Números, Porcentagem, Potências e Raízes

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PREUNIVERSITARIO PREUCV 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
NÚMEROS 
 
 
 
1 ➢➢➢Matemáticas – CLASE 11 
 
 
 
 
I. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES 
 Números Enteros (ℤ) 
a) Definición: 
Compuestos por los números naturales (enteros positivos), los enteros negativos y el cero. 
ℤ = {… , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … } 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Operaciones en ℤ: 
Suma y resta 
 
 Ej. −4 − 5 = −9 
 4 + 5 = 9 
 Ej. −4 + 5 = 1 
 4 − 5 = −1 
 
Multiplicación y división 
 
 Ej. 4 ∙ 5 = 20 
 (−4) ∙ (−5) = 20 
 Ej. 4 ∙ (−5) = −20 
 (−4) ∙ 5 = −20 
 
Números Racionales (ℚ) 
 
a) Definición: aquellos que se puedan representar como una fracción. 
ℚ = { 
𝑎
𝑏
 / 𝑎, 𝑏 𝜖 ℤ, 𝑏 ≠ 0} 
 
 
 
 
 
A continuación, se presentan los contenidos del eje temático “Números”, exponiendo las 
principales características del conjunto de los números enteros y racionales, los porcentajes, las 
potencias, raíces y logaritmos. 
ℤ
Neutro aditivo
0
𝑛 + 0 = 𝑛
Inverso aditivo
−𝒏
n+ −𝑛 = 0
Neutro multiplicativo
1
𝑛 ∙ 1 = 𝑛
ℚ
Neutro aditivo
0
𝑎
𝑏
+ 0 =
𝑎
𝑏
Inverso aditivo
−
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
+ −
𝑎
𝑏
= 0
Neutro multiplicativo
1
𝑎
𝑏
∙ 1 =
𝑎
𝑏
Inverso multiplicativo
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
∙
𝑏
𝑎
= 1
1. Signos iguales, se suman sus valores absolutos y se mantiene el 
signo. 
2. Signos distintos, se restan los valores absolutos y se mantiene el 
signo del número que tiene mayor valor absoluto. 
 
1. Signos iguales resulta positivo. 
 
2. Signos distintos resulta negativo. 
+ + + ∙ = 
- + - ∙ = 
+ - - ∙ = 
- - + ∙ = 
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b) Operaciones en ℚ: 
Suma y resta 
 Ej. 
1
4
+
5
6
=
1∙6+4∙5
4∙6
=
6+20
24
=
26:2
24:2
=
13
12
 
 Ej. 
1
4
+
5
6
=
1∙3
4∙3
+
5∙2
6∙2
=
3+10
12
=
13
12
 
Multiplicación 
Ej. 
3
4
∙
8
12
=
3∙8
4∙12
=
24:12
48:12
=
1
2
 
Ej. 
 
División 
 Ej. 
3
4
:
8
12
=
3
4
∙
12
8
=
3∙12
4∙8
=
36:12
48:12
=
3
4
 
 
II. PORCENTAJE 
 
a) Representación: 
 
 
 
b) Cálculo: 
𝑎% de una 
cantidad 
 
Multiplicando el porcentaje en su 
representación fraccionaria por la cantidad. 
Ejemplo 
12% de 1500 =
12
100
∙ 1500 =
12∙1500
100
=
18000
100
= 180 
Multiplicando el porcentaje en su 
representación decimal por la cantidad 
Ejemplo 
12% de 1500 = 0,12 ∙ 1500 = 180 
Utilizando regla de tres, considerando que 
la cantidad es el 100%. 
Ejemplo 
12% de 1500 
𝑥 =
12 ∙ 1500
100
= 180 
Porcentaje Cantidad 
100 1500 
12 x 
 
Hay otros cálculos referidos a los porcentajes, los cuales también se pueden resolver utilizando regla de tres 
¿Qué 
porcentaje 
de b es a? 
Se considera b el 100% y a es 
la cantidad a la que 
corresponde el porcentaje 
buscado (x). 
Porcentaje Cantidad 
100 500 
x 120 
Ejemplo 
¿Qué porcentaje de 500 es 120? 
𝑥 =
100 ∙ 120
500
= 24% 
120 corresponde al 24% de 500 
Representación
𝑎%
𝑎% =
𝑎
100
Fracción 12% =
12
100
=
3
25
Decimal 12% = 0,12
Estrategia 1: 
𝑎
𝑏
±
𝑐
𝑑
=
𝑎∙𝑑±𝑏∙𝑐
𝑏∙𝑑
 
Estrategia 2: amplificando y usando el M.C.M 
Estrategia 1: 
𝑎
𝑏
∙
𝑐
𝑑
=
𝑎∙𝑐
𝑏∙𝑑
 
Estrategia 2: simplificando antes de multiplicar. 
𝑎
𝑏
:
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
∙
𝑑
𝑐
=
𝑎 ∙ 𝑑
𝑏 ∙ 𝑐
 
 
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III. POTENCIAS 
 
a) Definición: 𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 ; 𝑛 𝜖 ℕ Ejemplo: 43 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64 
 
