1 + (n – 1)r 
109 = 10 + (n – 1)3 
109 = 10 + 3n – 3 
109 – 10 + 3 = 3n 
102 = 3n 
n = 102 
 3 
n = 34 
 
5) Que número ocupa a 700ª posição na PA seguinte? (3, 7, 11, …) 
 
A)​ 2000 
B)​ 2700 
C)​ 2799 
D)​ 3000 
E)​ 3099 
Para calcular esse termo, basta usar a fórmula do termo geral da PA. Observe que o 
primeiro termo em questão é 3, a razão é 4 e n = 700. 
an = a1 + (n – 1)r 
a700 = 3 + (700 – 1)4 
a700 = 3 + (699)4 
a700 = 3 + 2796 
a700 = 2799 
Gabarito: letra C. 
 
5° P.A e função afim 
 
Função Afim e Progressão Aritmética (PA) 
 
Há um relacionamento muito importante entre a função afim e a progressão aritmética, que 
veremos agora. 
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a parti do segundo, é 
o termo anterior mais uma constante, chamada razão da progressão aritmética. Por 
exemplo, a sequencia 
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19… 
é uma progressão aritmética de razão 3. 
 
Vamos considerar agora a função afim f: R → R definida por f(x) = 2x + 1. 
 Podemos observar que: 
f(1), f(4), f(7), f(10), f(13), f(16), f(19)… 
é também uma progressão aritmética. 
 
Assim, 
f(x) = 2x + 1 
f(1) = 3; f(4) = 9; f(7) = 15; f(10) = 21; f(13) = 27; f(16) = 33; f(19) = 39; etc. 
 
Podemos concluir que 
3, 9, 15, 21, 27, 33, 39… 
é uma progressão aritmética e sua razão é 6 (2 . 3). 
 
6° P.A e função quadrática- exercícios 5 no mínimo 
 
Formação Quadrática 
 
Se f é contínua e transforma progressões aritméticas em progressões aritméticas de 
segunda ordem, então f é da forma f(x) = ax2+bx+c. 
A progressão aritmética – P.A é uma sequência de valores que apresenta uma diferença 
constante entre números consecutivos. 
 
Função Quadrática 
 
A função quadrática é uma função f : ℝ→ℝ, definida como f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c 
números reais e a ≠ 0. 
Este tipo de função pode ser aplicada em diversas situações do cotidiano, nas mais 
variadas áreas. Portanto, saber resolver problemas que envolvem este tipo de cálculo é 
fundamental. 
 
Exercícios 
 
1) UFRGS - 2018 
As raízes da equação 2x2 + bx + c = 0 são 3 e − 4. Nesse caso, o valor de b - c é 
 
A)​ −26. 
B)​ −22. 
C)​ −1. 
D)​ 22. 
E)​ 26. 
As raízes de uma equação do 2º grau correspondem aos valores de x em que o resultado 
da equação é igual a zero. 
Portanto, substituindo o x pelos valores das raízes poderemos encontrar o valor de b e c. 
Fazendo isso, ficaremos com o seguinte sistema de equações: 
 
Subtraindo os valores encontrados, temos: 
b - c = 2 - (-24) = 26 
Alternativa e) 26 
 
2) Enem - 2017 
A igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar 
Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas 
parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da 
capela. A figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas 
para simplificar os cálculos. 
 
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2? 
 
A)​ 16/3 
B) ​31/5 
C)​ 25/4 
D)​ 25/3 
E)​ 75/2 
Nesta questão precisamos calcular o valor da altura. Para isso, vamos representar a 
parábola no eixo cartesiano, conforme figura abaixo. 
 
Escolhemos o eixo de simetria da parábola coincidindo com o eixo y do plano cartesiano. 
Assim, notamos que a altura representa o ponto (0, yH). 
Observando o gráfico da parábola, percebemos ainda, que o 5 e o -5 são as duas raízes da 
função e que o ponto (4,3) pertence à parábola. 
 
Com base em todas essas informações, vamos utilizar a forma fatorada da equação do 2º 
grau, ou seja: 
y = a . (x - x1) . (x - x2) 
 
Onde: 
a: coeficiente 
x1 e x2: raízes da equação 
Para o ponto x = 4 e y = 3, temos: 
 
Conhecendo o valor de a, podemos calcular o valor da altura (yH) usando novamente a 
forma fatorada da equação do 2º grau. Para isso, consideramos x = 0, conforme indicado no 
gráfico acima: 
 
Alternativa: d) 25/3 
 
3) UNESP - 2017 
Uma função quadrática f é dada por f(x) = x2 + bx + c, com b e c reais. Se f(1) = –1 e 
f(2) – f(3) = 1, o menor valor que f(x) pode assumir, quando x varia no conjunto dos 
números reais, é igual a 
 
