Certamen2-MAT023-final-pauta

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Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Certamen n◦2 - MAT023
11 de noviembre de 2017
Apellido Paterno Apellido Materno Nombres
Rut Rol Firma
Paralelo Nombre del Profesor (a)
Instrucciones :
◦ Tiempo 120 minutos.
◦ Escriba con lápiz pasta o tinta. Los desarrollos con
lápiz grafito no tienen derecho a apelación
◦ Escriba con claridad y justifique cada uno de sus
desarrollos y respuestas.
◦ No se permiten calculadoras, celulares ni hojas
adicionales.
◦ No debe arrancar hojas del cuadernillo.
◦ Quienes sean sorprendidos cometiendo actos de
deshonestidad académica tendrán nota 0 en esta
prueba. Adicionalmente, su caso será puesto a dis-
posición de la Comisión Universitaria, que posee
la facultad de iniciar una investigación sumaria y
aplicar sanciones mayores.
Puntaje
1.
2.
3.
4.
Nota
MAT023 Coordinación 2do semestre 2017 1/5
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Certamen n◦2 - MAT023
11 de noviembre de 2017
1. a) (12 puntos) Considere la superficie S1 dada por la ecuación S1 : x2 + y3 + yx2z3 + 4z2 = 3. Hallar el
plano tangente a esta superficie en el punto (2,−1, z
0
), con z
0
6= 0.
b) (13 puntos) Sea f : R2 → R la función definida por f(x, y) = y2 e−x2 . Calcule el plano tangente al
gráfico de f en el punto
(
0, 1, f(0, 1)
)
.
Solución:
a) Sea f(x, y, z) = x2 + y3 + yx2z3 + 4z2 − 3. En primer lugar, notamos que f ∈ C∞(R3), por lo cual f es
diferenciable en R3, y que S1 se obtiene como la superficie de nivel S1 : f(x, y, z) = 0. Además, como
P0(2,−1, z0) ∈ S1, obtenemos que:
4− 1− 4z30 + 4z20 − 3 = 0
de donde z0 = 0, o bien z0 = 1. Por hipótesis, z0 6= 0, ası́ que P0 = (2,−1, 1) ∈ S1.
Por otro lado, por la diferenciabilidad de f , tenemos que∇f(2,−1, 2) ⊥P0 S1 : f(x, y, z) = 0, y entonces,
el plano tangente a S1 en P0 está dado por:
π : ∇f(2,−1, 1)·(x− 2, y + 1, z − 1) = 0
y como:
fx = 2x+ 2xyz
3
fy = 3y
2 + x2z3
fz = 3yx
2z2 + 8z
tenemos que ∇f(2,−1, 1) = (0, 7− 4). Ası́:
π : 7y − 4z + 11 = 0
b) Pongamos z = f(x, y). Como f ∈ C∞(R2), se tiene que f es diferenciable en R2. Además, f(0, 1) = 1.
Por otro lado, defina G : R3 → R por:
G(x, y, z) = f(x, y)− z
Luego, G es diferenciable en R3, y además, notamos que el gráfico z = f(x, y) se obtiene como la
superficie de nivel:
G(x, y, z) = 0
Ası́, y como:
fx = −2xy2e−x
2
∧ fy = 2ye−x
2
tenemos que el vector normal al gráfico en (0, 1, 1) está dado por:
∇G(0, 1, 1) =
(
fx(0, 1), fy(0, 1), −1
)
= (0, 2,−1)
MAT023 Coordinación 2do semestre 2017 2/5
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Finalmente, si π es el plano tangente al gráfico de f en (0, 1, 1), entonces:
π : ∇G(0, 1, 1) · (x, y − 1, z − 1) = 0
: (0, 2,−1) · (x, y − 1, z − 1) = 0
: 2(y − 1)− (z − 1) = 0
: 2y − z = 1
MAT023 Coordinación 2do semestre 2017 3/5
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2. a) (12 puntos) Sea f(x, y, z) = x3 + 2xy + y2 + z2 − 5x− 4z.
(i) Verifique que P1(5/3, −5/3, 2) y P2(−1, 1, 2) son puntos crı́ticos de f .
(ii) Clasifique los puntos crı́ticos anteriores. Justifique.
b) (13 puntos) Hallar los extremos de la función f(x, y, z) = x+ 2y − z + 1 sobre la esfera x2 + y2 + z2 = 2.
Solución:
a) (i) Note, primeramente, que f ∈ C∞(R3), luego f es diferenciable en R3. Entonces, para que P1 y P2
sean puntos crı́ticos, se debe cumplir que:
∇f
(
Pi
)
= (0, 0, 0), i = 1, 2.
En efecto, como:
fx = 3x
2 + 2y − 5
fy = 2x+ 2y
fz = 2z − 4
tenemos que:
∇f(x, y, z) =
(
3x2 + 2y − 5, 2x+ 2y, 2z − 4
)
Evaluando P1 y P2 en ∇f(x, y, z), se verifica que son puntos crı́ticos de f .
(ii) Como f es de clase C∞ en R2, podemos utilizar el criterio del Hessiano para clasificar los puntos
crı́ticos P1(5/3, −5/3, 2) y P2(−1, 1, 2). En efecto, como fx = 3x2+2y−5, fy = 2x+2y y fz = 2z−4,
tenemos que:
fxx = 6x ; fxy = 2 ; fxz = 0
fyy = 2 ; fyz = 0
fzz = 2
y por tanto, la matriz Hessiana de f está dada por:
Hf(x, y, z) =
6x 2 02 2 0
0 0 2
 = H
de donde:
D1(H) = 6x ; D2(H) =
∣∣∣∣∣6x 22 2
∣∣∣∣∣ = 12x− 4; D3(H) =
∣∣∣∣∣∣∣
6x 2 0
2 2 0
0 0 2
∣∣∣∣∣∣∣ = 24x− 8
Ası́:
D1(H) D2(H) D3(H) Tipo
P1(5/3,−5/3, 2) + + + mı́nimo local
P2(−1, 1, 2) − − − punto de silla
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b) Sea f(x, y, z) = x+ 2y − z + 1 y defina g(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2. Como f, g ∈ C∞(R3), los extremos
de f sobre la restricción g(x, y, z) = 0 (los cuales existen por la continuidad de f y la compacidad de
g = 0), deben satisfacer el sistema:  ∇f(x, yz) = λ∇g(x, y, z)g(x, y, z) = 0
para algún λ ∈ R. Es decir, los extremos de f sobre la restriccón deben satisfacer:
1 = 2λx
2 = 2λy
−1 = 2λz
x2 + y2 + z2 = 2
Notamos que λ 6= 0 y que x = 1/2λ, y = 1/λ y z = −1/2λ; reemplazando en g(x, y, z) = 0, obtenemos:
1 + 4 + 1 = 8λ2
de donde |λ| =
√
3/2. Por tanto, tenemos los extremos de f sobre x2 + y2 + z2 = 2 dados por:
P1
(
1/
√
3, 2/
√
3, −1/
√
3
)
; P2
(
− 1/
√
3, −2/
√
3, 1/
√
3
)
Ası́, por inspección, f alcanza el máximo sobre x2 + y2 + z2 = 2 en P1 y el mı́nimo en P2.
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3. Considere las funciones vectoriales f y g definidas, respectivamente, por:
f(x, y) =
(
x− y2, 2xy, x2 + 3xy2
)
g(u, v, w) =
(
v2 − uw, v2 − w
)
a) (6 puntos) Calcule la matriz jacobiana de f en el punto (1, 1), es decir Jf(1, 1) o Df(1, 1).
b) (6 puntos) Calcule la matriz jacobiana de g en el punto (0, 2, 4), es decir Jg(0, 2, 4) o Dg(0, 2, 4).
c) (13 puntos) Sea h : R2 → R la función definida por h(x, y) =
(
ϕ ◦ g ◦ f
)
(x, y), con ϕ una función
diferenciable en R2 tal que ∇ϕ(4, 0) = (0, 1). Calcule ∇h(1, 1).
Solución:
a) En primer lugar, notamos que f : R2 → R3 dada por:
f(x, y) =
(
x− y2, 2xy, x2 + 3xy2
)
= (u, v, w)
es diferenciable en R2, debido a la diferenciabilidad de sus componentes u, v y w. Luego:
Df(x, y) = Jf(x, y)
=
ux uyvx vy
wx wy

=
 1 −2y2y 2x
2x+ 3y2 6xy

Por tanto:
Df(1, 1) =
 1 −2y2y 2x
2x+ 3y2 6xy
∣∣∣∣∣
(1,1)
=
1 −22 2
5 6

b) Análogamente al ı́tem anterior, tenemos que g : R3 → R2 definida por:
g(u, v, w) =
(
v2 − uw, v2 − w
)
= (s, t)
es diferenciable en R3. Además:
Dg(u, v, w) = Jg(u, v, w)
=
(
su sv sw
tu tv tw
)
=
(
−w 2v −u
0 2v −1
)
MAT023 Coordinación 2do semestre 2017 6/5
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Por tanto:
Dg(0, 2, 4) =
(
−w 2v −u
0 2v −1
)∣∣∣∣∣
(0,2,4)
=
(
−4 4 0
0 4 −1
)
c) Finalmente, como f y g son campos vectoriales diferenciables en sus respectivos dominios; y como
además, ϕ es diferenciable en R2, por la regla de la cadena, la función h : R2 → R dada por:
h(x, y) =
(
ϕ ◦ g ◦ f
)
(x, y)
es diferenciable en (1, 1). Ahora bien, notemos que (1, 1)
f7→ (0, 2, 4) g7→ (4, 0), entonces:
∇h(1, 1) = D
(
ϕ ◦ g ◦ f
)
(1, 1)
= ∇ϕ(4, 0) ·Dg(0, 2, 4) ·Df(1, 1)
=
(
0 1
)
·
(
−4 4 0
0 4 −1
)
·
1 −22 2
5 6

=
(
3 2
)
Ası́, h es una función diferenciable en (1, 1) con∇h(1, 1) = (3, 2).
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4. a) (12 puntos) Considere el sistema de ecuaciones S siguiente:
S :
{
xu2 + 2y2v2 + uvz = 1
vx2 − y2 + uv2 = 0
Demuestre que el sistema S anterior define funciones implı́citas, u = u(x, y, z) y v = v(x, y, z), en una
vecindad del punto P0
(
x0, y0, z0, u0, v0
)
= (0,−1, 1, 1,−1). Justifique.
b) (13 puntos) Sea f(x, y) = xy2 + y3 + x2y + x + 1. Calcule la derivada direccional de f en (0,−1) en la
dirección de un vector, en el primercuadrante, que forma un ángulo de π/4 con el eje X .
Solución:
a) A partir de las superficies definidas en el sistema, considere los campos escalares F y G dados por:
F (x, y, z, u, v) = xu2 + 2y2v2 + uvz − 1
G(x, y, z, u, v) = vx2 − y2 + uv2
Note que F,G ∈ C∞(R5), y que F (P0) = G(P0) = 0, con P0
(
x0, y0, z0, u0, v0
)
= (0,−1, 1, 1,−1); y
como además:
detD(u,v)(F,G)(P0) =
∣∣∣∣∣Fu FvGu Gv
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
P0
=
(
−1 −3
1 −2
)
= 5
Ası́, detD(u,v)(F,G)(P0) 6= 0, y por el teorema de la función implı́cita, existe una vecindad VP0 de P0 y
una única función:
ϕ : V(0,−1,1) ⊆ R3 → V(1,−1) ⊆ R2
de clase C∞ definida por ϕ(x, y, z) = (u, v) i.e. existen funciones implı́citas u = u(x, y, z) y v =
v(x, y, z).
b) Como f ∈ C∞(R2), se tiene que f es diferenciable en R2. Por otro lado, el eje X es generado por el vector
e1 = (1, 0). Ası́, si consideramos el vector ~u = (1, 1), en el primer cuadrante, obtenemos que:
∠
(
~u, e1
)
= arc cos(~u · e1/
√
2) = π/4
Por tanto, un vector unitario ~v en el primer cuadrante que forme un ángulo de π/4 con el eje X es
~v =
(√
2/2,
√
2/2
)
.
Por otro lado, como:
fx = y
2 + 2xy + 1 ∧ fy = 2xy + 3y2 + x2
MAT023 Coordinación 2do semestre 2017 8/5
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tenemos que:
∂f
∂~v
(0,−1) = ∇f(0,−1) · ~v
= (2, 3) ·
(√
2/2,
√
2/2
)
=
√
2 +
3
√
2
2
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