Tema 4 Funciones trascendentales 2022

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Tema 4: Funciones trascendentales
Profesor Fernando Antonio Blanco Flores
Funciones trascendentales
Se llama función trascendental a las funciones que no pueden ser expresadas en términos de funciones algebraicas.
Son funciones que no se pueden describir con las ecuaciones vistas hasta el momento
Función exponencial de base “a”
Función exponencial de base “e”
Funciones trigonométricas
Función logarítmica
Función logaritmo natural
Inversos
Leyes de los exponentes
Antes de iniciar con las funciones exponenciales recordemos las leyes de los exponentes.
Funciones exponenciales de base “a”
Una función es llamada exponencial si la variable aparece en el exponente. Se caracteriza por tener un factor de cambio constante.
Su ecuación es de la forma:
a = es un número positivo diferente de 1, representa el factor de cambio en la función cuando x aumenta de uno en uno y se obtiene dividiendo los términos dependientes de la función, 
b es la intersección con el eje y (el valor de y cuando x = 0), al que llamaremos valor inicial.
Analizando la función exponencial
Analicemos los datos de una función exponencial sencilla.
Para la función 
	X	Y
	-5	
	-4	
	-3	
	-2	
	-1	
	0	
	1	
	2	
	3	
	4	
	5	
¿De que nos podemos dar cuenta al ver los datos?
Analizando la función exponencial
Analicemos los datos de una función exponencial sencilla.
Para la función 
	X	Y
	-5	0.03125
	-4	0.0625
	-3	0.125
	-2	0.25
	-1	0.5
	0	1
	1	2
	2	4
	3	8
	4	16
	5	32
¿De que nos podemos dar cuenta al ver los datos?
Gráfica de la función exponencial
Se puede notar que la gráfica nunca toca el cero y al pasar a los valores positivos de x se tiene un crecimiento “explosivo” llamado crecimiento exponencial.
Para la función 
Comportamiento cuando la base es mayor a 1 (a > 1)
función exponencial menos a cero
Analicemos los datos de una función exponencial sencilla.
Para la función 
	X	Y
	-4	
	-3	
	-2	
	-1	
	0	
	1	
	2	
	3	
	4	
¿De que nos podemos dar cuenta al ver los datos?
función exponencial menos a cero
Analicemos los datos de una función exponencial sencilla.
Para la función 
	X	Y
	-4	48
	-3	24
	-2	12
	-1	6
	0	3
	1	1.5
	2	0.75
	3	0.375
	4	0.1875
¿De que nos podemos dar cuenta al ver los datos?
Gráfica de la función exponencial
Se debe recalcar que a pesar de que la base es menor a 1, no es cero, y en este caso se puede observar una gráfica de decrece exponencialmente.
Para la función 
Comportamiento cuando la base es menor a 1
(0 < x < 1)
Restricciones de la función exponencial
Con los ejemplos anteriores podemos darnos cuenta de que las funciones exponenciales tienen restricciones importantes.
“a” debe ser mayor a cero.
“a” debe ser diferente de 1.
“a” debe ser diferente de 0.
Cambio de la ecuación base
Si en los datos obtenidos la progresión de X no es de 1 en 1, debes dividir la x del exponente.
Ejemplo
Plantea la función para la población que se representa en la siguiente tabla:
	x (años)	0	5	10	15
	y   (población en millones)	3	12	48	192
Lo primero que debemos hacer es revisar que la función en la tabla tiene un factor de cambio constante.
Para ver el cambio tomas 2 puntos y divides los valores de la variable dependiente
¿Cuál es la ecuación?
Ejemplo
Plantea la función para la población que se representa en la siguiente tabla:
	x (años)	0	5	10	15
	y   (población en millones)	3	12	48	192
Lo primero que debemos hacer es revisar que la función en la tabla tiene un factor de cambio constante.
Con los datos obtenidos la ecuación exponencial es:
Ejemplo
Se presentan 2 series de datos diferentes, encuentra si representan una función exponencial y describe la ecuación.
Ejemplo
Se presentan 2 series de datos diferentes, encuentra si representan una función exponencial y describe la ecuación.
Ejemplo
Se presentan 2 series de datos diferentes, encuentra si representan una función exponencial y describe la ecuación.
Ejemplo
Se presentan 2 series de datos diferentes, encuentra si representan una función exponencial y describe la ecuación.
Ejemplo
Se presentan 2 series de datos diferentes, encuentra si representan una función exponencial y describe la ecuación.
Obtener el valor de b
En caso de que no se nos proporcione el valor de la intersección “b”, se puede despejar substituyendo cualquier punto.
Ejemplos
Para los siguientes datos de funciones exponenciales escribe la ecuación.
Incluir en ejercicios 4
Problemas razonados función exponencial
La función exponencial puede utilizarse para resolver problemas razonados que incluyan un crecimiento porcentual a través del tiempo.
