LIBRO DE ARITMETICA 2

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E D U C A C I Ó N S E C U N D A R I A
2
Aritmética
ARITMÉTICA 2
El libro de ARITMÉTICA 2, para el segundo año de educación secundaria, se complementa con el 
CUADERNO DE TRABAJO ARITMÉTICA 2 y ha sido elaborado por el Departamento Académico de 
la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima.
 Título de la obra: Aritmética 2
 Título de la colección: Geniomatic Educación Secundaria
 Director Académico: Hernán Hernández Bautista
 Editores Responsables: Hernán Hernández Bautista
 Angel Aponte Espinoza
 Asesor Académico: Angel Aponte Espinoza
 Diseño y Diagramación: Marco Antonio Lizárraga Podestá 
 Eduardo Tomas Granados Marcelo
 Norma Guadalupe Guerrero Noel 
 Corrección de Estilo: Victor Francisco Bautista
 Fotografía: Yuri Hernández Oblea 
 Hernán Hernández Bautista
 Páginas web 
 Primera edición: Setiembre 2015
 Tiraje: 5000 ejemplares
Editado por:
Editorial Ingenio & YHO S.A.C.
Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima
Telefax: (511) 426-4853
www.editorialingenio.pe
E-mail:editorial.ingenioyho@gmail.com
Impreso en los talleres gráficos de Corporación Gráfica Navarrete S.A.
Carretera Central 759 km 2 Sta. Anita - Lima 43
Impreso en Octubre 2015
Teléfono: (01) 362-0606
Copyright © 2015
Geniomátic E.I.R.L.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso escrito de 
GENIOMÁTIC
Número de Proyecto Editorial: 31501001501087
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-13913
ISBN: 978-612-4302-03-9
AL MAESTRO:
El Estado peruano dirige la política educativa a través del Ministerio de Educación. Sin embargo, 
la tarea educativa es responsabilidad de todos los peruanos, en especial de los profesores, los 
alumnos, las autoridades docentes y los padres de familia. 
El Diseño Curricular Nacional (DCN) de Educación Básica Regular, formulado por el Ministerio 
de Educación, fija el marco de nuestro trabajo educativo, labor que desarrollamos con los textos 
escolares de Matemática Geniomátic de educación secundaria. 
Compartimos la propuesta de “ofrecer una educación integral a los estudiantes mediante una 
formación científica, humanística y técnica. Afianzar su identidad personal social. Profundizar los 
aprendizajes logrados en el nivel de Educación Primaria. Orientar al desarrollo de capacidades 
que permitan al educando acceder a conocimientos humanísticos, científicos y tecnológicos en 
permanente cambio. Formar para la vida, el trabajo, la convivencia democrática, el ejercicio de la 
ciudadanía y para niveles superiores de estudio. Tenemos en cuenta las características, las nece-
sidades y los derechos de los púberes y adolescentes“.
La labor docente, particularmente en Matemática, es una tarea apremiante en la que Geniomátic 
pretende apoyar, por lo que esperamos que este texto sea una herramienta útil y eficiente que 
aligere el trabajo con sus estudiantes. 
AL ESTUDIANTE: 
¿Qué piensas de la Matemática? El concepto que tengas de la Matemática es muy importante 
para tu aprendizaje. Algunos piensan que la Matemática es un conjunto de reglas y fórmulas que 
hay que memorizar para el examen. Otros piensan que es un invento de muchos genios, difícil 
de comprender. Ambas ideas pueden perjudicar tu aprendizaje. 
La Matemática es lógica y sentido común. Si en una caja pones 10 manzanas y le agregas 5 
más, tendrás 15 manzanas. Si manejo un carro que yendo a 100 kilómetros por hora y frena en 
50 metros, el sentido común me dice que necesito unos 100 metros por adelante, para que en 
caso de una emergencia tenga tiempo de reaccionar y frenar con tranquilidad. En caso contrario, 
debo bajar la velocidad. 
Los conocimientos matemáticos son muy útiles para resolver problemas de cuantificación, como 
calcular áreas de terrenos, cantidad de materiales para construcción, estimar el tiempo de pro-
ducción de un artefacto, etc. 
Este libro te ofrece una oportunidad para involucrarte en el maravilloso mundo de las ideas ma-
temáticas, donde no hay límites para tu curiosidad, donde puedes explorar, imaginar, cuestionar, 
verificar, proponer, preguntar, responder preguntas desde tu punto de vista, compartir tus inquie-
tudes y trabajar en equipo. 
En este texto encontrarás los conocimientos matemáticos siempre asociados a una aplicación 
práctica que te servirá de guía para que hagas lo mismo con los ejercicios de la actividad. Ade-
más, cuentas con alcances en la columna derecha, que te reforzarán, ayudarán e informarán 
sobre el tema principal. 
Los cuatro textos van acompañados por un cuaderno de trabajo que contiene ejercicios similares 
a los de la actividad y otros, seleccionados en tres niveles de dificultad, para que puedas practicar, 
reforzar y profundizar tus conocimientos. 
PRESENTACIÓN
32 
4 2
Número de la unidad
Título de la unidad
Título del capítulo
Número de capítulo
Generación del conflicto cognitivo
Es una pregunta que tendrás que responder 
con el desarrollo o al terminar el capítulo. 
Información complementaria
Lecturas, notas, observación, historias, 
recursos tecnológicos, que contribuyen a 
reforzar y recrear el tema.
Problemas
Plantea una aplicación desarrollada del 
tema. 
Problemas
Plantea una aplicación desarrollada del 
tema. 
Recuperación de saberes previos
Plantea situaciones que te servirán de 
base para iniciar el tema nuevo. Es algo 
que conoces o has tratado en los capítulos 
anteriores. 
Formalización 
Continúa las definiciones y conceptos de 
los términos matemáticos.
Actividad
Es un conjunto de preguntas sobre análisis, 
reflexión, de valoración, demostración, 
cálculo, búsqueda de relaciones, para que 
desarrolles, individual o colectivamente, con 
apoyo de tu profesor o tus compañeros. 
Imagen secundaria
Imagen que muestra un detalle relacio-
nado con el tema de la lectura.
Aprendizajes esperados y actividades
Contienen el listado de las capacidades 
que desarrollarás en la unidad.
Imagen motivadora
Fotografía ilustrada que conecta una situa-
ción real con el tema de aprendizaje.
Lectura motivadora
Explica la relación entre la Matemática y 
una situación objetiva. Además, formula 
preguntas que propician el análisis y 
reflexión sobre el tema. 
6 2
RELACIONES LÓGICAS Y NÚMEROS NATURALES
CAMÉLIDOS SUDAMERICANOS 
Del universo de los animales denominados camélidos sudameri-
canos (llama, alpaca, vicuña, guanaco) el guanaco se encuentra 
en peligro de extinción, sobre todo en el Perú. Es el ancestro de 
la llama, alpaca y guanaco modernos. Es silvestre igual que la 
vicuña.
- Busca características comunes entre el guanaco y la vicuña, en-
tre el guanaco y la llama, entre la llama y la alpaca y las carac-
terísticas comunes entre los cuatro camélidos. 
http://www.peruecologico.com.pe/fau_guanaco_1.htm
 