A)​ –12. 
B)​ –6. 
C)​ –10. 
D)​ –5. 
E)​ –9. 
O gráfico da função apresentada é uma parábola com a concavidade voltada para cima, 
pois a = 1 (positivo). Sendo assim, o menor valor da f(x) será a coordenada y do seu vértice. 
Sendo yv encontrado através da fórmula: 
 
 
Assim, para encontrar o vértice é necessário conhecer os valores de b e c. Para tal, iremos 
utilizar as informações, substituindo os valores de x e y na função. Ou seja: 
Expressão I : f(1) = - 1 ⇒ 12 + 1 . b + c = - 1 ⇒ b + c = - 2 
Expressão II : f(2) - f(3) = 1 ⇒ 22+ 2 . b + c - (32 + 3 . b + c) = 1 ⇒ 4 + 2b +c - 9 - 3b - c = 1 
⇒ - 5 - b = 1⇒ b = - 6 
 
Substituindo o valor encontrado de b, na expressão I, temos: 
- 6 + c = - 2 ⇒ c = - 2 + 6 ⇒ c = 4 
 
Portanto, a função é: f(x) = x2 - 6x + 4. Calculando o yv desta função, encontramos: 
 
Alternativa: d) -5 
 
4) UERJ - 2016 
Observe a função f, definida por: 
 
 
Se f(x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4. 
Assim, o valor positivo do parâmetro k é: 
 
A)​ 5 
B)​ 6 
C)​ 10D)​ 15 
Como o coeficiente a da função é positivo (1) seu gráfico será uma parábola com a 
concavidade voltada para cima. Logo, o vértice da parábola será o ponto em que o valor da 
função é mínimo. 
No enunciado é informado que esse valor é igual a 4, ou seja, que o yv = 4. Sendo assim, 
usaremos a expressão do yv para calcular o valor do parâmetro k. 
 
Como a questão pede o valor positivo do parâmetro k, então iremos desprezar o valor de k 
= - 5 
Alternativa: a) 5 
 
5) UFSM - 2015 
A água é essencial para a vida e está presente na constituição de todos os alimentos. 
Em regiões com escassez de água, é comum a utilização de cisternas para a captação 
e armazenamento da água da chuva. Ao esvaziar um tanque contendo água da chuva, 
a expressão 
 
Representa o volume (em m3) de água presente no tanque no instante t (em minutos) 
Qual é o tempo, em horas, necessário para que o tanque seja esvaziado? 
 
A)​ 360. 
B) ​180. 
C)​ 120. 
D)​ 6. 
E)​ 3. 
O instante que o tanque ficará vazio pode ser calculado, considerando V(t) = 0. Então, 
vamos igualar a função dada a zero e calcular o valor de t. 
 
Precisamos ainda passar o valor encontrado para horas. Lembrando que 1 hora é igual a 60 
min, então 360 min será igual a 6 h. 
Alternativa: d) 6 
 
7° Pesquise soma dos "N" primeiros termos de uma P.A. Exemplos e 5 exercícios 
resolvidos. 
 
Soma dos n termos de uma PA 
Considere a PA finita: 
(5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19). 
 
Note que: 
5 e 19 são extremos; 
7 e 17 são termos equidistantes dos extremos; 
9 e 15 são termos equidistantes dos extremos; 
11 e 13 são termos equidistantes dos extremos. 
 
Observe: 
5 + 19 = 24 → soma dos extremos 
7 + 17 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos 
9 + 15 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos 
11 + 13 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos 
 
Baseada nessa ideia, existe a seguinte propriedade: 
Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos 
extremos. 
 
Através dessa propriedade, podemos descobrir a fórmula para a soma dos n termos de uma 
PA: 
Vamos considerar a PA finita . Podemos representar por a soma 
dos termos dessa PA. 
 
Como a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos, a 
soma da PA é dada pela soma dos extremos vezes a metade do número de termos 
pois em cada soma estão envolvidos dois termos. 
 
Assim, temos a fórmula da soma dos n termos de uma PA: 
 
Sn = ​soma dos n termos 
a1=​ primeiro termo 
an=​ enésimo termo 
n =​ número de termos 
Observação:​ Através dessa fórmula, podemos calcular a soma dos n primeiros termos de 
uma PA qualquer, basta determinarmos o número de termos que queremos somar. 
 
Exemplo 1 
 
Qual a soma dos 10 primeiros termos da PA (1, 4, 7, ...) ? 
 
Resolução 
Primeiramente, temos de descobrir qual é o 10º termo dessa PA: 
 
Conhecendo o valor do 10º termo, podemos calcular a soma dos 10 primeiros termos dessa 
PA: 
 
Portanto, a soma dos 10 primeiros termos da PA (1, 4, 7, ...) é 145. 
 
Exemplo 2 
 
A soma dos n primeiros números pares positivos de uma PA é 132. Encontre o valor de n. 
 
