1.69. Demuestre que det[UV ] es una funci´on bilineal de pares de vectores columna U, V en R 2 verificando que a) det[U W V ] det[U V ] det[W V ] y det[U V W] det[U V ] det[U W]...

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1.69. Demuestre que det[UV ] es una función bilineal de pares de vectores columna U , V en R2 verificando
que:
a) det[U +W V ] = det[U V ] + det[W V ] y det[U V +W ] = det[U V ] + det[U W ]
Sea U = (u1, u2), V = (v1, v2) y W = (w1, w2), entonces:
det[U +W V ] = det
(
u1 + w1 v1
u2 + w2 v2
)
= (u1 + w1)v2 − (u2 + w2)v1
= u1v2 + w1v2 − u2v1 − w2v1
= u1v2 − u2v1 + w1v2 − w2v1
= det[U V ] + det[W V ]
det[U V +W ] = det
(
u1 v1 + w1
u2 v2 + w2
)
= u1(v2 + w2)− u2(v1 + w1)
= u1v2 + u1w2 − u2v1 − u2w1
= u1v2 − u2v1 + u1w2 − u2w1
= det[U V ] + det[U W ]
b) det[cU V ] = cdet[U V ] y det[U cV ] = cdet[U V ]
Sea c un numero y U = (u1, u2), V = (v1, v2) vectores en R2, entonces:
det[cU V ] = det
(
cu1 v1
cu2 v2
)
= (cu1)v2 − (cu2)v1
= cu1v2 − cu2v1
= c det[U V ]
det[U cV ] = det
(
u1 cv1
u2 cv2
)
= u1(cv2)− u2(cv1)
= cu1v2 − cu2v1
= c det[U V ]
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