Tarea_3_Oto_o_2022__2_

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Universidad de Chile
Facultad de Economı́a y Negocios
Métodos Matemáticos II (ENMEM155)
Otoño 2022
Tarea 3
1. Suma y producto de matrices
Dados escalares α, β ∈ ]0, 1[, considere la matriz
A =
1 0 10 α 0
0 0 β
 .
Justificando detalladamente sus argumentos, calcule
1003∑
k=103
Ak.
Respuesta:
Note que
A2 =
1 0 1 + β0 α2 0
0 0 β2
 , A3 =
1 0 1 + β + β20 α3 0
0 0 β3
 , A4 =
1 0 1 + β + β2 + β30 α4 0
0 0 β4
 ,
1 0 10 α 0
0 0 β

1 0
n−1∑
k=0
βk
0 αn 0
0 0 βn
 =
1 0
n∑
k=0
βk
0 αn+1 0
0 0 βn+1
 .
Por lo tanto,
An =
1 0
n−1∑
k=0
βk
0 αn 0
0 0 βn
 =
1 0 1−βn1−β0 αn 0
0 0 βn
 , ∀n ∈ N.
Lo anterior nos asegura que
∑1003
k=103 A
k =
∑1003
k=103
1 0 1−βk1−β0 αk 0
0 0 βk

=

1003∑
k=103
1 0
1003∑
k=103
1−βk
1−β
0
1003∑
k=103
αk 0
0 0
1003∑
k=103
βk
 =

901 0 9011−β −
(
1003∑
k=0
βk−
102∑
k=0
βk
)
1−β
0
1003∑
k=0
αk −
102∑
k=0
αk 0
0 0
1003∑
k=0
βk −
102∑
k=0
βk

=
901 0
901
1−β −
(
1−β1004
1−β −
1−β103
1−β
)
1−β
0 1−α
1004
1−α −
1−α103
1−α 0
0 0 1−β
1004
1−β −
1−β103
1−β

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=

901 0 9011−β −
β103(1−β901)
(1−β)2
0 α
103(1−α901)
1−α 0
0 0 β
103(1−β901)
1−β
 .
Considere la siguiente definición alternativa de multiplicación de matrices de R2×2, conocida como
producto de Hadamard : (
a1 b1
c1 d1
)
·
(
a2 b2
c2 d2
)
=
(
a1a2 b1b2
c1c2 d1d2
)
.
Justificando detalladamente sus argumentos, demuestre o dé un contraejemplo para cada una de las
siguientes afirmaciones:
(i) Dadas matrices A,B ∈ R2×2, tenemos que A ·B = B ·A.
(ii) Existe un único U ∈ R2×2 tal que U ·A = A · U = A para toda matriz A ∈ R2×2.
(iii) Si las columnas de A ∈ R2×2 son vectores linealmente independientes de R2, entonces existe una
única B ∈ R2×2 tal que A ·B = U .
Respuesta:
(i): Si
A =
(
a1 b1
c1 d1
)
y B =
(
a2 b2
c2 d2
)
,
entonces la conmutatividad del producto de escalares nos asegura que
A ◦B =
(
a1a2 b1b2
c1c2 d1d2
)
=
(
a2a1 b2b1
c2c1 d2d1
)
= B ◦A.
(ii): Es fácil verificar que la matriz
U =
(
1 1
1 1
)
cumple las condiciones del enunciado (Ud. deb́ıa verificarlo en detalle).
(iii): La afirmación es falsa. Por ejemplo, si
A =
(
1 1
1 0
)
entonces las columnas de A son linealmente independientes. Sin embargo, para toda matriz
B =
(
a b
c d
)
tenemos que
A ◦B =
(
1 1
1 0
)
◦
(
a b
c d
)
=
(
a b
c 0
)
̸=
(
1 1
1 1
)
.
Dadas las matrices
A =
 2 3 7−6 5 8
9 5 4
 B =
4 −6 58 5 2
3 4 −7

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Calcule X ∈ R3x3 sabiendo que :
At +B = 2Bt −A+X
Respuesta:
At =
2 −6 93 5 5
7 8 4

