Problemas de Matemática: Ecuaciones diferenciales e física

Vista previa del material en texto

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Campus Santiago
Certamen 2 Pauta - MAT 023
2do Semestre 2009
1. Para x > 0 , resuelva la ecuación:
x2y′′ − xy′ + y = 4x ln(x)
Solución:
Haciendo x = et obtenemos la ecuación
y′′(t)− 2y′(t) + y(t) = 4t et
En esta última ecuación y es una función de t : y = y(t) .
La ecuación característica de la ecuación homogenea asociada es: m2 − 2m + 1 = 0 . Tiene una raíz real
de multiplicidad 2: m = 1
La solución general de la ecuación homogenea queda:
y(t) = c1et + c2tet
Ahora resolvemos la ecuación no homogénea, usando variación de parámetros
y′′(t)− 2y′(t) + y(t) = 4tet
Calculemos el Wronskiano:
W [y1, y2] =
∣∣∣∣ et tetet et + tet
∣∣∣∣ = e2t
Ahora,
v1(t) = −
∫
4tettet
e2t
= −
∫
4t2dt = −4
3
t3
v2(t) =
∫
4tetet
e2t
=
∫
4tdt = 2t2
Una solución particular de la no homegenea es: yp = −
4
3
t3 et +2t3 et =
2
3
t3 et .
Por lo tanto, la solución en la variable t es:
y(t) = c1et + c2tet +
2
3
t3et
Luego, la solución en la variable x queda:
y(x) = c1x + c2x ln(x) +
2
3
x ln3(x)
2. Un resorte de 4 pies de largo mide 8 pies despues que se le sujeta un cuerpo que pesa 8 lbs. El medio
a través del cual se mueve el cuerpo ofrece una resistencia numéricamente igual a
√
2 veces la velocidad
instantanea. Hallar la ecuación del movimiento si el cuerpo se suelta desde la posición de equilibrio con
una velocidad dirigida hacia abajo de 5 pies/sg. Encuentre el instante en el cual el peso alcanza su
desplazamiento extremo, desde la posición de equilibrio.
Solución:
8 = m · g = 32m → m = 1
4
Por otra parte, usando la Ley de Hoocke:
−→
F = k x → 8 = k · 4 → k = 2
La ecuación que modela el sistema queda:
1
4
x′′ +
√
2 x′ + 2x = 0 (1)
⇔ x′′ + 4
√
2 x′ + 8x = 0 (2)
Ecuación caracteristica: m2 + 4
√
2 m + 8 = 0 ⇔ (m + 2
√
2)2 = 0 .
Luego hay una raíz real de multiplicidad 2: m = −2
√
2
Solución general: x(t) = A e−2
√
2 t + Bt e−2
√
2 t .
Luego derivando: x′(t) = −2
√
2A e−2
√
2 t +B e−2
√
2 t−2
√
2 t e−2
√
2 t
Y evaluando en t = 0 se tiene:
x(0) = A = 0
x′(0) = B = 5
Por lo tanto x(t) = 5t e−2
√
2 t
Por otra parte derivando: x′(t) = 5 e−2
√
2 t(1−2
√
2 t) = 0 ⇔ t =
√
2
4
. hay un único punto crítico
en t =
√
2
4
.
Además observar que x′(t) = 5 e−2
√
2 t(1− 2
√
2 t) > 0 ⇔ t <
√
2
4
; y
x′(t) = 5 e−2
√
2 t(1− 2
√
2 t) < 0 ⇔ t >
√
2
4
.
Luego el desplazamiento extremo se encuentra cuando t =
√
2
4
.
3. Muestre que la ecuación diferencial
2x4yy′ + y4 = 4x6
se reduce a una ecuación homogénea mediante el cambio de variable y = zn, para cierto n ∈ R. Determine
el valor de n y resuelva la ecuación.
Solución:
Observar que y = 0⇔ x = 0 . Por otra parte, para x 6= 0 :
2x4yy′ + y4 = 4x6 ⇔ y′ = 4x
6 − y4
2x4y
Haciendo y = zn , de donde y′ = nzn−1z′ . La ecuación queda:
nzn−1z′ =
4x6 − z4n
2x4zn
⇔ nz′ = 4x
6 − z4n
2x4z2n−1
Para n = 32 la ecuación es homogenea. En tal caso queda:
3z′ =
4x6 − z6
x4z2
⇔ 3z′ =
4−
(
z
x
)6(
z
x
)2
Con el cambio de variable u =
z
x
, se tiene:
3u + 3xu′ =
4− u6
u2
⇔ 3xu′ = 4− u
6 − 3u3
u2
⇔ 3u
2 du
u6 + 3u3 − 4
= −dx
x
Integrando y haciendo los cálculos necesarios, se tiene:
u3 − 1
u3 + 4
=
M
x5
⇔ y
2 − x3
y2 + 4x3
=
M
x5
Las curvas integrales estan definidas implicitamente en la relación:
y2 − x3
y2 + 4x3
=
M
x5
4. Un tanque de doscientos galones contiene inicialmente 100 galones de agua con 20 libras de sal. Después
se agrega una solución salina, cuya concentración es de 1/4 de libra por galón, a una razón de 4 gal/min,
y la mezcla resultante sale a razón de 2 gal/min. Encuentre la cantidad de sal en el tanque cuando éste
está a punto de desbordarse.
Solución:
La ecuación que modela el fenomeno es
dx
dt
= 4 · 1
4
− 2 · x
100 + 2t
x(0) = 20
Donde x(t) designa la cantidad de sal en el tiempo t .
Resolviendo: x′ +
2
100 + 2t
x = 1 . Se tiene:
x =
1
e
∫ 2dt
100+2t
·
∫
e
∫ 2dt
100+2t dt
=
1
100 + 2t
∫
(100 + 2t) dt
=
1
100 + 2t
(t2 + 100t + K)
Evaluando en t = 0 , se tiene: K = 2000 . Por lo tanto:
x(t) =
1
100 + 2t
(t2 + 100t + 2000)
Evaluando en t = 50 el tiempo que demora en llenarse completamente.
x(50) =
95
2
= 47, 5 libras de sal