APRENDIZAJES ESPERADOS
Unidad
01
Torres del Paine National Park
Chaccu de vicuñas - Hu
ancavelica
Matematiza
situaciones
Comunica y
representa
Elabora y usa
estrategias
Razona y 
argumenta
• Reconoce el valor de 
verdad de proposicio-
nes lógicas.
• Interpreta datos a 
partir de inferencias 
deductivas.
• Convierte números de 
una base a otra.
• Representa en forma 
simbólica un enunciado.
• Escribe números natu-
rales en distintas bases.
• Utiliza las operaciones 
en N para comunicar 
resultados.
• Elabora estrategias 
para resolver problemas 
de relaciones de lógica. 
• Resuelve problemas de 
conteo de cifras.
• Usa diversas estrategias 
para resolver problemas 
con números naturales.
• Justifica el uso de las 
proposiciones lógicas.
• Argumenta la impor-
tancia del cambio de 
base y sus operaciones.
• Establece reglas para 
operar en N.
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
16 2
04CAPÍTULO OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS I
SuceSión aritmética
Estos son los números impares. Au-
mentando dos esferas, una en cadaextremo de la escuadra, podemos 
seguir dibujando la secuencia infini-
tamente. 
Las esferas forman una sucesión gráfica, y los números, una sucesión numé-
rica. Las sucesiones numéricas son muy diversas, aquí trataremos la suce-
sión aritmética. 
Una sucesión aritmética es un conjunto de números, llamados términos, 
en el que, dado el primero, cada término siguiente se obtiene sumando al 
anterior un mismo número llamado razón. 
Fórmula de recurrencia o término general 
• Como va de 4 en 4 (razón), el 
 término general contiene 4n.
• Para n = 1 debe producir 7, 
 entonces es 4n + 3. 
El término general se denota por tn, en este caso tn = 4n + 3. 
Para n = 1 debe resultar 7. En efecto, t1 = 4(1) + 3 = 7
Para n = 3 debe resultar 15. En efecto, t3 = 4(3) + 3 = 15
Para calcular el número de términos de la sucesión nos preguntamos, para 
qué valor de n resulta 195:
4n + 3 = 195 ⇒ n = 48 (tiene 48 términos)
Problema 1
¿Cuántos términos de la sucesión 
3; 12; 21; 30; ..., tienen 3 cifras? 
Solución:
• Término general: tn = 9n – 6 
• Tienen n 3 cifras:
100 ≤ 9n – 6 < 1000
mín = 12 máx = 111
∴ Hay 111 – 11 = 100 términos 
 Rpta.: 100
¿La suma es siem-
pre mayor que las 
partes?
Pachapupo - Ayacucho
ADICIÓN
Con el paso del tiempo 
la naturaleza construye 
maravillas, molécula por 
molécula. 
Dada la sucesión aritmética: 
t1, t2, t3, ... tn
r r
• Término anterior al primero
 t0 = t1 – r
• Término general
 tn = rn + t0
• Número de términos: 
 
n = 
tn – t1 
r + 1 o
n = 
tn – t0 
r 
Datos
1 3 5 7
7; 11; 15; 19; ... ; 195
1° término
último 
término
razón
número de 
términosn 
4 4 4 
I 
B
IM
ES
TR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
12 2
CAPÍTULO 02 NUMERACIÓN
1 Si un número de dos cifras es igual a 5 veces su 
cifra de unidades, calcula la suma de sus cifras.
2 Calcula a + b si 5ab = 1ab 
3 Indica el o los numerales mal escritos.
 1. 28(3) 3. 2222(9)
 2. 126(5) 4. 761(8)
4 Ordena de mayor a menor los siguientes núme-
ros:
 1. 34(8) 2. 45(6) 3. 1101(2)
5 Indica si es verdadero (V) o falso (F).
 1. 32(6) < 33(7) ( )
 2. 43(5) > 44(6) ( )
 3. 71(8) > 72(9) ( )
6 Halla los valores de a, b, c y d si los siguientes 
números están bien escritos. Da como respuesta 
la suma de ellos.
 a1(b) ; b1(d) ; 2d3(c) ; c1(5)
7 Halla el valor de "x" en:
421(x) = 133(9) 
8 Si 203(m) = 120(m + 1)
 calcula "m" 
9 Calcula el valor de c + b + n en:
346(n) = 2bc(8) 
10 Halla "a" si:
43 = 1aa(6) 
Actividad 02
Problema 5
Si ab = 1
3
 (1ab), calcula a × b.
Solución:
3ab = 100 + ab
2ab = 100 ⇒ ab = 50
a = 5 ∧ b = 0
∴ a × b = 0
Rpta.: 0
Problema 7
Si a2b(9) = a72(n) , halla el valor de a×b×n.
Solución:
De la expresión: a72(n) ⇒ 7 < n < 9 ⇒ n = 8
⇒ a2b(9) = a72(8)
81a + 18 + b = 64a + 56 + 2
17a + b = 40 ⇒ a = 2; b = 6 
∴ a×b×n = 96
Rpta.: 96 
Problema 6
Calcula "x" en abcd(x) si el máximo valor de 
a + b + c + d es 88.
Solución:
a = b = c = d = x – 1
⇒ 4(x – 1) = 88
 x – 1 = 22 ⇒ x = 23
∴ x = 23
Rpta.: 23
Problema 8
Si 123 = aaabc3, halla a + b + c. 
Solución:
123 en base 3
 
