Parcial Métodos Estadísticos UNALM

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UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA
FACULTAD DE ECONOMÍA Y PLANIFICACIÓN
DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA
CURSO: MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA INVESTIGACIÓN
EXAMEN PARCIAL PRIMERA PARTE
Profesora: Coaquina Nina, Frida Rosa
Integrantes:
- Custodio Jaimes, Rosa María 20181002
- Omonte Vargas, Jhon Antony 20190180
- Rojas Espinoza, José Miguel 20181022
- Ruiz Anchelia, Fernanda Elizabeth 20190188
- Ruiz Rodriguez, Jesus Omar 20190137
Grupo: 7
Ciclo: 2021-I
La Molina, 2021
EXAMEN PARCIAL 2021-1
Parte I: Trabajo grupal (5.0 puntos)
Caso:
La industria arrocera CG S.A.C , interesada en aumentar el rendimiento de la semilla de
arroz, quiere comprobar si el rendimiento depende del tipo de fertilizante utilizado en el
tratamiento de la planta. A su disposición tiene 5 tipos de fertilizantes. Como se cree que el
tipo de terreno puede influir también en el rendimiento de la semilla de arroz se considera el
terreno dividido en bloques. Para ello, divide el terreno en 10 bloques (considerando que el
terreno, en cada bloque, debe ser lo más homogéneo posible), fumigando dentro de cada
bloque cada una de las parcelas con un fertilizante, pero debido a la extensión de los
bloques y a la falta de recursos, no se pueden aplicar todos los fertilizantes en cada bloque,
sino que sólo se pueden aplicar 3 de los 5 fertilizantes en cada uno de ellos. Al recoger la
cosecha se mide el rendimiento (en kg/parcela) de la semilla de arroz.
Cuadro 1. Efecto de los fertilizantes en el rendimiento de la semilla de arroz.
Fertilizantes
𝑦
. 𝑗 𝑦.𝑗Bloques F1 F2 F3 F4 F5
B1 15 18.6 32 65.6 21.87
B2 19 46.5 45 110.5 36.83
B3 26 39.5 61 126.5 42.17
B4 21 35 55 111 37
B5 19.2 47 50 116.2 38.73
B6 20 33 32 85 28.3
B7 13 13.5 34.5 61 20.3
B8 21 30 51 102 34
B9 24 10 50 84 28
B10 24 31 37 92 30.67
𝑦
𝑖.
112 111.3 189 229.5 312 953.8
𝑦
𝑖.
18.67 18.83 31.5 38.17 52
La extensión de los bloques designados y la falta de recursos son problemas que
dificultaron la aplicación de todos los tratamientos dentro de cada bloque. Por ello se decidió
utilizar el Modelo de Bloques Incompletos Balanceados, “incompletos” porque no se
realizaron todos los ensayos posibles , y “balanceados” porque(50: 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠. 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠)
cualquier par de fertilizantes ocurrieron en el mismo bloque el mismo número de veces que
cualquier otro par.
● Factor en estudio: Efecto del fertilizante.
● Tratamientos: F1, F2, F3, F4 y F5 (Tipos de fertilizantes)
● Variable respuesta: Rendimiento (en kg/parcela) de la semilla de arroz.
● Modelo estadístico: Diseño de Bloques Incompletos Balanceados (DBIB)
Análisis estadístico.
Para:
𝑡 = 5 (𝑛° 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑟𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠)
𝑏 = 10 (𝑛° 𝑑𝑒 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑠)
el diseño BIB es construido con:𝑘 = 3 (𝑛° 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑟𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒),
(cada fertilizante es usado 6 veces en el diseño).𝑟 = 𝑏.𝑘𝑡 =
10*3
5 = 6
● F1 es usado en los bloques 1, 2, 6, 7, 8 y 9
● F2 es usado en los bloques 1, 3, 5, 7, 9 y 10
● F3 es usado en los bloques 3, 4, 6, 7, 8 y 10
● F4 es usado en los bloques 1, 2, 4, 5, 6 y 10
● F5 es usado en los bloques 2, 3, 4, 5, 8 y 9
(número de veces que cada par de fertilizantes ocurre en elλ = 𝑟(𝑘−1)𝑡−1 =
6*2
4 = 3
mismo bloque).
