Solemne_1_Primavera_2022__2_

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Universidad de Chile
Facultad de Economı́a y Negocios
Solemne 1: Métodos Matemáticos II (ENMEM155)
Primavera 2022
Preguntas de desarrollo:
Problema 1 (20 puntos)
Suponiendo que α es estrictamente positiva, encuentre el área que que encierran las curvas f(x) = x3 y
g(x) = αx, entre 0 y el punto de intersección de esas curvas.
Respuesta. Primero, debemos encontrar el punto donde ambas curvas se intersectan. En el “x” corres-
pondiente se cumple que
x3 = αx ⇒ x2 = α ⇒ x = ±α1/2.
Caso 1: considerando x = α1/2
Dado lo anterior, el área que buscamos es aquella bajo la curva g(x) entre 0 y α1/2 menos aquella bajo
la curva f(x) = x3 entre esos puntos. Es decir:
AREA =
∫ α 12
0
αxdx−
∫ α 12
0
x3 dx.
Lo primero que haremos es calcular ambas primitivas:∫
αxdx = α
1
2
x2 ∧
∫
x3 dx =
1
4
x4,
Como ya tenemos las primitivas, podemos calcular ambas integrales definidas
AREA =
(
α
1
2
(α
1
2 )2 − 0
)
−
(
1
4
(α
1
2 )4 − 0
)
AREA =
(
α2
2
)
−
(
α2
4
)
=
(
α2
4
)
Caso 2: considerando x = −α1/2
Dado lo anterior, el área que buscamos es aquella bajo la curva g(x) entre −α1/2 y 0 menos aquella ba-
jo la curva f(x) = x3 entre esos puntos. Es decir:
AREA =
∫ 0
−α
1
2
x3 dx−
∫ 0
−α
1
2
αxdx.
Lo primero que haremos es calcular ambas primitivas:∫
αxdx = α
1
2
x2 ∧
∫
x3 dx =
1
4
x4,
Como ya tenemos las primitivas, podemos calcular ambas integrales definidas
AREA =
(
0− 1
4
(−α 12 )4
)
−
(
0− α 1
2
(−α 12 )2
)
AREA =
(
−α2
4
)
−
(
−α2
2
)
=
(
α2
4
)
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MEM155 – Otoño 2022 Universidad de Chile
Facultad de Economı́a y Negocios
Problema 2 (15 puntos)
Determine el valor de la siguiente sumatoria:
100∑
k=50
(
1
k − 3
− 1
k − 4
)
Respuesta. Notando que la sumatoria propuesta cumple con las condiciones para el uso de la propiedad
telescopica:
se tiene que
100∑
k=50
(
1
k − 3
− 1
k − 4
)
telescopica
=
1
97
− 1
46
Problema 3 (25 puntos)
Determine el valor de la siguiente integral:∫ +∞
5
[
x−1 · [ln (x)]−2
]
dx
Respuesta. Primero, nos concentramos en calcular la integral impropia a la izquierda de la ecuación, la
cual viene dada por: ∫ +∞
5
[
x−1 · [ln (x)]−2
]
dx = ĺım
n→+∞
∫ n
5
[
x−1 · [ln (x)]−2
]
dx
Nos concentramos en encontrar la primitiva de esta integral. Para ello utilizaremos el metodo de sustitución,
donde u = ln(x) y du = 1xdx
Con esto, tendremos que: ∫ [
x−1 · [ln (x)]−2
]
dx =
∫
u−2du = −u−1
Por lo tanto: ∫ [
x−1 · [ln (x)]−2
]
dx = − ln(x)−1 = −1
ln(x)
Si ahora, evaluamos la integral impropia, tendremos:
∫ +∞
5
[
x−1 · [ln (x)]−2
]
dx = ĺım
n→+∞
−1
ln(x)
∣∣∣n
5
Luego se tiene:
∫ +∞
5
[
x−1 · [ln (x)]−2
]
dx = ĺım
n→+∞
[
−1
ln(n)
− −1
ln(5)
]
Por último, es fàcil ver que:
∫ +∞
5
[
x−1 · [ln (x)]−2
]
dx =
[
1
ln(5)
]
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