 ⇒ 123 = 111203 = aaabc3
 ∴ a + b + c = 3
 Rpta.: 3
123 3
0 41 3
2 13 3
1 4 3
1 1
I 
B
IM
ES
TR
E
ESTRUCTURA DEL TEXTO
Sección inicial de la unidad 
Sección central
52 
ÍNDICE
SECCIÓN INICIAL SECCIÓN CENTRAL ACTIVIDAD
 
Capítulo 01: Conectivos lógicos
 Análisis de las proposiciones compuestas básicas 
Capítulo 02: Numeración 
 Sistema de numeración, cambio de base 
Capítulo 03: Conteo de números y cifras
 Método combinatorio, cifras condicionales 
Capítulo 04: Operaciones con números enteros I 
 Adición
 Sucesión aritmética
 Serie aritmética
Capítulo 05: Operaciones con números enteros II
 Sustracción, complemento aritmético 
Capítulo 06: Operaciones con números enteros III
 Multiplicación, división
 
Actividad 01
Actividad 02
Actividad 03
Actividad 04
Actividad 05
Actividad 06 
01
6
RELACIONES LÓGICAS Y 
NÚMEROS NATURALES 
 7
10
13
16
19
21
 9
12
15
18
20
23
 
Capítulo 07: Principios de divisibilidad
 Criterios de divisibilidad 
Capítulo 08: Números primos
 Estudio de los divisores de un número 
Capítulo 09: MCM Y MCD
 Métodos de obtención del MCM y MCD 
 Propiedades del MCM y MCD
Capítulo 10: Números racionales I 
 Fracciones 
Capítulo 11: Números racionales II
 Homogenización de fracciones, comparación
 de fracciones
Capítulo 12: Operaciones con fracciones 
 Problemas de adición, sustracción, multiplicación y división 
Actividad 07
 
Actividad 08
Actividad 09
Actividad 10
Actividad 11
Actividad 12
24
02
PROPIEDADES DE 
LOS NÚMEROS
25
29
31
33
36
38
28
30
32
35
37
39
 
Capítulo 13: Números decimales I
 Clasificación de los números decimales,
 fracción generatriz 
Capítulo 14: Números decimales II 
 Operaciones con decimales 
Capítulo 15: Razones y proporciones
 Razones
 Serie de razones geométricas equivalentes 
Capítulo 16: Magnitudes proporcionales
 Reparto proporcional
Capítulo 17: Regla de tres 
 Directa, inversa y compuesta 
Capítulo 18: Tanto por ciento
 Aplicaciones del tanto por ciento, descuento
 y aumento sucesivos 
Actividad 13
 
Actividad 14
Actividad 15
Actividad 16
Actividad 17
Actividad 18
41
44
47
50
 
53
55
40
03
NÚMEROS RACIONALES 
Y PROPORCIONALIDAD
43
46
49
52
54
59
 
Capítulo 19: Estadística
 Tabla de distribución de frecuencias 
Capítulo 20: Gráficos estadísticos I
 Gráfico de barras, diagramas circulares,
 pictogramas 
Capítulo 21: Gráficos estadísticos II
 Histogramas 
Capítulo 22: Medidas de tendencia central
 Media, moda, mediana, promedio ponderado 
Capítulo 23: Combinaciones y permutaciones
 Variaciones 
Capítulo 24: Probabilidad
 Experimento aleatorio, probabilidad de un evento 
Actividad 19
Actividad 20
Actividad 21
Actividad 22
Actividad 23
Actividad 24
 
61
65
69
72
75
77
60
04
ESTADÍSTICAS Y 
PROBABILIDADES 
63
67
70
74
76
80
6 2
RELACIONES LÓGICAS Y NÚMEROS NATURALES
CAMÉLIDOS SUDAMERICANOS 
Del universo de los animales denominados camélidos sudameri-
canos (llama, alpaca, vicuña, guanaco) el guanaco se encuentra 
en peligro de extinción, sobre todo en el Perú. Es el ancestro de 
la llama, alpaca y guanaco modernos. Es silvestre igual que la 
vicuña.
- Busca características comunes entre el guanaco y la vicuña, en-
tre el guanaco y la llama, entre la llama y la alpaca y las carac-
terísticas comunes entre los cuatro camélidos. 
http://www.peruecologico.com.pe/fau_guanaco_1.htmAPRENDIZAJES ESPERADOS
Unidad
01
Torres del Paine National Park
Chaccu de vicuñas - Hu
ancavelica
Matematiza
situaciones
Comunica y
representa
Elabora y usa
estrategias
Razona y 
argumenta
• Reconoce el valor de 
verdad de proposicio-
nes lógicas.
• Interpreta datos a 
partir de inferencias 
deductivas.
• Convierte números de 
una base a otra.
• Representa en forma 
simbólica un enunciado.
• Escribe números natu-
rales en distintas bases.
• Utiliza las operaciones 
en N para comunicar 
resultados.
• Elabora estrategias 
para resolver problemas 
de relaciones de lógica. 
• Resuelve problemas de 
conteo de cifras.
• Usa diversas estrategias 
para resolver problemas 
con números naturales.
• Justifica el uso de las 
proposiciones lógicas.
• Argumenta la impor-
tancia del cambio de 
base y sus operaciones.
• Establece reglas para 
operar en N.
72
CONECTIVOS LÓGICOS
Una proposición es un enunciado que puede ser calificado como verdade-
ro o falso, y se puede representar por las letras p, q, r ...... llamadas variables. 
Ejemplo:
p: 2 + 7 > 5
q: 13 es un número primo 
p: (V)
q: (V)
r: (F)r: 2 + 7 > 5
Conectivos Lógicos
Análisis de lAs proposiciones compuestAs básicAs
 
CONJUNCIÓN (∧) 
 
"Andy es policía y estudia derecho"
p ∧ q
 
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabla de 
verdad de la 
conjunción
DISYUNCIÓN DÉBIL (∨) p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabla de 
verdad de la 
disyunción 
débil.
 