Base: factor que se repite. 
Exponente: número de veces que se repite dicho factor. 
 
a) Propiedades: 
Nombre Propiedad Ejemplo 
Exponente positivo (
𝒂
𝒃
)
𝒏
=
𝒂𝒏
𝒃𝒏
 (
3
4
)
3
=
33
43
 
Exponente negativo 
𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏
 
(
𝒂
𝒃
)
−𝒏
= (
𝒃
𝒂
)
𝒏
=
𝒃𝒏
𝒂𝒏
 
4−3 =
1
43
 
(
2
5
)
−3
= (
5
2
)
3
=
53
23
 
Potencia elevada a un 
exponente 
(𝒂𝒏)𝒎 = 𝒂𝒏∙𝒎 (32)4 = 32∙4 = 38 
Multiplicación de potencias de 
igual base 
𝒂𝒏 ∙ 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏+𝒎 (−2)3 ∙ (−2)5 = (−2)3+5 = (−2)8 
División de potencias de igual 
base 
𝒂𝒏: 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏−𝒎 (−2)3: (−2)5 = (−2)3−5 = (−2)−2 =
1
(−2)2
 
Multiplicación de potencias de 
igual exponente 
𝒂𝒏 ∙ 𝒃𝒏 = (𝒂 ∙ 𝒃)𝒏 (−2)4 ∙ 34 = (−2 ∙ 3)4 = (−6)4 
División de potencias de igual 
exponente 𝒂
𝒏: 𝒃𝒏 = (𝒂: 𝒃)𝒏 82: (−4)2 = (8 : −4)2 = (−2)2 
Exponente fraccionario 𝒂
𝒎
𝒏 = √𝒂𝒎
𝒏
 8
2
3 = √82
3
 
IV. RAÍCES 
a) Definición: 𝑎
1
𝑛 = √𝑎
𝑛
= 𝑏 tal que cumple que 𝑏𝑛 = 𝑎 Ejemplo: 8
1
3 = √8
3
= 2 pues 23 = 8 
 
b) Propiedades: 
 
Nombre Propiedad Ejemplo 
División de raíces de igual índice 
 
√𝑎
𝑛
∙ √𝑏
𝑛
= √𝑎 ∙ 𝑏
𝑛
 √2
3
∙ √18
3
= √2 ∙ 18
3
= √36
3
 
División de raíces de igual índice 
 
√𝑎
𝑛
: √𝑏
𝑛
= √𝑎: 𝑏
𝑛
 
 
√36
3
: √18
3
= √36: 18
3
= √2
3
 
¿De qué 
cantidad, b 
es el a%? 
Se considera a b como el a% 
de cierta cantidad 
desconocida, la cual 
corresponde al 100%. 
Porcentaje Cantidad 
100 x 
45 270 
Ejemplo 
¿De qué cantidad, 270 es el 45%? 
 𝑥 =
100∙270
45
= 600 
600 es la cantidad equivalente al 100% 
n veces base 
exponente 
índice 
Cantidad subradical 
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4 Matemáticas – CLASE 11 
Raíz de una raíz 
√ √𝑎
𝑛𝑚
= √𝑎
𝑚𝑛
 √√5
43
= √5
3∙4
= √5
12
 
 
V. LOGARITMOS 
 
a) Definición: 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑐 es equivalente a 𝑎
𝑐 = 𝑏 Ejemplo: 𝑙𝑜𝑔232 = 5 pues 2
5 = 32 
 
b) Propiedades: 
 
Logaritmo de: Propiedad Ejemplo 
La unidad 
𝒍𝒐𝒈𝒂𝟏 = 𝟎 
 
𝑙𝑜𝑔251 = 0 
La base 
𝒍𝒐𝒈𝒂𝒂 = 𝟏 
 
𝑙𝑜𝑔2525 = 1 
Una potencia de la base 
𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒂
𝒏) = 𝐧 
 
𝑙𝑜𝑔2(2
5) = 5 
Un producto 
𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒙 ∙ 𝒚) = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 + 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒚 
 
𝑙𝑜𝑔3(9 ∙ 27) = 𝑙𝑜𝑔39 + 𝑙𝑜𝑔327 = 2 + 3 = 5 
Una división 
 
𝒍𝒐𝒈𝒂 (
𝒙
𝒚
) = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 − 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒚 𝑙𝑜𝑔2 (
8
32
) = 𝑙𝑜𝑔28 − 𝑙𝑜𝑔232 = 3 − 5 = −2 
Una potencia cualquiera 
 
𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒙
𝒚) = 𝒚 ∙ 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 
 
𝑙𝑜𝑔2(16
5) = 5 ∙ 𝑙𝑜𝑔216 = 5 ∙ 4 = 20 
Una raíz 𝒍𝒐𝒈𝒂( √𝒃
𝒏
) =
𝟏
𝒏
∙ 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃 
 
𝑙𝑜𝑔2( √2
5
) =
1
5
∙ 𝑙𝑜𝑔22 =
1
5
∙ 1 =
1
5
 
Cambio de base de un logaritmo 
𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃 =
𝒍𝒐𝒈𝒄𝒃
𝒍𝒐𝒈𝒄𝒂
 