● F1 y F2 coinciden en los bloques 1, 7 y 9
● F1 y F3 coinciden en los bloques 6, 7 y 8
● F1 y F4 coinciden en los bloques 1, 2 y 6
● F1 y F5 coinciden en los bloques 2, 8 y 9
● F2 y F3 coinciden en los bloques 3, 7 y 10
● F2 y F4 coinciden en los bloques 1, 5 y 10
● F2 y F5 coinciden en los bloques 3, 5 y 9
● F3 y F4 coinciden en los bloques 4, 6 y 10
● F3 y F5 coinciden en los bloques 3, 4 y 8
● F4 y F5 coinciden en los bloques 2, 4 y 5
Modelo estadístico:
: Modelo Aditivo Lineal𝑦
𝑖𝑗
= µ + τ
𝑖
+ β
𝑗
+ ε
𝑖𝑗
donde:
Rendimiento de maíz obtenido con el í-esimo fertilizante en la j-ésima porción de𝑦
𝑖𝑗
:
terreno.
Rendimiento medio de maíz por parcela.µ:
Efecto del i-ésimo fertilizante en el rendimiento del maíz.τ
𝑖
:
Efecto de la j-ésima porción de terreno..β
𝑗
:
Error aleatorio considerando el i-ésimo fertilizante y la j-ésima porción de terreno.ε
𝑖𝑗
:
La variación total en los datos se expresa mediante la suma total de cuadrados corregidos
(o ajustados).
𝑆𝐶𝑇 =
𝑖=1
𝑡
∑
𝑗=1
𝑏
∑ 𝑦
𝑖𝑗
2 −
𝑦
..
2
𝑁 ; 𝑁 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑆𝐶𝑇 =
𝑖=1
5
∑
𝑗=1
10
∑ 𝑦
𝑖𝑗
2 −
𝑦
..
2
30 =35947, 6−
953,82
30 =5623, 12
La variabilidad total puede ser descompuesta en:
𝑆𝐶𝑇 = 𝑆𝐶𝑇
𝑟𝑎𝑡. 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
+ 𝑆𝐶𝐵 + 𝑆𝐶𝐸
donde la suma de cuadrados de los tratamientos está ajustada para separar los efectos de
los tratamientos y de los bloques.
La suma de cuadrados de los bloques es:
𝑆𝐶𝐵 = 1𝑘
𝑗=1
𝑏
∑ 𝑦
. 𝑗
2 −
𝑦
..
2
𝑁
donde
𝑦.
𝑗
: 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜. 
𝑦.. : 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠.
𝑆𝐶𝐵 = 13
𝑗=1
10
∑ 𝑦
. 𝑗
2 −
𝑦
..
2
30
= 13 [65. 6
2 + 110. 52 + 126. 52 + 1112 + 116. 22 + 852 + 612 + 1022 + 842 + 922] −
953,82
30
= 1411. 95
La suma de cuadrados de tratamiento corregida (o ajustada) es
𝑆𝐶𝑇
𝑟𝑎𝑡. 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
=
𝑘.
𝑖=1
𝑡
∑ 𝑄
𝑖
2
λ𝑡
donde
: es el total ajustado del i-ésimo tratamiento.𝑄
𝑖
Primero determinamos los totales de tratamientos ajustados:
𝑄
𝑖
= 𝑦
𝑖.
− 1𝑘
𝑗=1
𝑏
∑ 𝑛
𝑖𝑗
𝑦.
𝑗
𝑄1 = 112 −
65.6+110.5+85+61+102+84
3 =− 57. 367
𝑄2 = 111. 3 −
65.6+126.5+116.2+61+84+92
3 =− 70. 467
𝑄3 = 189 −
126.5+111+85+61+102+92
3 =− 3. 5
𝑄4 = 229. 5 −
65.6+110.5+111+116.2+85+92
3 =36. 067
𝑄5 = 312 −
110.5+126.5+111+116.2+102+84
3 =95. 267
Con estos resultados podremos hallar la suma de cuadrados de tratamientos ajustados.
𝑆𝐶𝑇
𝑟𝑎𝑡. 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
=
𝑘.
𝑖=1
𝑡
∑ 𝑄
𝑖
2
λ𝑡
= 3[(−57.367)
2+(−70.467)2+(−3.5)2+(36.067)2+(95.267)2]
3(5) = 3729. 09
La suma de cuadrados del error se obtiene por diferencia como:
𝑆𝐶𝐸 = 𝑆𝐶𝑇 − 𝑆𝐶𝑇
𝑟𝑎𝑡. 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
− 𝑆𝐶𝐵 = 5623. 12 − 3729. 09 − 1411. 95 = 482. 08
Cuadro 2. Análisis de Varianza.