Resolução 
 
Primeiramente, vamos descobrir qual é o enésimo termo an: 
 
Substituindo na fórmula da soma dos termos: 
 
Portanto, a soma dos 11 primeiros números pares positivos é 132. 
 
Exercícios 
 
1)Qual é a soma dos 30 termos iniciais da progressão aritmética (2, 9, 16, …)? 
 
A)​ 205 
B) ​3105 
C)​ 6210 
D)​ 207 
E)​ 203 
A soma dos termos de uma PA finita ou dos termos iniciais de uma PA infinita é dada por: 
S = n(a1 + an) 
 2 
 
Para usar essa fórmula, é necessário descobrir apenas o valor do trigésimo termo dessa 
PA. Isso pode ser feito pela fórmula do termo geral a seguir: 
an = a1 + (n – 1)r 
a30 = 2 + (30 – 1)7 
a30 = 2 + (29)7 
a30 = 2 + 203 
a30 = 205 
 
Substituindo os dados na expressão que soma os termos de uma PA, teremos: 
S = n(a1 + an) 
 2 
S = 30(2 + 205) 
 2 
S = 30(207) 
 2 
S = 6210 
 2 
S = 3105 
 
Assim, a soma dos 30 primeiros termos da PA é 3105. 
Gabarito: letra B. 
 
2) Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 1000? 
 
A)​ 249980 
B)​ 1010 
C)​ 249975 
D)​ 499950 
E)​ 999 
Para calcular essa soma, podemos usar a soma dos termos de uma PA. Para isso, basta 
saber o primeiro e o último número ímpar da sequência e a quantidade de números ímpares 
no intervalo. Para isso, observe que o primeiro número ímpar após 10 é 11, e o último 
número ímpar antes de 1000 é 999. 
Já a quantidade de números ímpares é a metade da quantidade total de números na 
sequência. Note apenas que a sequência começa e termina com um número par. Para que 
esse cálculo dê certo, ignoraremos um deles. 
Assim, são 990 números pares e ímpares de 11 a 1000 e, portanto, 495 números ímpares. 
 
Substituindo os dados na fórmula usada para soma dos termos de uma PA, teremos: 
S = n(a1 + an) 
 2 
S = 495(11 + 999) 
 2 
S = 495(1010) 
 2 
S = 495(1010) 
 2 
S = 499950 
 2 
S = 249975 
 
A soma dos números ímpares que vão de 10 a 1000 é igual a 249975. 
Gabarito: letra C. 
 
3) Em uma PA de razão 5, cuja soma dos 50 primeiros termos é 6625, qual é o 25º 
elemento? 
 
A)​ 245 
B)​ 12250 
C)​ 13250 
D)​ 255 
E​) 10 
Primeiramente, precisamos relacionar o termo inicial e o final. Podemos fazer isso usando a 
fórmula do termo geral da PA. O objetivo dessa relação é usá-la na fórmula para a soma 
dos termos da PA, pois essa soma depende desses termos. Observe: 
an = a1 + (n – 1)r 
a50 = a1 + (50 – 1)5 
a50 = a1 + (49)5 
a50 = a1 + 245 
 
Agora, com a fórmula da soma dos termos de uma PA, substituiremos a50 por a1 + 245 e S 
por 6625: 
S = n(a1 + an) 
 2 
S = 50(a1 + a50) 
 2 
6625 = 50(a1 + a1 + 245) 
 2 
2·6625 = 50(2a1 + 245) 
13250 = 100a1 + 12250 
13250 – 12250 = 100a1 
1000 = 100a1 
a1 = 10 
 
Conhecendo o valor de a1, podemos descobrir a50 voltando à fórmula do termo geral da 
PA: 
an = a1 + (n – 1)r 
a50 = a1 + (50 – 1)5 
a50 = a1 + (49)5 
a50 = a1 + 245 
a50 = 10 + 245 
a50 = 255 
Gabarito: letra D. 
 
4) Qual é a soma de todos os naturais que vão de 1 até 100? 
 
A) ​5050 
B) ​10100 
C) ​1010 
D)​ 50500 
E)​ 8080 
Esse problema é o que deu origem à fórmula da soma dos termos de uma PA. Para calcular 
essa soma, já sabemos que o primeiro termo é 1, o último é 100 e que são exatamente 100 
termos. Portanto, podemos escrever: 
S = n(a1 + an) 
 2 
S = 100(1 + 100) 
 2 
S = 100(101) 
 2 
S = 10100 
 2 
S = 5050 
Gabarito: letra A. 
 
5) Na sequência definida por , a soma dos 10 primeiros termos é igual a 
 
A) ​53/2 
B)​ 265/2 
C)​ 53 
D)​ 265 
E)​ 53 
Gabarito: letra B 
Usando a fórmula da soma da Progressão Aritmética: 
 
Temos então que achar quem é a0 e an. 
 
Agora aplicando a fórmula: