Exercícios Resolvidos de Matemática Universitária I

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Ejercicios resueltos
matemáticas universitarias I
Genaro Luna Carreto 1
Octubre 2016
1Profesor de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México.
FCE BUAP Matemáticas Universitarias I
OBJETIVO
La finalidad de ésta trabajo es resolver problemas que han salido en
exámenes departamentales de cálculo diferencial (matemáticas universitarias
I). Servirán como gúıa en la preparación de dicho examen.
Problema 1. Analice la siguiente función, diga si f es continua en todo
R. En caso que sea discontinua, diga dónde y explique si se trata de una
discontinuidad esencial o removible
f(x) =
x+ 2
x2 − x− 6
(1)
Solución 1. Se trata del cociente entre una función lineal y una cuadrática.
Evidentemente, por separado, ambas son continuas en todo punto. El único
riesgo para la función f , es exactamente cuando la cuadrática es cero, es decir
x2 − x − 6 = 0. Si uitliza la fórmula general, obtendrá que x2 − x − 6 = 0,
si x = −2 y x = 3. Entonces, la función f , es discontinua sólo en dos puntos
x = −2 y x = 3, pues no está definida en ellos. Ahora, identifiquemos que
tipo de discontinuidad es.
Calculemos ĺım
x→−2
x+ 2
x2 − x− 6
y ĺım
x→3
x+ 2
x2 − x− 6
.
Todo se tornará más simple si observamos que x2−x−6 = (x+2)(x−3):
ĺım
x→−2
x+ 2
x2 − x− 6
= ĺım
x→−2
x+ 2
(x+ 2)(x− 3)
(2)
= ĺım
x→−2
1
x− 3
(3)
= −
1
5
(4)
Genaro Luna Carreto 1 Octubre 2016
FCE BUAP Matemáticas Universitarias I
Por otro lado:
ĺım
x→3
x+ 2
x2 − x− 6
= ĺım
x→3
x+ 2
(x+ 2)(x− 3)
(5)
= ĺım
x→3
1
x− 3
(6)
(7)
Éste último ĺımite no existe, pues
ĺım
x→3+
1
x− 3
= ∞ (8)
(9)
ĺım
x→3−
1
x− 3
= −∞ (10)
(11)
En resumen, debido a que ĺım
x→−2
x+2
x
2
−x−6
= −1
5
, la discontinuidad es
removible en −2. Por otro lado, como ĺım
x→3
x+2
x
2
−x−6
no existe, la disconti-
nuidad en 3 es esencial.
Muchas veces, conviene recurrir a software de graficación para comprobar
nuestros resultados. En la figura siguiente, se observa la función f . Note que
en 3, hay una aśıntota vertical.
Genaro Luna Carreto 2 Octubre 2016
FCE BUAP Matemáticas Universitarias I
Problema 2. Sea
f(x) =
{
cx2 + 2x x < 2
x3 + cx x ≥ 2
¿Para que valor de c la función f es continua?
Solución 2. La función se encuentra definida en dos partes. En valores an-
teriores a 2, la función es cx2 + 2x, que en general, es un parábola. Es bien
sabido que las parábolas son continuas en todo su dominio, en particular, en
el intervalo x < 2.
Para valores mayores o iguales a 2, la función es x3 + cx, es decir, una
función polinómica, cuya continuidad en todo su dominio es conocida.
De manera que, el único punto en duda, es precisamente en el número
2. Trabajemos entonces en la continuidad sobre 2. Recuerde la definición de
continuidad ĺım
x→a
f(x) = f(a), que si la escribimos en particular para 2, se
observa aśı:
ĺım
x→2
f(x) = f(2)
Tenemos dos tareas: Calcular ĺım
x→2
f(x) y f(2). Es claro que ambas que-
darán en términos de la constante c.
Genaro Luna Carreto 3 Octubre 2016
FCE BUAP Matemáticas Universitarias I
Primero el ĺımite. Resulta que para calular ĺım
x→2
f(x), es necesario, utilizar
ĺımites laterales, pues la función tiene dos definiciones antes y después del 2.
ĺım
x→2+
f(x) = ĺım
x→2+
(x3 + cx) (12)
= 8 + 2c (13)
Por otro lado
ĺım
x→2−
f(x) = ĺım
x→2−
(cx2 + 2x) (14)
= 4c+ 4 (15)
En consecuencia, resultaron dos ecuaciones, que según lo que buscamos,
tienen que ser iguales: 8 + 2c = 4c + 4. De donde, c = 2. Por ende, existe
un único valor c tal que la igualdad de ĺımites laterales se logra: c = 2. Aśı,
ĺım
x→2
f(x) = 12
Hace falta ver que ocurre con f(2). Se toma la segunda parte de la defi-
nición de f
f(2) = 23 + 2c = 8 + 2c.
Con el valor de c = 2, obtenemos que
f(2) = 8 + 2(2) = 8 + 4 = 12
Finalmente,
ĺım
x→2
f(x) = 12 = f(2) = 4
la función es continua en 2, cuando c = 2. Aśı pues, la función f es continua
en todo número real, siempre y cuando c = 2.
Problema 3. Calcula los siguientes ĺımites
(a) ĺım
x→−2
x4 − 16
x(x3 − 8)
(b) ĺım
x→2
x4 − 16
x(x3 − 8)
Genaro Luna Carreto 4 Octubre 2016
FCE BUAP Matemáticas Universitarias I
Solución 3. He colocado ĺımites muy semejantes de manera intencional, con
la finalidad de evidenciar su solución diferente. ¡Ambos se refieren a la misma
función. Sin embargo, se deben calcular de manera diferente. La razón viene
dada por el ĺımite del denominador. En el primer caso, es fácil probar que
ĺım
x→−2
x(x3 − 8) = 32. Mientras que en el segundo caso: ĺım
x→2
x(x3 − 8) = 0. Aśı
pues, el primer ĺımite se reduce a una simple sustitución:
ĺım
x→−2
x4 − 16
x(x3 − 8)
=
ĺım
x→−2
(x4 − 16)
ĺım
x→−2
x(x3 − 8)
=
0
32
= 0 (16)
En el caso (b), no es posible hacer una sustitución porque el ĺımite del deno-
minador es cero. Lo que es peor, ĺımite del númerador también es cero. Hay
un camino, que consiste en descomponer en factores los productos notables
que aparecen, me refiero al producto de binomios conjugados y la diferencia
de cubos:
x4 − 16 = (x2 − 4)(x2 + 4) = (x− 2)(x+ 2)(x2 + 4)
x3 − 8 = (x− 2)(x2 + 2x+ 4)
En consecuencia
ĺım
x→2
x4 − 16
x(x3 − 8)
= ĺım
x→2
(x− 2)(x+ 2)(x2 + 4)
x(x− 2)(x2 + 2x+ 4)
(17)
= ĺım
x→2
(x+ 2)(x2 + 4)
x(x2 + 2x+ 4)
=
4
3
(18)
(19)
El úiltimo ĺımite fue una simple sustitución, pues después de cancelar (x−2),
el ĺımite del denominador ya no era cero.
Problema 4. Utiilice la definición de ĺımite en términos ǫ− δ para mostrar
que
ĺım
x→2
(2x+ 3) = 7
Solución 4. En primer recordemos la definición ǫ−δ. Se dice que ĺım
x→a
f(x) =
L si se cumple que:
∀ǫ ∃δ tal que 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ǫ
Genaro Luna Carreto 5 Octubre 2016
FCE BUAP Matemáticas Universitarias I
Es buen inicio si se sustituyen los datos de la función dada y el ĺımite:
∀ǫ > 0 ∃δ > 0 tal que 0 < |x− 2| < δ ⇒ |2x+ 3− 7| < ǫ
Es usual, con el fin de visualizar una δ, hacer operaciones y buscar equiva-
lencias. Aśı que pondré el mismo enunciado varias veces:
∀ǫ ∃δ tal que 0 < |x− 2| < δ ⇒ |2x− 4| < ǫ
∀ǫ ∃δ tal que 0 < |x− 2| < δ ⇒ 2|x− 2| < ǫ
∀ǫ ∃δ tal que 0 < |x− 2| < δ ⇒ |x− 2| <
ǫ
2
Éste último es muy importante, nos da cierta luz. Dice que para cada ǫ
dada, se requiere obtener una δ tal que
0 < |x− 2| < δ ⇒ |x− 2| <
ǫ
2
de donde es claro que δ = ǫ.
Lo descrito anteriormente no es la demostración, pero es útil, pues permite
encontrar relaciones, ecuaciones, desigualdades, etc., que indicarán un camino
hacia la demostración. Empecemos la demostración. Sea ǫ > 0. Tomemos
δ = ǫ
2
. Si |x− 2| < δ, se quiere mostrar que |2x+ 3− 7| < ǫ. Veamos:
|x− 2| <
ǫ
2
(20)
2|x− 2| < ǫ (21)
|2x− 4| < ǫ (22)
|2x+ 3− 7| < ǫ (23)
(24)
Problema 5. Calcula el siguinte ĺımite
ĺım
x→1+
x− 1
x2 + x− 2
Solución 5. Una de las primeras pruebas a ĺımites de cocientes, es calcular
el ĺımite del denominador. Si no es cero, calcular directamente. Si es cero,
siempre es útil una factorización.
Genaro Luna Carreto 6 Octubre 2016
FCE BUAP Matemáticas Universitarias I
ĺım
x→1+
(x2 + x− 2) = 0
Bueno, pues el ĺımite del denominador dio cero. Ahora veamos si una
factorización ayuda. Se factoriza fácilmente: x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1).
Sustituyendo
ĺım
x→1+
x− 1
x2 + x− 2
= ĺım
x→1+
x− 1
(x+ 2)(x− 1)
= ĺım
x→1+
1
x+ 2
Al parecer es suficiente con la simplificación, pues ahora el ĺımite del deno-
minador ya no es cero
ĺım
x→1+
1
x+ 2
=
1
3
Problema 6. Calcule el siguiente ĺımite
ĺım
x→0
tan2 x
x
En este caso conviene escribir la tangente en términos de senos y cosenos
Solución 6.
ĺım
x→0
tan2 x
x
= ĺım
x→0
sin2 x
cos2 x
x
(25)
= ĺım
x→0
sin2 x
x cos2 x
(26)
= ĺım
x→0
sin2 x
x cos2 x
(27)
= ĺım
x→0
[
sin x
x
· sin x ·
1
cos2 x
]
(28)
(29)
Es notable que el ĺımite quedó escrito como un producto de tres funciones.
Cada ĺımite por separado existe:
ĺım
x→0
sin x
x
= 1 , ĺım
x→0
sin x = 0 , ĺım
x→0
1
cos2 x
= 1
Esto implica queel ĺımite del producto tambien existe y es el producto
de los ĺımites:
ĺım
x→0
tan2 x
x
== ĺım
x→0
[
sin x
x
· sin x ·
1
cos2 x
]
= 1 · 0 · 1 = 0
Genaro Luna Carreto 7 Octubre 2016
FCE BUAP Matemáticas Universitarias I
Problema 7. Determina el valor de k, para el cual la siguiente función es
continua en todo número real
f(x) =
{
3x− 7 x ≤ 4
kx+ 1 x > 4
Solución 7. La función se encuentra definida por partes. Cuando x ≤ 4,
la función es la recta 3x − 7, la cual es continua en todo real, en particular
para x ≤ 4. De la misma forma, cuando x > 4, la función es la recta kx+ 1.
De manera que el único problema en cuanto a continuidad se refiere, está
ubicado en el punto x = 4. Resta determinar el valor de k, para el cual la
función es continua en 4. El objetivo radica en lograr la igualdad
ĺım
x→4
f(x) = f(4)
En primer lugar, obtengamos ĺım
x→4
f(x). La función se encuentra definida
a trozos, en puntos cercanos al 4, razón por la cual es conveniente trabajar
con los ĺımites laterales.
ĺım
x→4+
f(x) = ĺım
x→4+
(kx+ 1) = 4k + 1 (30)
(31)
ĺım
x→4−
f(x) = ĺım
x→4−
(3x− 7) = 5 (32)
(33)
Es bien sabido que el ĺımite total, ĺım
x→4 f(x), existe si y sólo si los ĺımites
laterales son iguales.
4k + 1 = 5
por lo tanto k = 1. Con todo esto, ĺım
x→4
f(x) = 12. Además, f(4) = 12. Esto
muestra que la función f para k = 1 es continua en 4.
Problema 8. Determine si la función dada es continua en R
f(x) =
{
−2x+ 3 x < 1
x2 x ≥ 1
Genaro Luna Carreto 8 Octubre 2016
FCE BUAP Matemáticas Universitarias I
Solución 8. El problema debe contener una explicación semejante al ejer-
cicio anterior, asi que se sugiere leerlo. Por otro lado, el único problema de
continuidad se encuentra en el número 1. Calculemos los ĺımites laterales
ĺım
x→1+
f(x) = ĺım
x→1+
x2 = 1 (34)
(35)
ĺım
x→1−
f(x) = ĺım
x→1−
(−2x+ 3) = 1 (36)
(37)
Los ĺımites laterales existen y son iguales, por ende el ĺımite total ĺım
x→1 f(x) =
1. También es fácil obtener que f(1) = 1. Finalmente, la función es continua
en todo número real
Genaro Luna Carreto 9 Octubre 2016