"Andy es policía o estudia derecho"
p ∨ q 
Términos usados Símbolo
Nombre del
Conectivo 
No es cierto que..... ∼ Negación
..... y ..... ∧ Conjunción
..... o ..... ∨ Disyunción Inclusiva
o bien ..... o bien ..... ∆ Disyunción Exclusiva
Si ..... entonces ⇒ Condicional
..... si y solo si ..... ⇔ Bicondicional
1. ENUNCIADO.
Es toda expresión que tiene 
sentido en un determinado 
contexto.
 Ejemplo:
• ¡Socorro!
• ¿Cómo te llamas? 
• Te extraño mucho
• Estudia para tu examen
• x + 5 = 8 
2. VALOR DE VERDAD.
Una proposición sólo puede 
ser falsa (F) o verdadera (V).
El calificativo falso o verda-
dero es el valor de verdad 
o valor veritativo de una 
proposición.
V(p) = V ← Valor de p es 
 verdadero.
V(q) = F ← Valor de q es 
 falso.
Ten Presente
2
¿Qué es una 
proposición?
Es imposible que tú 
no seas Marco.
¿?
01CAPÍTULO
I B
IM
ESTR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
8 2
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
1. PROPOSICIÓN SIMPLE Y 
COMPUESTA 
 Una proposición es simple si 
no tiene conectivos, en caso 
contrario es compuesta. 
 • p → q : compuesta
 • p ∨ q : compuesta
2. ESQUEMA MOLECULAR
La representación simbólica 
de una proposición com-
puesta se llama esquema 
molecular. 
Ten Presente
2
Datos
NEGACIÓN (∼)
La negación es un conectivo 
que cambia el valor de verdad 
de una proposición. 
∼ p:
No p
Es falso p
No es cierto que p
Disyunción fuerte:
p ∆ q ≡ ∼ (p ↔ q)
Condicional:
p → q ≡ ∼ p ∨ q
Leyes de Morgan:
∼(p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q
∼(p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q
Problema 1
Sean: p : 12 > 19
 q : 5 ≤ 5
Halla el valor de (p ∧ q) ∨ (q ∧ p)
Solución:
• V(p) = F y V(q) = V
• (p ∧ q) ∨ (q ∧ p) ≡ F
FF F V V F F
Rpta: F
CONDICIONAL (→) 
 
Si Andy es
policía
estudia 
derechoentonces
p → q 
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabla de 
verdad de la 
condicional
BICONDICIONAL (↔) 
 
 
Andy es
policía
estudia 
derechosi, y sólo si,
p ↔ q 
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Tabla de 
verdad de la 
bicondicional
Problema 2
Sean p: 5 < 8; q: 7 es par y r: 9 es 
primo. Determina el valor de ver-
dad de:
 [(p → q) ∧ r] ∨ (p ↔ r)
Solución:
• V(p) = V, V(q) = F y V(r) = F
[(p → q) ∧ r] ∨ (p ↔ r)
FF FF FV V F F
 Rpta.: F
Problema 3
Determina el valor de: (p → q) ∧ (∼ q ∨ p) 
para todas las combinaciones de valores 
de p y q. 
Solución:
Elaboramos la tabla de verdad del es-
quema.
p q (p → q) ∧ (∼ q ∨ p)
V V V V F V V
V F F F V V V
F V V F F F F
F F V V V V F 
 Rpta.: VFFV
Problema 4
Si el esquema (p ∧ q) → ∼ r es falso, deter-
mina el valor de (∼p ∆ r) ∨ [∼ (p ∧ q) → r]
Solución:
• 
V V
V
V
F
F
(p ∧ q) → ∼ r V(p) = V
V(q) = V
V(r) = V
 
• 
V V
V
V
F
(∼ p ∆ r) ∨ [∼ (p ∧ q) → r]
La disyunción es verdadera 
si uno de los términos es 
verdadero. 
Rpta: V
I 
B
IM
ES
TR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
92 
CAPÍTULO 01CONECTIVOS LÓGICOS
1 Son proposiciones lógicas.
 1) 5 > 8
 2) ¡Socorro!
 3) 1 + 2 + 3 + 4 = 10 
2 Determina el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones:
 p: 2 4 8 = 43 × × 
 q: 1+ 3 + 5 + 7 + 9 = 5 
 r: La suma de dos números siempre es impar.
3 Determina cuál o cuáles son proposiciones sim-
ples.
 a) Ángel es abogado.
 b) El cuadrado y el rombo son cuadriláteros.
 c) No es cierto que cero sea un número par.
4 Representa simbólicamente: 
 a) 15 es impar y múltiplo de 5.
 b) 18 es número par y primo.
 c) 35 no es par o es primo.
5 Si los valores de verdad de p, q y r son F, V y F, 
respectivamente. Halla el valor de verdad de los 
siguientes esquemas moleculares:
 (1) p → q (2) ∼q ↔ r (3) (p ∨ ∼r)
6 Si ∼p → q es falso determina el valor de p ∨ q. 
7 Clasifica los siguientes esquemas moleculares 
como tautológico (T), contingente (C) o contra-
dictorio (F).
 1. (∼p → q) ∨ (p ∨ q) 
 2. (p ∨ q) ∨ ∼q 
 3. (p ∨ ∼q) ∧ ∼p 
8 Si la proposición compuesta: ∼[(q ↔ r) ∧ ∼(r ∨ t)] 
es falsa, halla el valor de verdad de las proposi-
ciones: q, r, t, respectivamente.
9 Si la proposición p ∨ q es falsa, determina cuáles 
de las siguientes proposiciones son verdaderas.
 a) p ∧ q c) p ∧ ∼q
 b) ∼p ∨ q d) ∼(p → q) 
10 Si @ es un operador lógico definido mediante la 
tabla:
 
p q p @ q
V V
V F
F V
F F
V
V
F
V
 Determina el resultado de evaluar la proposi-
ción:
 ∼(p @ q) @ (p @ ~q)
Actividad 01
Problema 5
Indica el valor de verdad de las siguientes propo-
siciones:
I. (2 + 7 = 9) ∨ (6 – 2 = 5)
II. (4 – 3 = 2) ∨ (5 – 3 = 1) 
III. (4 + 4 = 8) ∨ (5 – 3 > 1)
IV. (2 × 6 = 12) ∨ (3 × 2 = 3) 
Solución:
I. (2 + 7 = 9) ∨ (6 – 2 = 5) ≡ V
 
