1.53 Denotemos la función producto punto b(U, V ) U V . Verifiquemos que el producto punto es distributivo y conmutativo y demostremos que es una función bilineal simétrica verificando las siguientes

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1.53. Denotemos la función producto punto b(U, V ) = U ·V . Verifiquemos que el producto punto es distributi-
vo y conmutativo y demostremos que es una función bilineal simétrica verificando las siguientes propiedades:
a) b(U, V ) es bilineal.
Sea V = (v1, ..., vn), U = (u1, ..., un), W = (w1, ..., wn) vectores en R
n, y a1, a2, c1, c2 números,
entonces:
Veamos si es lineal por la derecha
b(a1U + a2W,V ) = b((a1(u1, ..., un) + a2(w1, ..., wn)), (v1, ..., vn))
= b(((a1u1, ..., a1un) + (a2w1, ..., a2wn)), (v1, ..., vn))
= b((a1u1 + a2w1, ..., a1un + a2wn), (v1, ..., vn))
= (a1u1 + a2w1, ..., a1un + a2wn) · (v1, ..., vn)
= (a1u1 + a2w1)v1, ..., (a1un + a2wn)vn
= a1u1v1 + a2w1v1, ..., a1unvn + a2wnv1
= (a1u1v1, ..., a1unvn) + (a2w1v1, ..., a2wnv1
= a1(u1v1, ..., unvn) + a2(w1v1, ..., wnv1)
= a1(U · V ) + a2(W · V )
= a1b(U, V ) + a2b(W,V )
Ahora veamos linealidad por la izquierda
b(U, c1V + c2W ) = b((u1, ..., un), (c1(v1, ..., vn) + c2(w1, ..., wn)))
= b((u1, ..., un), ((c1v1, ..., c1vn) + (c2w1, ..., c2wn)))
= b((u1, ..., un), (c1v1 + c2w1, ..., c1vn + c2wn))
= (u1, ..., un) · (c1v1 + c2w1, ..., c1vn + c2wn)
= u1(c1v1 + c2w1), ..., un(c1vn + c2wn)
= u1c1v1 + u1c2w1, ..., unc1vn + unc2wn
= c1u1v1 + c2u1w1, ..., c1unvn + c2u1wn
= c1(u1v1, ..., unvn) + c2(u1w1, ..., unwn)
= c1(U · V ) + c2(U ·W )
= c1b(U, V ) + c2b(U,W )
∴ el producto punto es bilineal y distributivo ■
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b) b(U, V ) = b(V,U)
b(U, V ) = b((u1, ..., un), (v1, ..., vn))
= (u1, ..., un) · (v1, ..., vn)
= u1v1, ..., unvn
= v1u1, ..., vnun
= (v1, ..., vn) · (u1, ..., un)
= V · U
= b(V,U)
∴ el producto punto es bilineal simétrico y conmutativo. ■
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