densidad de los números decimales. En una de las actividades, un estudiante eligió un número entre 0 y 5 y otro entre 5 y 10; ambos los escriben en...

densidad de los números decimales. En una de las actividades, un estudiante eligió un número entre 0 y 5 y otro entre 5 y 10; ambos los escriben en una tabla: el futuro profesor adiciona un número positivo al número elegido, de tal manera que su suma sea 399. De lo Discreto a lo Denso estrictamente menor al número escrito por su compañero, quien debe restar un número positivo al número seleccionado de forma que la diferencia sea estrictamente mayor que lo escrito por el primer participante. Así se continúa. El desarrollo de la actividad efectuado por Melisa e Isabella muestra un procedimiento de agregar dígitos, especialmente ceros en medio de la parte decimal de un número; de tal modo que entre 0 y 9 cada vez hay más números decimales (figura 1). En un cuestionario (diagnóstico) que resolvieron Melisa e Isabella antes de iniciar con la ejecución de las actividades, pusieron de manifiesto un pensamiento vinculado con lo discreto, ya que ellas sólo expresaban que un número podía tener hasta dos cifras decimales. Esta situación evidencia un proceso inicial de cambio conceptual debido a que las dos profesoras en formación están ampliando su sistema de conocimientos en el dominio de número decimal. localización DE DEciMalEs En intErvalos El diseño de las dos actividades de esta sesión se apoyó en una tarea elaborada por Brousseau (1981), cuya finalidad consiste en localizar números en intervalos; además de encontrar intervalos para un número dado. En una de las actividades el participante debe encontrar el intervalo en el que se halla un número «anotado en un papelito» por su compañero. Los extremos de este intervalo deben ser números cuyas cifras decimales sean consecutivas; como el intervalo que encontró Amanda: 13.41, 13.42 (figura 2). Figura 1: Registros de Melisa e Isabella en la actividad de adición y sustracción eje 6. instrumentación De propuestas DiDácticas El número pensado por Fabiola (13.415) sugiere que ella hizo una representación numérica del orden de los milésimos. En el cuestionario (diagnóstico), Fabiola evidenció un pensamiento avanzado sobre lo discreto, ya que tenía la creencia de que en un intervalo solamente había números del orden de los centésimos. Como consecuencia ha reestructurado sus conceptos, pues antes pensaba que el decimal tenía sólo dos cifras. Figura 2: Registros de Amanda y Fabiola en la actividad de localización En la segunda actividad, cada pareja de participantes tomó una hoja que tenía escrito un intervalo. La docente-investigadora sacaba tarjetas de un sobre con números escritos hasta el orden de los millonésimos. Quienes tuvieran el intervalo en el que se localizara el número extraído tenía la posibilidad de pedir la tarjeta. El paso siguiente fue pegar las tarjetas en el pizarrón (figura 3). Con los futuros profesores se observó que entre cada intervalo pueden encontrarse varios números decimales; lo mismo que entre pares de consecutivos falsos se halla al menos un número decimal. Por ejemplo, hay tres números entre el par 21.8 y 21.9 (última fila de la figura 3). Figura 3: Registro de seis secuencias en la actividad de localización coMParación DE núMEros DEciMalEs Las actividades de comparación de esta sección se inspiraron en la investigación de Castillo (2015), cuya intención es comprender la propiedad de densidad de los números decimales mediante la propiedad de comparación. En una de ellas cada participante debe completar una ordenación de números decimales; en la figura 4 se evidencia el trabajo de todos los participantes. Una de sus estrategias fue observar los últimos dígitos de los números que aparecen en los recuadros, para «modificarlos», en algunos casos y en otros, para «añadir dígitos», sin alterar la ordenación. Con el ánimo de que el profesor en formación adquiriera una conciencia metaconceptual de que la propiedad de densidad ayuda a visualizar la no existencia de un sucesor de un decimal, se mostró que entre el par de consecutivos falsos 30.872 y 30.8721 (óvalo de la figura 4) se hallan cuatro números decimales. Figura 4: Anotaciones de los participantes en la actividad de comparación conclusionEs y rEflExionEs Una de las destrezas más destacadas de los diez participantes durante las actividades planeadas para permitir el acercamiento a la propiedad de densidad de los números decimales, fue la extensión de cifras decimales en un número hasta el orden de los millonésimos. No obstante, tres profesores en formación seguían incluyendo en sus concepciones la existencia de un sucesor de un decimal como número mayor. La secuencia didáctica constituye un modelo de enseñanza que puede ser de interés para profesores en servicio (Suárez-Rodríguez y Figueras (2019, 2020, en prensa) para promover, con profundidad, el estudio de la propiedad de densidad de los números decimales en las aulas de clases. Además, estas actividades pueden propiciarle al profesor en formación, o a un estudiante, la comprensión de sumas de progresiones aritméticas o geométricas como series; así como fomentar la escritura de números con expansiones decimales infinitas que no puedan expresarse como fracción, lo que ayudaría a la comprensión del concepto de número irracional. Lo mismo que la escritura de números con expansiones decimales periódicas que expresan una aproximación de un número racional, podría ayudar a la comprensión del concepto del valor límite de dicho racional. Agradezco a la doctora Olimpia Figueras por la dirección de esta investigación. rEfErEncias Broitman, C., Itzcovich, H., y Quaranta, M. E. (2003). «La enseñanza de los números decimales: el análisis del valor posicional y una aproximación a la densidad». Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, Relime, 6(1), 5-26. Brousseau, G. (1981). «Problèmes de didactique des décimaux». In N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland & V. Warfield (Eds. and Trads.), Theory of Didactical Situations in Mathematics. Didactique des Mathématiques, 1970-1990 (149-222). Castillo, G. (2015). «Concepciones que ponen en juego los docentes en formación cuando planifican sus clases» (tesis de maestría, inédita). Cinvestav. Suárez-Rodríguez, M. & Figueras, O. (2019). «Towards a conceptualization of the density property of decimal numbers: a study with teachers in training». In S. Otten, A. G. Candela, Z. de Araujo, C. Haines & C. Munter (Eds.), Proceedings of the Forty-First Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (741-745). University of Missouri. Suárez-Rodríguez, M. & Figueras, O. (en prensa). «An approach to density in decimal numbers: a study with pre-service teachers». 42nd Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME-NA 42). Vamvakoussi, X., & Vosniadou, S. (2004). «Understanding the structure of the set of rational numbers: A conceptual change approach». Learning and Instruction, 14, 453-467. DOI: 10.1016/j.learninstruction.2004.06.013 Vosniadou, S. (1994). «Capturing and modelling the process of conceptual change». Learning and Instruction, 4, 45-69. Vosniadou, S. (2014). «Reframing the Classical Approach to Conceptual Change: Preconceptions, Misconceptions and Synthetic Models». In J. Barry, G. Kenneth & J. Campbell (Eds.), Second International Handbook of Science Education (119-130). Springer. Widjaja, K., Stacey, K., & Steinle, V. (2008). «Misconceptions about density of decimals: Insights from Indonesian pre-service teachers». Journal of Science and Mathematics. Education in Southeast Asia, 31(2), 117-131.