II. (4 – 3 = 2) ⇒ (5 – 3 = 1) ≡ V
 
III. (4 + 4 = 8) ∧ (5 – 3 = 1) ≡ V
 
IV. (2 × 6 = 12) ⇔ (3 × 2 = 3) ≡ F
 Rpta.: VVVF
V F
F F
V V
V F
I B
IM
ESTR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
10 2
02CAPÍTULO NUMERACIÓN 
SISTEMA DE NUMERACIÓN
No podemos utilizar un símbolo di-
ferente para cada número, porque 
necesitaríamos infinitos símbolos, 
por lo que utilizamos combinacio-
nes de símbolos. 
0 1 2 43 5
6 7 8 109
Al último conjunto se le asigna, en 
lugar de un símbolo nuevo, la com-
binación de 1 y 0 (Base 10). 
Así, para representar los números, 
se ha creado un sistema de símbo-
los bajo tres principios (ver a la de-
recha), el cual se denomina Sistema 
de numeración. 
Datos
1. NUMERAL 
Representación simbólica de 
un número. 
• Sean: 
 
ab = 5⋅2 = 10
ab = 52
bb = 22
a = 5; b = 2
2. ORDEN
 
475 1° orden
2° orden
3° orden
El orden es el lugar que 
ocupa una cifra. Según el 
orden (según su posición en 
el numeral) la cifra tiene un 
valor relativo.
En 456
Representa
5⋅10 = 50
En 456(9) Representa
5⋅9 = 45
3. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
Todo numeral se puede ex-
presar como la suma de sus 
valores relativos. 
• 472 = 4⋅102 + 7⋅10 + 2
• 536(7) = 5⋅7
2 + 3⋅7 + 6
 ⇒ 536(7) = 272
Obsérvese que en base 7, el 
numeral 536 representa el 
número doscientos setenta y 
dos en base 10. 
536(7) se lee "cinco tres seis 
en base siete". 
Para Dila, Solú, ... creo que 
no va alcanzar ¿Cuál es la diferen-
cia entre número y 
numeral?
PRINCIPIOS DEL SISTEMA DE 
NUMERACIÓN 
1. De la base
Cuando la base es 10, con 10 
unidades se forma una decena, 
unidad de 2° orden. 
Si la base es 5, con cinco unida-
des se forma una unidad de 2° 
orden.
10(5)
"La base siempre es un número 
natural mayor que 1"
2. De la cifra
Para escribir en base n se usan 
n cifras,todas menores que la 
base: 
 
0; 1; 2; 3; ... ; n – 1
cero cifras significativas
3. Del valor relativo
En 4272 Representa 2
Representa 200
Aparte de su figura (valor absoluto) 
la cifra tiene un valor (valor relati-
vo) por su ubicación en el numeral. 
I 
B
IM
ES
TR
E
CUATROCUATRO 4
Para contar objetos los hacemos co-
rresponder con elementos conoci-
dos, (dedos de la mano), a los que 
damos nombres (cero, uno, dos, ...) 
y símbolos (0; 1; 2; ...) los cuales for-
man el conjunto de los números na-
turales, representado por N: 
N = {0; 1; 2; 3; ... ; +∞}
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
112 
CAPÍTULO 02NUMERACIÓN
ObservaciónObservación
• La cifra es siempre menor 
que la base. A lo más es 
menor en 1 a la base. 
• La enumeración de las cifras 
es de izquierda a derecha, lo 
contrario del orden, que es 
de derecha a izquierda. 
4762
1° cifra
2° cifra
3° cifra
4° cifra
1° orden
2° orden
3° orden
4° orden
Problema 1
Escriba los 15 primeros números naturales distintos de cero en base 3. 
Solución:
1 ; 2 ; 10(3) ; 11(3) ; 12(3) ; 20(3) ; 21(3 ); 22(3) ; 100(3) ; 101(3 ); 102(3) ; 
110(3) ; 111(3 ); 112(3) ; 120(3).
CAMBIO DE BASE
De base 10 a base n (n ≠ 10) 
• Escribamos 30 en base 4
 
30 = 132(4)
1
3
2
 En forma práctica: 
 
30 = 132(4)
30 4
47
3 1
2
De base n a base 10 (n ≠ 10) 
• Escribamos 132(4) en base 10.
Representa 2
Representa 3⋅4
Representa 3⋅42 
 ⇒ 132(4) = 1⋅4
2 + 3⋅4 + 2 = 30
• Escribamos 2504(6) en base 10.
 2504(6) = 2⋅6
3 + 5⋅62 + 4
 2504(6) = 432 + 180 + 4 = 616
 ∴ 2504(6) = 616
Problema 2
Si a50(b), x6y(a) y b36(9) están co-
rrectamente escritos, calcula a + b.
Solución:
a50(b) , x6y(a) , b36(9)
a < b 6 < a b < 9
6 < a < b < 9 ⇒ a + b = 15
7 8
Rpta.: 15
Problema 3
Un numeral de dos cifras de la 
base 10 invierte sus cifras cuando 
se lo escribe en base 7. Identifica 
este numeral. 
Solución:
• ab = ba(7)
 10a + b = 7b + a
 9a = 6b ⇒ 
a
b
 = 
2
3
 = 
4
6
∴ab = 23; 46
Rpta.: 23 o 46
Problema 4
Calcula a + b + c si ab5 = cc6c(7). 
Solución:
ab5 = c⋅73 + c ⋅72 + 6⋅7 + c
ab5 = 393c + 42 (1)
...5 ...2
393c debe terminar en 3 ⇒ c = 1 
En(1): ab5 = 393(1) + 42 = 435
∴ a + b + c = 4 + 3 + 1 = 8
Rpta.: 8
NUMERAL CAPICÚA
Es aquel cuyas cifras equidis-
tantes de la central son iguales: 
• 747 • abba
• aba • abcba
Datos
I B
IM
ESTR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
12 2
CAPÍTULO 02 NUMERACIÓN
1 Si un número de dos cifras es igual a 5 veces su 
cifra de unidades, calcula la suma de sus cifras.
2 Calcula a + b si 5ab = 1ab 
3 Indica el o los numerales mal escritos.
 1. 28(3) 3. 2222(9)
 2. 126(5) 4. 761(8)
4 Ordena de mayor a menor los siguientes núme-
ros:
 1. 34(8) 2. 45(6) 3. 1101(2)
5 Indica si es verdadero (V) o falso (F).
 1. 32(6) < 33(7) ( )
 2. 43(5) > 44(6) ( )
 3. 71(8) > 72(9) ( )
6 Halla los valores de a, b, c y d si los siguientes 
números están bien escritos. Da como respuesta 
la suma de ellos.
 a1(b) ; b1(d) ; 2d3(c) ; c1(5)
7 Halla el valor de "x" en:
421(x) = 133(9) 
8 Si 203(m) = 120(m + 1)
 calcula "m" 
9 Calcula el valor de c + b + n en:
346(n) = 2bc(8) 
10 Halla "a" si:
43 = 1aa(6) 
Actividad 02
Problema 5
Si ab = 1
3
 (1ab), calcula a × b.
Solución:
3ab = 100 + ab
2ab = 100 ⇒ ab = 50
a = 5 ∧ b = 0
∴ a × b = 0
Rpta.: 0
Problema 7
Si a2b(9) = a72(n) , halla el valor de a×b×n.
Solución:
De la expresión: a72(n) ⇒ 7 < n < 9 ⇒ n = 8
⇒ a2b(9) = a72(8)
81a + 18 + b = 64a + 56 + 2
17a + b = 40 ⇒ a = 2; b = 6 
∴ a×b×n = 96
Rpta.: 96 
Problema 6
Calcula "x" en abcd(x) si el máximo valor de 
a + b + c + d es 88.
Solución:
a = b = c = d = x – 1
⇒ 4(x – 1) = 88
 x – 1 = 22 ⇒ x = 23
∴ x = 23
Rpta.: 23
Problema 8
Si 123 = aaabc3, halla a + b + c. 
Solución:
123 en base 3
 
 ⇒ 123 = 111203 = aaabc3
 ∴ a + b + c = 3
 Rpta.: 3
123 3
0 41 3
2 13 3
1 4 3
1 1
I 
B
IM
ES
TR
E
132
CONTEO DE NÚMEROS Y CIFRAS
método combinAtorio
¿Cuántos numerales de tres cifras de la base 8 
poseen todas sus cifras impares?
Supóngase que a = 1 y b = 1, entonces c pue-
de tomar los valores impares del 1 al 7. Así se 
forman los numerales 111, 113, 115 y 117, cua-
tro numerales. Para a = 1 y b = 3, nuevamente c 
toma 4 valores y se forman 131; 133; 135 y 137. 
Por lo tanto por cada valor de b, c toma 4 valo-
res. Pero mientras a permanece como 1, b puede 
tomar 4 valores, entonces se forman 4⋅4 = 16 
números. Pero a también puede tomar 4 valores, y como por cada valor de a 
hay 16 numerales, entonces, en total se forman 4 ⋅16 = 64 numerales. Observa 
el esquema de la derecha.
Problema 1
¿Cuántos numerales de tres cifras no usan 
cifra 2 ni 3 en su escritura? 
Solución:
El numeral es de la forma abc, donde a, b 
ni c no pueden tomar valores 2 ni 3.
a b c 
1 0 0
4 1 1 
5 4 4
   
9 9 9
7·8·8 = 448 Rpta.: 448
cifrAs condicionAles
¿Cuántos numerales tienen la forma a(b + 2)(a – 2)b?
Obsérvese que a no puede ser 1. De lo contrario la 
tercera cifra resultaría negativa. 
Por su parte, b no puede ser 8. De lo contrario la se-
gunda cifra resultaría 10.
Por lo tanto, los números de esta forma son los que 
se forman con los valores admisibles de a y b. 
¿Cuántas parejas di-
ferentes se forman 
con 4 hombres y 6 
mujeres?
La mayoría de danzas 
se practica en parejas. 
Cada pareja es una 
combinación de un 
hombre y una mujer. 
En la base 8 hay 64 
numerales con todas 
sus cifras impares.
a b c(8) 
1 1 1
3 3 3 
5 5 5
7 7 7
4·4·4 = 64
⇒ son 8⋅8 = 64
a(b + 2)(a – 2)b
2
3 
4

9
0
1 
2

7
8 × 8
Danza típica de Huaytará - Huancavelica
CANTIDADES DE NUMERALES 
DE 3 CIFRAS QUE UTILIZAN AL 
MENOS UNA CIFRA 2
1. Todos los numerales de 3 
cifras.
 
a b c 
1 0 0
2 1 1 
   
9 9 9
9·10·10 = 900
2. Numerales de 3 cifras que 
no utilizan cifra 2: 
 
a b c 
1 0 0
3 1 1 
   
9 9 9
8·9·9 = 648
3. Numerales de 3 cifras que 
utilizan al menos una cifra 2: 
 900 – 648 = 252
4. Números capicúas de 4 cifras 
existentes en el sistema 
decimal:
 a b b a 
1 0
2 1
  
9 9
9·10 = 90
Ten Presente
2
03CAPÍTULO
I B
IM
ESTR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
14 2
CAPÍTULO 03 CONTEO DE NÚMEROS Y CIFRAS
ObservaciónObservación
Para saber cuántos números 
hay entre 400 y 900, se suele 
restar 900 – 400 = 500.
Pero no es correcto. Observa: 
del 1 al 900
del 1 al 399 del 400 al 900
1; 2; 3; ...; 399; 400; ...; 900
• Del 1 al 900: 900 #s
 Del 1 al 399: 399 #s
⇒ del 400 al 900: 900 – 399
 = 501 #s 
Resulta 501, y no 500 como 
parecía al principio. 
Entonces, no se resta el último 
menos el primero, sino, el 
último menos el anterior al 
primero. 
Problema 2
¿Cuántos números capicúas pares de 5 
cifras tienen su cifra central impar? 
Solución:
Los números son de la forma:
a b c b a 
impar
par
2 0 1
4 1 3 
   
8 9 9
5·10·5 = 250 numerales
 Rpta.: 250
numerAles de cifrAs diferentes
¿Cuántos numerales de 3 cifras poseen cifras impa-
res y diferentes entre sí?
Supóngase que a = 1, entonces b ya no puede ser 
1, entonces será 3. Si a = 1 y b = 3, entonces c solo 
puede ser 5 y 7.
Se deduce que a puede tomar 4 valores, pero una 
vez que a toma 1 valor, para b sólo quedan 3. Si a 
toma un valor y b, otro, para c quedan sólo 2 valo-
res, o sea siempre uno menos. 
Problema 3
¿Cuántos números de tres cifras tienen 
exactamente dos cifras iguales? 
Solución:
• Todos los números de tres cifras son: 
 
