Solemne_3_Primavera_2022__2_

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Universidad de Chile
Facultad de Economı́a y Negocios
Solemne 3: Métodos Matemáticos II (ENMEM155)
Primavera 2022
Preguntas de desarrollo:
Problema 1 (40 puntos)
Resuelva completamente el siguiente SEL, sistema de ecuaciones lineales, (es decir, indique las condiciones
sobre β para que (i) el SEL tenga solución única, (ii) tenga infinitas soluciones y (iii) no tenga soluciones).
Adicionalmente, en el caso que el SEL tenga solución única, determine x1; x2 y x3.
x1 + x2 − x3 = 5
2x1 + 3x2 + βx3 = 15
x1 + βx2 + 3x3 = 10
Respuesta.
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es 1 1 −1 | 52 3 β | 15
1 β 3 | 10

Se tiene entonces que: 1 1 −1 | 52 3 β | 15
1 β 3 | 10
 f1(−2)+f2−→
 1 1 −1 | 50 1 β + 2 | 5
1 β 3 | 10
 f1(−1)+f3−→
 1 1 −1 | 50 1 β + 2 | 5
0 β − 1 4 | 5

f2(1−β)+f3−→
 1 1 −1 | 50 1 β + 2 | 5
0 0 (β + 2)(1− β) + 4 | (5− 5β) + 5

Con esto tenemos:  1 1 −1 | 50 1 β + 2 | 5
0 0 −β2 − β + 6 | 10− 5β

por lo que el SEL inicial es equivalente al siguiente
x1 + x2 − x3 = 5 (1)
x2 + (β + 2)x3 = 5 (2)
(−β2 − β + 6)x3 = 10− 5β (3)
Con esto, tenemos que:
x1 + x2 − x3 = 5 (4)
x2 + (β + 2)x3 = 5 (5)
(2− β)(3 + β)x3 = 10− 5β (6)
De esta manera,
(i) el SEL tiene solución única cuando β ̸= 2 ∧ β ̸= −3 ,
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(ii) el SEL no tiene solución cuando β = −3
(iii) el SEL tiene infinitas soluciones cuando β = 2
Ahora bien, si resolvemos el sistema de ecuaciones planteado en las ecuaciones (4); (5); (6), tenemos que:
x1 = 5
x2 =
5
3 + β
x3 =
5
3 + β
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Problema 2 (20 puntos)
Sea A =
2 0 44 −2 6
8 2 16
.
Defina Ker(A), , rango y nulidad
Respuesta.
A la hora de calcular el núcleo, es necesario que se cumpla que AX = 0. Para resolver esto, escalonare-
mos:
 2 0 4 | 04 −2 6 | 0
8 2 16 | 0
 f1(−2)+f2−→
 2 0 4 | 00 −2 −2 | 0
8 2 16 | 0
 f1(−4)+f3−→
 2 0 4 | 00 −2 −2 | 0
0 2 0 | 0
 f2(1)+f3−→
 2 0 4 | 00 −2 −2 | 0
0 0 −2 | 0

por lo que el SEL equivalente es:
2x1 + 4x3 = 0 (7)
−2x2 − 2x3 = 0 (8)
−2x3 = 0 (9)
Ahora bien, si resolvemos el sistema de ecuaciones planteado en las ecuaciones (7); (8); (9), tenemos que:
x1 = 0
x2 = 0
x3 = 0
Esto nos permite determinar lo siguiente:
Ker(A) =

00
0

Nul(A) = 0
Ran(A) = 3
Solución Sustituta para encontrar el núcleo Dado que la matriz A es cuadrada y tiene un determinante
distinto de cero, eso quiere decir que la matriz A es invertible. Dado esto, podemos concluir que todas las
filas y las columnas de la matriz A son LI.
Esto nos permite determinar lo siguiente:
Ker(A) =

00
0

Nul(A) = 0
Ran(A) = 3
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