Se tiene una inversión inicial de $100 con un interés al 10% anual
Se tiene un ahorro inicial de $100 y por inflación se pierde 10% anual.
Problemas razonados Ejemplo
Una población de 5,800 habitantes crece a razón de 2.5% anual.
¿Cuál es la ecuación que representa esta situación?
¿Cuánta población habrá dentro de 5 años? 
Problemas razonados Ejemplo
Se tiene un ahorro inicial de $100,000 cuyo valor se reduce cada año un 5% debido a la inflación.
¿Cuál es la ecuación que representa esta situación?
¿Cuánto valor tendrá el dinero en 4 años?
¿En cuantos años el valor de esos 100,000 será equivalente a 70, 000?
Incluir en ejercicios 4
La funciones exponenciales vistas anteriormente se pueden escribir con la base “e” de la siguiente manera.
Funciones exponenciales de base “e”
Donde e es una base fija con el mismo valor constante 2.7182
r representa la razón o ritmo de crecimiento
b representa la intersección
Número de Euler
La constante matemática “e” es uno de los números irracionales mas importantes, su valor es aproximadamente 2.7182 y aparece en diversas ramas de la ciencia.
Se repite en la naturaleza como base de funciones exponenciales para describir el crecimiento o decrecimiento sin control.
Crecimiento de bacterias
Multiplicación sin control de una especie
Depredación de una especie
Desintegración de los átomos.
Gráfica de función base “e”
La gráfica de la función donde b > 0 , es una curva que puede ser creciente o decreciente, esto depende del signo de r en la ecuación. 
Cambio de base
Si tenemos una función escrita con base “a” se puede cambiar a base “e” y viceversa; para cambiar de base, tenemos que igualar las bases y resolver la ecuación que queda expresada obteniendo el valor de r.
Ejemplo
Cambia de base “a” a base “e” la siguiente función
Para cambiar la base tienes que igualarla quedando una ecuación:
Cambio de base
En otros casos se te puede dar el valor de “r” pero no sabes el valor de la base “a”, obteniendo el valor de esta base se puede realizar un cambio de “e” a “a”.
Ejemplo
Cambia de base “e” a base “a” la siguiente función
Para cambiar la base tienes que igualarla quedando una ecuación:
Ejemplos
Resuelve los siguientes cambios de base y escribe la nueva ecuación.
Calculo de interés compuesto
La exponencial con base “e” se utiliza para calcular el interés compuesto de manera continua .
El interés compuesto continuo se utiliza en economía y son incrementos o decrementos porcentuales donde tienes acceso a tu dinero en cualquier momento.
Estos problemas en particular se ajustan a la función:
Donde el porcentaje de interés o perdida de capital es el valor de r en decimales. Siendo positivo si es un incremento o negativo un decremento
Problemas razonados
Si se presenta un incremento o decremento a razón continua, puede ser resuelto utilizando la ecuación exponencial base “e” donde su valor de r toma el valor de la fracción del incremento.
Teniendo un incremento del 12%
Teniendo un decremento del 10%
Exponenciales a razón continua
Una sustancia radiactiva se desintegra exponencialmente a razón continua de 5% cada mes. Si la cantidad inicial de sustancia es de 150mg.
a)¿Qué cantidad de sustancia habrá al final de un año?
b) ¿En cuanto tiempo quedaran 50 mg?
Incluir en ejercicios 4
Exponenciales a razón continua
Los biólogos han determinado que cuando se dispone de suficiente espacio y nutrientes,el número de bacterias en un cultivo crece exponencialmente. Inicialmente hay 2000 bacterias en cierto cultivo y 20 minutos después hay 6000 bacterias.
Determina el modelo matemático.
b) ¿ Cuantas bacterias habrá en una hora?
c) ¿En cuanto tiempo la población será de 18000 bacterias? 
Incluir en ejercicios 4
Funciones logarítmicas
La función logarítmica de base “a” se define como la inversa de la función exponencial de base “a”.
Si
Entonces
Donde y > 1 y diferente de 0. Tampoco puede haber bases negativas
Base
El logaritmo se interpreta de la siguiente manera, “un número que al ser exponente de 4 dé como resultado 16” 
Propiedades de los logaritmos
Resolviendo ecuaciones con logaritmos.
Uno de los usos mas comunes de las propiedades de los logaritmos es la solución de ecuaciones.
Propiedades de los logaritmos
Inversa directa
Resolviendo ecuaciones con logaritmos
Veamos algunos ejemplos para resolver ecuaciones con logaritmos.
Gráficas de logaritmos
Ya que la función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial base a, podemos dibujar su gráfica reflejando la gráfica de la función exponencial con respecto a la línea y = x
Funciones trigonométricas Seno y Coseno
Las situaciones donde exista una repetición periódica pueden ser modeladas por medio de funciones trigonométricas, generalmente por las funciones seno y coseno.