100; 101; 102; ...; 999 son 900
999 – 99 = 9000
• Tienen las tres cifras iguales: 
 111; 222; 333; ... ; 999 son 9
• Tienen todas sus cifras dife-
rentes. 
a b c
9·9·8 
648 
(a = 1; 2; ...; 9)
(b = 0; 1; 2; ...; 9)
(c = 0; 1; 2; ...; 9)
• Tienen exactamente dos ci-
fras iguales:
 900 – 9 – 648 = 243 
 Rpta.: 243
conteo de cifrAs¿Es posible averiguar cuántas cifras se utiliza al escribir del 1 al 700?
Total:
9 + 180 + 1803 = 1992 
Se usa 1992 cifras 
1; 2; 3; ... ; 9; 10; 11; ... 99; 100; 101; ...; 700
de 1 cifra
9 números 
9 cifras 
99 – 9 = 90 #s 
90⋅2 = 180 cifras 
700 – 99 = 601 #s 
601⋅3 = 1803 cifras 
de 2 cifras de 3 cifras
En forma práctica se puede usar la siguiente fórmula:
N: último número 
n : número de cifras de N 
Cant. cifras(1 – N) = n(N + 1) – 111...11
n cifras
Hay 24 numerales 
de 3 cifras impa-
res y diferentes.
a b c
4·3·2 = 24
(a ≠ b ≠ c)
I 
B
IM
ES
TR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
152 
CAPÍTULO 03CONTEO DE NÚMEROS Y CIFRAS
1 ¿Cuántos números capicúas de tres cifras hay en 
el sistema quinario?
2 ¿Cuántos números de la forma a(2a)b(b – 3) exis-
ten? 
3 ¿Cuántos números de cuatro cifras empiezan 
con cifra par y terminan en 38?
4 ¿Cuántos números impares de tres cifras en 
base 8 no poseen cero en su escritura?
5 ¿Cuántos números de tres cifras existen en el 
sistema decimal?
6 ¿Cuántos números de cuatro cifras, todas impa-
res, existen en el sistema octal?
7 ¿Cuántos números impares capicúas de cuatro 
cifras existen en el sistema decimal? 
8 ¿Cuántos números de cuatro cifras existen en la 
base 6?
9 ¿Cuántos números de tres cifras no utilizan la 
cifra "4" en su escritura?
10 ¿Cuántos números capicúas de cuatro cifras 
existen en el sistema de base 8? 
Actividad 03
Problema 4
¿Cuántas cifras se utiliza al escribir de 400 a 1500? 
Solución:
 Rpta.: 3804
Cant. cifras(400 – 1500) 
 = 4893 – 1089 = 3804 1; 2; 3; ... ; 399; 400; 401; ...; 1500
Cant cifras = 4(1500 + 1) – 1111 = 4893
Cant cifras = 3(399 + 1) – 111 = 1089 Cant cifras (400 – 1500)
Problema 5
¿Cuántos números de 4 cifras existen en el sistema 
de base 8?
Solución:
a b c d(8) 
2 0 0 0
3 1 1 1 
    
7 7 7 7
7·8·8·8 = 3584 números
Rpta.: 3584
Problema 6
¿Cuántos números de 4 cifras comienzan y termi-
nan en 7?
Solución:
Rpta.: 100
7 a b 7
0 0
1 1
2 2 
  
9 9
 10·10 = 100 números
I B
IM
ESTR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
16 2
04CAPÍTULO OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS I
sucesión AritméticA
Estos son los números impares. Au-
mentando dos esferas, una en cada 
extremo de la escuadra, podemos 
seguir dibujando la secuencia infini-
tamente. 
Las esferas forman una sucesión gráfica, y los números, una sucesión numé-
rica. Las sucesiones numéricas son muy diversas, aquí trataremos la suce-
sión aritmética. 
Una sucesión aritmética es un conjunto de números, llamados términos, 
en el que, dado el primero, cada término siguiente se obtiene sumando al 
anterior un mismo número llamado razón. 
fórmulA de recurrenciA o término generAl 
• Como va de 4 en 4 (razón), el 
 término general contiene 4n.
• Para n = 1 debe producir 7, 
 entonces es 4n + 3. 
El término general se denota por tn, en este caso tn = 4n + 3. 
Para n = 1 debe resultar 7. En efecto, t1 = 4(1) + 3 = 7
Para n = 3 debe resultar 15. En efecto, t3 = 4(3) + 3 = 15
Para calcular el número de términos de la sucesión nos preguntamos, para 
qué valor de n resulta 195:
4n + 3 = 195 ⇒ n = 48 (tiene 48 términos)
Problema 1
¿Cuántos términos de la sucesión 
3; 12; 21; 30; ..., tienen 3 cifras? 
Solución:
• Término general: tn = 9n – 6 
• Tienen n 3 cifras:
100 ≤ 9n – 6 < 1000
mín = 12 máx = 111
∴ Hay 111 – 11 = 100 términos 
 Rpta.: 100
¿La suma es siem-
pre mayor que las 
partes?
Pachapupo - Ayacucho
ADICIÓN
Con el paso del tiempo 
la naturaleza construye 
maravillas, molécula por 
molécula. 
Dada la sucesión aritmética: 
t1, t2, t3, ... tn
r r
• Término anterior al primero
 t0 = t1 – r
• Término general
 tn = rn + t0
• Número de términos: 
 
n = 
tn – t1 
r + 1 o
n = 
tn – t0 
r 
Datos
1 3 5 7
7; 11; 15; 19; ... ; 195
1° término
último 
término
razón
número de 
términosn 
4 4 4 
I 
B
IM
ES
TR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
172 
CAPÍTULO 04OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS I
serie AritméticA
7 + 11 + 15 + ... + 187 + 191 + 195
202
202
202
48 términos
• Los términos de la sucesión están expresados en forma de adición. 
• Obsérvese que los términos equidistantes suman la misma cantidad. 
Con los 48 términos, emparejando los equidistantes, se forman 24 parejas, y 
como cada una suma 202, la suma total es 24⋅202 = 4848.
Una serie aritmética es la adición de los términos de una sucesión aritmé-
tica: 
 