At +B =
 6 −12 1411 10 7
10 12 –3

Bt =
 4 8 3−6 5 4
5 2 −7

2Bt =
 8 16 6–12 10 8
10 4 –14

2Bt–A =
 6 13 −1−6 5 0
1 −1 −18

X = At +B–(2Bt–A) =
 0 −25 1517 5 7
9 13 21

Dada la matriz
A =
2 −3 −14 −2 6
5 1 −3

Determine A·A a través del método de combinaciones lineales y usando producto interno
Respuesta:
Por Combinación Lineal
Columna 1
C1 = 2
24
5
+ 4
−3−2
1
+ 5
−16
−3
 =
−1330
−1

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Columna 2
C2 = (−3)
24
5
+ (−2)
−3−2
1
+ 1
−16
−3
 =
 −1−2
−20

Columna 3
C3 = (−1)
24
5
+ 6
−3−2
1
+ (−3)
−16
−3
 =
−17−34
−10

En consecuencia,
AA =
−13 −1 −1730 −2 −34
−1 −20 10

Cálculo a través de Producto interno
P11 =
 2−3
−1
 ∗
 24
5
 = 2 ∗ 2 + (–3) ∗ 4 + (–1) ∗ 5 = –3
P12 =
 2−3
−1
 ∗
−3−2
1
 = 2 ∗ (−3) + (–3) ∗ (−2) + (–1) ∗ 1 = –1
P13 =
 2−3
−1
 ∗
−16
−3
 = 2 ∗ (−1) + (–3) ∗ 6 + (–1) ∗ (−3) = –17
P21 =
 4−2
6
 ∗
 24
5
 = 4 ∗ 2 + (–2) ∗ 4 + 6 ∗ 5 = 30
P22 =
 4−2
6
 ∗
−3−2
1
 = 4 ∗ (−3) + (–2) ∗ (−2) + 6 ∗ 1 = –2
P23 =
 4−2
6
 ∗
−16
−3
 = 4 ∗ (−1) + (–2) ∗ 6 + 6 ∗ (−3) = –34
P31 =
 51
−3
 ∗
 24
5
 = 5 ∗ 2 + 1 ∗ 4 + (3) ∗ 5 = –1
P32 =
 51
−3
 ∗
−3−2
1
 = 5 ∗ (−3) + 1 ∗ (−2) + (–3) ∗ 1 = –20
P33 =
 51
−3
 ∗
−16
−3
 = 5 ∗ −1 + 1 ∗ 6 + (–3) ∗ (−3) = 10
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En consecuencia,
AA =
−13 −1 −1730 −2 −34
−1 −20 10

Dada la matriz:
A =
 4 5 −1−3 −4 1
−3 −4 0

Calcule A2, A3, ...., A128
Respuesta:
A2 = A ·A =
 4 5 −1−3 −4 1
−3 −4 0
 ·
 4 5 −1−3 −4 1
−3 −4 0
 =
 4 4 1−3 −3 −1
0 1 −1

A3 = A2 ·A =
 4 4 1−3 −3 −1
0 1 −1
 ·
 4 5 −1−3 −4 1
−3 −4 0
 =
1 0 00 1 0
0 0 1

A128 = A3·42+2 = (A3)42 ·A2 = I42 ·A2 = I ·A2 =
 4 4 1−3 −3 −1
0 1 −1

Sean las matrices:
A =
(
5 3
3 2
)
, B =
(
2 x
x 1
)
, C =
(
0 −1
−1 4
)
1. Determinar el valor de x para que se verifique B2 = A.
2. Calcular el valor de x para que B + C = A−1.
3. Calcular el valor de x para que se verifique A−B + 12C = 3I
Respuesta:
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1.
B2 =
(
2 x
x 1
)
·
(
2 x
x 1
)
=
(
4 + x2 3x
3x x2 + 1
)
=
(
5 3
3 2
)
⇒ 4 + x2 = 5 → x = ±1
3x = 3 → x = 1
x2 + 1 = 2 → x = ±1
⇒ x = 1
2.
A =
(
5 3
3 2
)
⇒ det(A) = 10− 9 = 1 ⇒ A−1 = 1
1
(
2 −3
−3 5
)
=
(
2 −3
−3 5
)
B + C = A−1 ⇔
(
2 x
x 1
)
+
(
0 −1
−1 4
)
=
(
2 x− 1
x− 1 5
)
=
(
2 −3
−3 5
)
⇒ x− 1 = −3 → x = −2.
3.
A−B + 1
2
C = 3I ⇔ B = A+ 1
2
C − 3I(
2 x
x 1
)
=
(
5 3
3 2
)
+
1
2
(
0 −1
−1 4
)
−
(
3 0
0 3
)
=
(
2 52
5
2 1
)
→ x = 5
2
Dadas las matrices:
A =
(
−1 1 2
k 0 1
)
, B =
 0 1−1 0
k 2

1. Encuentre para qué valores de k la matriz BtAt tiene inversa.
2. Resolver la ecuación (AB)tX = I si k = 0.
Respuesta:
1.
A =
(
−1 1 2
k 0 1
)
→ At =
−1 k1 0
2 1
 B =
 0 1−1 0
k 2
 → Bt = (0 −1 k
1 0 2
)
C = BtAt =
(
0 −1 k
1 0 2
)
·
−1 k1 0
2 1
 = (2k − 1 k
3 k + 2
)
Para que C tenga inversa,se debe cumplir con que det(C) ̸= 0, es decir, 2k2−2 ̸= 0 → k ̸= ±1.
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2.
(AB)tX = I → X = [(AB)t]−1 · I = [(AB)t]−1 = [Bt ·At]−1 = C−1 → X = C−1
para k = 0:
C =
(
−1 0
3 2
)
y det(C) = −2 ⇒ C−1 = −1
2
(
2 0
−3 −1
)
⇒
(
−1 0
3
2
1
2
)
= X
Considere la matriz A =
(
2 4
1 2
)
:
1. Muestre que A2 − 4A = 02x2
2. Utilizando lo anterior, muestre que An = 4n−1 ·A,∀n ≥ 0.
Respuesta:
1.
A2 =
(
2 4
1 2
)
·
(
2 4
1 2
)
=
(
8 16
4 8
)
= 4A
⇒ A2 − 4A = 02x2
2. Tomando que A2 − 4A = 02x2:
A2 = 4A ⇒ A3 = A2 ·A = 4A ·A
⇒ A3 = 4A2 = 4 · (4A) = 16A
A4 = A3 ·A = 16A ·A = 16A2 = 16(4A) = 64A
A5 = A4 ·A = 64A ·A = 64A2 = 64(4A) = 256A
⇒ An = 4n−1 ·A
Sea
A =
0 0 01 0 0
2 1 0
 .
1. Calcular Ak para todos los valores posibles del entero positivo de k.
2. Sea B = I3 +A. Calcular B
21
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Respuesta:
Calcular Ak para todos los valores posibles del entero positivo de k.
A0 = I3
A1 = A
A2 =
0 0 01 0 0
2 1 0
 ·
0 0 01 0 0
2 1 0
 =
0 0 00 0 0
1 0 0

A3 = A2 ·A =
0 0 00 0 0
1 0 0
 ·
0 0 01 0 0
2 1 0
 =
0 0 00 0 0
0 0 0
 = 03
Finalmente, para k > 3 se tiene que Ak−3 · 03 = 03
Sea B = I3 +A. Calcular B
21
B =
1 0 00 1 0
0 0 1
+
0 0 01 0 0
2 1 0
 =
1 0 01 1 0
2 1 1