 
𝑙𝑜𝑔168 =
𝑙𝑜𝑔28
𝑙𝑜𝑔216
=
3
4
 
 
 
VI. RELACIÓN ENTRE POTENCIA, RAÍZ Y LOGARITMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Potencia Raíz Logaritmo 
𝑎𝑚 = 𝑏 √𝑏
𝑚
= 𝑎 log𝑎𝑏 = 𝑚 
34 = 81 √81
4
= 3 log381 = 4 
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5 ➢➢➢MATEMÁTICAS – CLASE 11 
 
EJERCICIOS 
1. En un curso universitario de 48 alumnos, los 
3
8
 tienen 
menos de 17 años y los 
2
5
 del resto tienen entre 17 y 18, 
ambas edades incluidas. ¿Cuántos alumnos tienen más 
de 18 años? 
a) 12 
b) 18 
c) 24 
d) 30 
e) 40 
2. En una granja de animales se tiene que la razón entre 
la suma de la cantidad de corderos y la cantidad de vacas; 
y la suma del número de corderos, vacas y gallinas es 5: 
7. También se sabe que la razón entre el número de 
corderos y la cantidad de corderos menos la cantidad de 
vacas es 4: 3. Si la cantidad de vacas es 40, ¿Cuántas 
gallinas hay en la granja? 
a) 40 
b) 56 
c) 80 
d) 120 
e) 160 
3. Una persona compra un auto en P pesos y lo revende 
ganando un 20% de lo invertido inicial mente. Si el 
vendedor a su vez, lo vuelve a vender ganando un 5%. 
¿Cuánto tuvo que pagar el ultimo comprador? 
a) 2,25P 
b) 1,25P 
c) 1,5 · 0,2P 
d) 1,05 · 1,2P 
e) 1,2 · 1,5P 
 
 
 
 
4.Si a es un número real,En la expresión √9 − 6𝑎2 + 𝑎4
4
, 
¿Cuál debe ser el o los valores de a para que esta 
represente un número real?: 
a) Para todos los números Reales 
b) Solo si a > 3 y a < - 3 
c) Solo si a < 9 
d) Solo si a > √3 y a < - √3 
e) Si a esta entre −√3 𝑦 √3 
 
5. En el censo de 1930 una ciudad registro una población 
de 20.000 habitantes. El año 1960 su población alcanzo 
los 60.000. Treinta años después la cuidad registro una 
población de 180.000 habitantes. Si el aumento de la 
población se mantiene de forman constante. ¿En cuánto 
se podría estimar la población en el año 2050? 
a) 210.000 
b) 240.000 
c) 300.000 
d) 810.000 
e) 1.620.000 
6. Si n y a son números reales positivos distintos de 1, 
respectivamente. Se puede determinar el valor numérico 
de k en log n (5a –a2) – log n (5 –a) = k, si: 
(1) a = n, con n ≠ 5 
(2) a = 2 
a) Por si sola. 
b) Por si sola. 
c) Ambas juntas, (1) y (2). 
d) Cada una por si sola, (1) o (2). 
e) Se requiere información adicional. 
 
 
 
 
 
 
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6 Matemáticas – CLASE 11 
7. Una partícula se mueve con velocidad de v(t) = c·2-k·t 
donde c y k son constantes en función del tiempo t. Si la 
velocidad inicial es de 16 centímetros por minuto, y en 2 
minutos se reduce a la mitad. ¿En qué momento la 
velocidad será de 2 cm/min? 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
8. Si tenemos que b = √4𝑘3
8
, entonces la expresión que 
se muestra resulta: 
𝑏−5 · 𝑏13
𝑏7 · 𝑏−15
 
a) 1 
b) 4𝑘6 
c) 8𝑘6 
d) 16𝑘6 
e) 16𝑘9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Sea p, m, (p + m), …; una secuencia infinita de números 
enteros positivos, en que cada termino, a partir del 
segundo, se obtiene sumando un mismo valor al termino 
anterior. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es 
(son) siempre verdaderas? 
I. El cuarto término de la secuencia es (p + 2m). 
II. m es un número par. 
III. Si p es un número par, entonces todos los términos 
de la secuencia son números pares. 
a) Solo I. 
b) Solo III. 
c) I y II. 
d) II y III. 
e) I, II y III. 
10. Un médico detecta que un paciente requiere 
mantener los niveles de un medicamento en la sangre. 
La cantidad C de miligramos que hay presente en ella va 
disminuyendo en el tiempo (t) en horas mediante la 
siguiente expresión: log C = 1 – 0,087·t 
log C = 1 – 0,087·t 
Es correcto que: 
I. La dosis que se administra de medicamento es de 1 mg. 
II. Al cabo de casi 23 hrs. la cantidad de medicamento 
será de 0,1 mg. 
III. A las 8 hrs. la cantidad de medicamento será de 10 
0,34. 
a) Solo I. 
b) Solo III. 
c) II y III. 
d) I y III. 
e) I, II y III.