F.V. G. L. S. C. C. M. F
Bloques b - 1 = 9 1411.95 156.88
Trat. ajust. t - 1 = 4 3729.09 932.27 30.94
Error 16 482.08 30.13
Total N - 1 = 29 5623.12
∼𝐹 =
𝐶𝑀𝑇
𝑟𝑎𝑡. 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
𝐶𝑀𝐸 𝐹𝑡−1, 𝑁−𝑡−𝑏+1
α
1) Hipótesis:
Para el modelo I (Efectos Fijos)
:𝐻
𝑜
µ
𝑖
= µ ∀𝑖 = 1, 2,..., 5
:𝐻
1
µ
𝑖
≠ µ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑖
2) Nivel de significancia: α = 0. 05
3) Cálculo del estadístico de prueba:
𝐹
𝑐𝑎𝑙
= 𝐹 =
𝐶𝑀𝑇
𝑟𝑎𝑡. 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
𝐶𝑀𝐸 = 30. 94
𝐹
𝑡𝑎𝑏
= 𝐹
𝑡−1, 𝑁−𝑡−𝑏+1
α = 𝐹
4, 16
0.05 =3, 007
4) Criterio de decisión:
Si 𝐹
𝑐𝑎𝑙
> 𝐹
𝑡𝑎𝑏
⇒𝐻
𝑜
 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎
30. 94 = 𝐹
𝑐𝑎𝑙
> 𝐹
𝑡𝑎𝑏
= 3. 007⇒𝐻
𝑜
 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎
5) Conclusión:
Se puede afirmar que al menos uno de los fertilizantes utilizados difiere del resto al
analizar el rendimiento de la semilla de arroz en kg/parcela.
La empresa arrocera CG S.A.C desea hacer todas las comparaciones posibles del
rendimiento de los fertilizantes empleados en el terreno, para ello se realiza la prueba
estadística de Tukey.
1) Planteamiento de las hipótesis:
H0: u1 = u2 H0: u1 = u3 H0: u1 = u4 H0: u1 = u5 H0: u2 = u3
H1: u1 ≠ u2 H1: u1 ≠ u3 H1: u1 ≠ u4 H1: u1 ≠ u5 H1: u2 ≠ u3
H0: u2 = u4 H0: u2 = u5 H0: u3 = u4 H0: u3 = u5 H0: u4 = u5
H1: u2 ≠ u4 H1: u2 ≠ u5 H1: u3 ≠ u4 H1: u3 ≠ u5 H1: u4 ≠ u5
2) Nivel de significancia: α= 0.05
3) Estadístico de prueba:
Amplitud del Límite de Significancia Tukey
ALS(T) = AES(T)
𝐶𝑀𝐸
2 (
1
𝑁𝑖 +
1
𝑁𝑗 )
Prueba de Tukey : Sd = 𝐶𝑀𝐸𝑏
ALS(T) = 5.15 * = 8.9430.1310
Comparación ALS(T) |Ȳi. - Ȳj.| Significancia
|F1 - F2| 8.94 0.16 NS
|F1 - F3| 8.94 12.83 *
|F1 - F4| 8.94 19.5 *
|F1 - F5| 8.94 33.33 *
|F2 - F3| 8.94 12.67 *
|F2 - F4| 8.94 19.34 *
|F2 - F5| 8.94 33.17 *
|F3 - F4| 8.94 6.67 NS
|F3 - F5| 8.94 20.5 *
|F4 - F5| 8.94 13.83 *
4) Conclusión:
Con un nivel de significanciade 0.05, se puede concluir que:
● No existen diferencias significativas entre el fertilizante 1 y el fertilizante 2 al analizar
el rendimiento promedio de la semilla de arroz.
● Existen diferencias significativas entre el fertilizante 1 con los fertilizantes 3, 4 y 5 al
analizar el rendimiento promedio de la semilla de arroz.
● No existen diferencias significativas entre el fertilizante 3 y el fertilizante 4 al analizar
el rendimiento promedio de la semilla de arroz.
● Existen diferencias significativas entre el fertilizante 5 con los fertilizantes 3 y 4 al
analizar el rendimiento promedio de la semilla de arroz.
La relación entre la diferencias significativas y no significativas se podría representar de la
siguiente forma:
𝑌
5
> 𝑌
4
≈ 𝑌
3
> 𝑌
2
≈ 𝑌
1
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑌
𝑖
 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑧 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑓𝑒𝑟𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑖
.
Por lo tanto, el fertilizante que se le recomienda utilizar a la empresa CG S.A.C, con el fin de
obtener el mejor rendimiento de la semilla de arroz es el fertilizante 5.
Bibliografía
Gómez Huamaní, H. (2010). Diseños en bloques incompletos. Extraído el 23 de Agosto de 2021,
desde http://estadistica.260mb.com/Heber_DBIB.pdf?ckattempt=1&i=2
http://estadistica.260mb.com/Heber_DBIB.pdf?ckattempt=1&i=2