B2 = B ·B =
1 0 01 1 0
2 1 1
 ·
1 0 01 1 0
2 1 1
 =
1 0 02 1 0
5 2 1
 =
 1 0 02 1 0
2 + 3 2 1

B3 = B ·B2 =
1 0 01 1 0
2 1 1
 ·
1 0 02 1 0
5 2 1
 =
1 0 03 1 0
9 3 1
 =
 1 0 03 1 0
2 + 3 + 4 3 1

B4 = B ·B3 =
1 0 01 1 0
2 1 1
 ·
1 0 03 1 0
9 3 1
 =
 1 0 04 1 0
14 4 1
 =
 1 0 04 1 0
2 + 3 + 4 + 5 4 1

Por lo tanto,
Bk =
 1 0 0k 1 0∑k+1
j=2 j k 1

Finalmente, para k = 21 tenemos que:
B21 =
 1 0 021 1 0
252 21 1

Sea A =
(
1 −2
2 1
)
y B =
(
−2 −5
1 −3
)
∈ M2(R), calcular:
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1
2
·
[
3 ·
(
−2At + I2)
− 2I2 + 3Bt
]t
Respuesta:
Definiremos las matrices:
At =
(
1 2
−2 1
)
Bt =
(
−2 1
−5 3
)
I2 =
(
1 0
0 1
)
(
−2At + I2
)
= −2 ·
(
1 2
−2 1
)
+
(
1 0
0 1
)
=
(
−1 −4
4 −1
)
[
3 ·
(
−2At + I2
)
− 2I2
]
= 3 ·
(
−1 −4
4 −1
)
− 2 ·
(
1 0
0 1
)
=
(
−5 −12
12 −5
)
[
3 ·
(
−2At + I2
)
− 2I2 + 3Bt
]
=
(
−5 −12
12 −5
)
+ 3 ·
(
−2 1
−5 3
)
=
(
−11 −9
−3 −14
)
1
2
·
[
3 ·
(
−2At + I2
)
− 2I2 + 3Bt
]t
=
(
−11/2 −3/2
−9/2 −7
)
Hallar la Matriz X que verifica la siguiente ecuación matricial:(
1 0 3
2 1 5
)
+
(
−1 2
1 3
)
·X =
(
0 0 4
3 6 14
)
Respuesta:
Como tenemos una matriz de 2x2 multiplicandose a la izquierda de la matriz X, por temas de
dimensión y reglas de multiplicación, la matriz X debe tener dimensión 2x3.
Entonces, definamos la matriz a determinar como:
X =
(
a b c
r s t
)
Reemplazando, tenemos que:(
1 0 3
2 1 5
)
+
(
−1 2
1 3
)
·
(
a b c
r s t
)
=
(
0 0 4
3 6 14
)
(
1 0 3
2 1 5
)
+
(
−a+ 2r −b+ 2s −c+ 2t
a+ 3r b+ 3s c+ 3t
)
=
(
0 0 4
3 6 14
)
(
1− a+ 2r −b+ 2s 3− c+ 2t
2 + a+ 3r 1 + b+ 3s 5 + c+ 3t
)
=
(
0 0 4
3 6 14
)
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a = 1
b = 2
c = 3
r = 0
s = 1
t = 2
Por lo tanto, tenemos que:
⇒
(
1 2 3
0 1 2
)
Determinar las matrices X e Y , sabiendo que:
3X − 5Y =
(
1 −2
8 1
)
−Xt + (3Y )t =
(
2 3
4 0
)
Respuesta:
Trasponiendo la segunda ecuación se tiene:
[
−Xt + (3Y )t
]t
=
(
2 3
4 0
)t
−X + (3Y ) =
(
2 4
3 0
)
De esta manera, el sistema de ecuaciones:
a)
3X − 5Y =
(
1 −2
8 1
)
b)
−X + (3Y ) =
(
2 4
3 0
)
Sumamos: a)+ 3b)
⇒ 4Y =
(
1 −2
8 1
)
+ 3 ·
(
2 4
3 0
)
=
(
7 10
17 1
)
⇒ Y = 1
4
(
7 10
17 1
)
=
(
7/4 10/4
17/4 1/4
)
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Reemplazando en b)
−X + 3 ·
(
7/4 10/4
17/4 1/4
)
=
(
2 4
3 0
)
⇒ X = 3 ·
(
7/4 10/4
17/4 1/4
)
−
(
2 4
3 0
)
X =
(
13/4 14/4
39/4 3/4
)
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	Suma y producto de matrices