Para entender las funciones seno y coseno primero se debe aprender en que están basados.
Funciones trigonométricas 
Una de las principales herramientas para el estudio y análisis de estas cantidades son las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras.
hipotenusa
Cateto opuesto
Cateto adyacente
Teorema de Pitágoras
Entendiendo el Seno y Coseno
Una forma mas completa de estudiar el seno es utilizar el circulo unitario, donde en este caso encontraras que el seno es la proyección sobre el eje de las ordenadas.
En este modelo el radio del circulo equivale a 1
Se puede observar gráficamente que el seno de 225 grados debe ser cercano a -0.7
Entendiendo el Seno y Coseno
Con esto se puede comprender porque diferentes ángulos tienen el mismo valor, cuales son los valores máximos y mínimos de Seno.
Entendiendo el Seno y Coseno
Si el radio del circulo es diferente de 1 es necesario hacer un ajuste de dividir la proyección entre el radio del circulo.
Simplificado
Gráficas del Seno y Coseno
Al evaluar las funciones con todos los grados posibles la gráfica del seno y coseno tiene los siguientes comportamientos:
Función y = Sen (x)
Función y = Cos (x)
Forma de las funciones trigonométricas
El modelo matemático de las funciones trigonométricas está compuesto por tres parámetros A, B, y C, las ecuaciones generales son de la forma: 
A = Amplitud 
b = Parámetro de frecuencia
Φ= Fase inicial
C = Desplazamiento vertical
Desplazamiento de fase.
Parámetro de frecuencia
El parámetro de frecuencia “b” llamado comúnmente frecuencia angular en aplicaciones practicas para las funciones armónicas controla la frecuencia en la que aparecen las “crestas” en la gráfica.
Parámetro de frecuencia
Un número alto del parámetro de aumenta la frecuencia de la función mientras que una fracción lo disminuye.
Desplazamiento C
El valor de desplazamiento vertical empuja toda la gráfica.
Fase inicial Φ
La fase inicial desplaza la gráfica de la función de manera horizontal.
Amplitud A
La amplitud “A” representa la posición máxima que puede tener la variable dependiente
Ejemplo
Dada la siguiente función: 
identifica sus componentes 
encuentra el valor de “Y” cuando “x” es igual a 1.2
Calcula el periodo y el desfase
Incluir en ejercicios 4
Ejemplo
La gráfica de una función y = Asen x, donde A es la constante, se dibuja en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.
a. ¿Cuál de las siguientes opciones podría ser la gráfica?
Ejemplo
La temperatura promedio del cuerpo humano se encuentra alrededor de los 37°. Si la temperatura de una persona estuvo variando en el transcurso del día alrededor de los 37° por periodos de 6 horas, siendo en promedio las temperaturas 37.5 ° como máximas y 36.5 ° como mínima. 
Obtén la ecuación matemática para esta situación.
Que temperatura tiene la persona luego de 3 horas de este comportamiento.
Tiene la forma:
Ejemplo
Una varilla que vibra de manera armónica se desplaza 3.5 cm de un lado a otro desde su punto central, tardando 0.4 segundos en ir y volver desde un punto (φ = ¾ π).
Expresa la función que corresponde a este problema. (posición de la varilla en función de segundos)
Calcula la posición a los 2 segundos.
Calcula el desfase.
Incluir en ejercicios 4
X12345
X3691215
Hoja1
			X	0	4	8	12	15
			y	2	1250	781250	488281250
			X	3	6	9	12	15
X04812
y21250781250488281250
Hoja1
			X	0	4	8	12	15
			y	2	1250	781250	488281250
			X	0	1	2	3	4
			y	1	0.25	0.0625	0.015625	0.00390625
X01234
y10.250.0630.0156250.00390625
Hoja1
			X	0	4	8	12	15
			y	2	1250	781250	488281250
			X	0	1	2	3	4
			y	1	0.25	0.0625	0.015625	0.00390625
Hoja1
			X	0	4	8	12	15
			y	2	1250	781250	488281250
			X	3	6	9	12	15
Hoja1
							12
		Gasolina (Lts)	Kilometros				24
		1	12				36
		2	27				48
		3	38				60
		4	50				72
		5	61				84
		6	75				96
		7	86				108
		8	100				120
		9	110				132
		10	125				144
		11	137				156
		12	152				168
		13	170				180
		14	185				192
		15	200
		16	214
Transporte público vs dinero gastado
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	12	27	38	50	61	75	86	100	110	125	137	152	170	185	200	214	
Hoja2
						X	2	3
						Y	7500	37500
		Gasolina (Lts)	Kilometros
		1	12
		2	27
		3	38
		4	50
		5	61
		6	75
		7	86
		8	100
		9	110
		10	125
		11	137
		12	152
		13	170
		14	185
		15	200
		16	214
X23
Y750037500
X234
Y-29.04-63.888-140.5546
X369
Y2.45651.508590.926467