Problemas de Cálculo Multivariável

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MAT023
2do semestre de 2014
Pauta certamen 3: 10 de diciembre
1. Sea f : R2 → R, (x, y)→ f (x, y) una función de clase C2 (R2) que cumple
2x
∂f (x, y)
∂x
− y∂f (x, y)
∂y
= −3f (x, y)
Se define g : D ⊆ R2 → R, (u, v)→ g (u, v) = f
(
uv−2/3, v1/3
)
, muestre que
v
∂g (u, v)
∂v
= g (u, v)
Desarrollo: Pongamos x = uv−2/3 e y = v1/3 entonces
∂g (u, v)
∂v
=
∂f
∂x
∂x
∂v
+
∂f
∂y
∂y
∂v
=
∂f
∂x
∂
(
uv−2/3
)
∂v
+
∂f
∂y
∂
(
v1/3
)
∂v
=
∂f
∂x
(
−2
3
uv−5/3
)
+
∂f
∂y
(
1
3
v−2/3
)
multiplicando
v
∂g (u, v)
∂v
=
∂f
∂x
(
−2
3
uv−2/3
)
+
∂f
∂y
(
1
3
v1/3
)
=
(
−1
3
)(
2uv−2/3
∂f
∂x
− v1/3∂f
∂y
)
=
(
−1
3
)(
2x
∂f
∂x
− y∂f
∂y
)
=
(
−1
3
)
(−3f)
= g
ası́
v
∂g (u, v)
∂v
= g (u, v)
2. Considere la función f : R2 → R, (x, y) → f (x, y) = 3xey − x3 − e3y. Demostrar que
f tiene un único punto crı́tico y clasificarlo. ¿Es este punto crı́tico un extremo global?
Justificar.
Desarrollo: La función es de clase C∞ (R2) buscamos los puntos crı́ticos
∇f (x, y) = (fx (x, y) , fy (x, y))
=
(
∂
∂x
(
3xey − x3 − e3y
)
,
∂
∂y
(
3xey − x3 − e3y
))
=
(
3ey − 3x2, 3xey − 3e3y
)
1
luego
∇f (x, y) = (0, 0)
⇔
3ey − 3x2 = 0⇒ x2 = ey
3xey − 3e3y = 0⇒ xey = e3y
reemplazando
x3 = x6 ⇔ x3
(
x3 − 1
)
= 0
se sigue x = 0∨x = 1. si x = 0 entonces ey = 0 contradicción. Si x = 1 entonces y = 0, se
obtiene un único punto crı́tico (x, y) = (1, 0) . Vamos a clasificar el punto crı́tico usando
el criterio de la Hessiana.
Hf (x, y) =
(
fxx fxy
fxy fyy
)
=
( ∂
∂x
(3ey − 3x2) ∂
∂y
(3ey − 3x2)
∂
∂y
(3ey − 3x2) ∂
∂y
(3xey − 3e3y)
)
=
(
−6x 3ey
3ey 3xey − 9e3y
)
evaluando
Hf (1, 0) =
(
−6 3
3 −6
)
se sigue que los valores propios son −3 y −9 luego es un máximo local (o bien el primer
determinante es −6 y el segundo 36− 9 > 0). Notemos que este extremo no es global
pues
f (x, 0) = 3x− x3 − 1
y la cubica no tiene máximos ni mı́nimos globales.
3. Sean F,G : R3 → R funciones diferenciables. Muestre que si las superficies S1 :
F (x, y, z) = 0 y S2 : G (x, y, z) = 0 son tangentes en el punto de intersección x0 =
(x0, y0, z0) entonces
Fx (x0)
Gx (x0)
=
Fy (x0)
Gy (x0)
=
Fz (x0)
Gz (x0)
Desarrollo: Si las superficies son tangentes entonces tienen el mismo plano tangente
en x0, el vector normal al plano tangente es paralelo a (por propiedad vista en clases)
∇F (x0) y a∇G (x0), se sigue que
∇F (x0) = λ∇G (x0)
para algún λ (son vectores paralelos), ası́
(Fx (x0) , Fy (x0) , Fz (x0)) = λ (Gx (x0) , Gy (x0) , Gz (x0))
despejando λ se sigue en las tres ecuaciones se sigue
Fx (x0)
Gx (x0)
=
Fy (x0)
Gy (x0)
=
Fz (x0)
Gz (x0)
= λ
2
4. Argumentar (usando algún teorema de clases) que la función
F : R3 → R3
(x, y, z) → F (x, y, z) =
(
x2z + sin (πy) + 2y, y + z − sin (πx) , z − x2 + y2
)
es diferenciable en R3. Determine la Jacobiana de F en (1, 1, 1) y usando tal matriz
estimar el valor de
F
(
11
10
,
9
10
,
12
10
)
Justificar su estimación en términos de la diferenciabilidad de F .
Desarrollo: La función es diferenciable por álgebra de diferenciables. Calculamos la
Jacobiana
JF (x, y, z) =

∂F1
∂x
∂F1
∂y
∂F1
∂z
∂F2
∂x
∂F2
∂y
∂F2
∂z
∂F3
∂x
∂F3
∂y
∂F3
∂z

=

∂(x2z+sin(πy)+2y)
∂x
∂(x2z+sin(πy)+2y)
∂y
∂(x2z+sin(πy)+2y)
∂z
∂(y+z−sin(πx))
∂x
∂(y+z−sin(πx))
∂y
∂(y+z−sin(πx))
∂z
∂(z−x2+y2)
∂x
∂(z−x2+y2)
∂y
∂(z−x2+y2)
∂z

=
 2xz π cosπy + 2 x2−π cos πx 1 1
−2x 2y 1

evaluando
JF (1, 1, 1) =
 2 2− π 1π 1 1
−2 2 1

como la función es diferenciable
F (x, y, z) ≈ F (1, 1, 1) + JF (1, 1, 1) (x− 1, y − 1, z − 1)
ası́
F
(
11
10
,
9
10
,
12
10
)
≈
 32
1
+
 2 2− π 1π 1 1
−2 2 1
 1/10−1/10
2/10

≈
 110π + 1651
10
π + 21
10
4
5

3