t1 + tn + t3 + ... + tn = 
n(tn + t1) 
2
r r
Problema 3
A esta serie se le va adicionando 
términos hasta que la suma supe-
re a 1000 por primera vez.
9 + 17 + 25 + 33 + ...
¿Cuál es el último número que se 
adiciona? 
Solución:
• Término general: tn = 8n + 1
• Suma: 
n(tn + t1)
2 ≤ 1000 
 ⇒ n(8n + 1 + 9)
2
 ≤ 1000
 
n(4n + 5) ≤ 1000
15
∴ El último término es:
 t16 = 8(15) + 1 = 121
 Rpta.: 121
Problema 4
Calcula la suma de los 20 prime-
ros términos de 12; 15; 18; 21; ..., 
que terminen en 4. 
Solución:
• Término general: tn = 3n + 9
• Termina en 4: 3n + 9 = 4
...9 
 ⇒ 3n = ...5 
 ⇒ n = 5; 15; 25; ...; (10k – 5)
Donde k = 1; 2; 3; ... ; 20
• tk = 3(10k – 5) + 9
 
t k
t
tk
= − ⇒
=
=



30 6
24
594
1
20
∴ = + =S 20 594 24
2
6180
( )
 Rpta.: 6180
Problema 2
Calcula la suma de los 20 primeros múltiplos positivos de 6. 
Solución:
• S = 6 + 12 + 18 + ... + t20 • tn = 6n ⇒ t20 = 6(20) = 120
∴ =
+
⇒ = + =S
n t t
Sn
( ) ( )1
2
20 120 6
2
1260 Rpta.: 1260
1. Sumatoria de los "n" prime-
ros números naturales. 
Ejemplo:
1 + 2 + 3 ...+ 70 = 70⋅71
2
 = 2485
2. Suma de los "n" primeros 
números pares. 
Ejemplo:
2 + 4 + 6 + .... + 20 = 10⋅11 = 110
Obsérvese: 2n = 20 → n = 10
3. Sumatoria de los "n" prime-
ros números impares. 
Ejemplo:
1 + 3 + 5 + .... + 37 = 192
4. Sumatoria de los "n" prime-
ros cuadrados perfectos. 
Ejemplo:
12 + 22 + 32 ...+ 202 = 20⋅21⋅41
6
5. Sumatoria de los "n" prime-
ros cubos perfectos. 
Ejemplo:
13 + 23 + 33...+ 103 = (10⋅11)
2
 
2
1 + 2 + 3 ...+ n = n(n + 1)
2
 
2 + 4 + 6 + .... + 2n = n(n + 1)
1 + 3 + 5 + .... + (2n – 1) = n2
12+22...+ n2 = n(n+1)(2n+1)
6
 
13 + 23 ...+ n3 = n(n + 1)
2
 
2
Ten Presente
2
I B
IM
ESTR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
18 2
CAPÍTULO 04 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS I
1 ¿Cuál es el primer término de la siguiente suce-
sión, que termina en cifra 7?
 10; 13; 16; 19; ...
2 ¿Cuál es el mayor término de dos cifras en la su-
cesión:
 5; 11; 17; 23...?
3 En la siguiente sucesión determina la suma de 
los dos primeros términos que terminan en 5: 
 11; 17; 23; 29; 35; ... 
4 ¿Cuál es el mayor número de tres cifras de la 
sucesión: 
 5; 11; 17; 23; ...? 
5 Determina el 15 término de la sucesión:
 20; 33; 46; 59; ... 
6 ¿Cuántos términos tiene la P.A
 4; 13; 22; 31; ... ; 265? 
7 ¿Cuántas cifras se emplean en la sucesión:
 27; 31; 35; 39; ... ; 95?
8 Halla el número de términos de la sucesión: 
 5; 7; 9; 12; ... ; 331
9 En un aula de 20 alumnos el profesor de aritmé-
tica regala caramelos de la manera siguiente: al 
primer alumno le da 1, al segundo 3; al tercero 
5; al cuarto 7, y así sucesivamente. ¿Cuántos ca-
ramelos reparte en total?
10 Si la suma de 15 términos de una P.A. 825, halla 
la suma de los 13 términos centrales. 
Problema 5
Halla la suma de la serie
S = 1 + 7 + 13 + 19 + 35 + ... + 115
Solución:
Hallando el número de términos
n = 
tn – t0
r ⇒ n = 
115 – (–5)
6
 = 20
Hallando la suma:
S = 
n(t1 – tn)
2 ⇒ S = 
20(1 + 115)
2
∴ S = 1160
Rpta.: 1160
Problema 7
¿Cuántos términos tiene la P.A.
4; 11; 18; 25; 32; ... 137?
Solución:
tn = 7n – 3 = 137
 7n = 140
∴ n = 20
Rpta.: 20
Problema 8
¿Cuál es el mayor número de tres cifras de la sucesión
8; 11; 14; 17 ... ?
Solución:
tn = 3n + 5
⇒ 3n + 5 < 1000
 3n < 995 ⇒ n < 331
∴ El mayor es: 3(330) + 5 = 995 Rpta.: 995
Problema6
Si 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 625, halla la suma de cifras 
de:
S = 1 + 2 + 3 + ... + n
Solución:
Siendo: 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 625 
 (1 + 2 + 3 + ... + n)2 = 525
 (1 + 2 + 3 + ... + n) = 25
∴ ∑ cifras es: 2 + 5 = 7
Rpta.: 7
Actividad 04
I 
B
IM
ES
TR
E
192
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS OPERACIONES CON NÚMEROS 
ENTEROS II
• La sustracción tiene tres términos, 
los que se nombran en el ejemplo. 
• La diferencia es tal que sumada con el 
sustraendo resulta igual al minuendo. 
350 – 40 = 10 Diferencia
SustraendoMinuendo
propiedAdes de lA sustrAcción
1. Si M – S = D ⇒ M + S + D = 2M 2. Si abc – cba = xyz ⇒ y = 9 
x + z = 9
Problema 1
La suma de los tres términos de 
una sustracción es 360. Si la dife-
rencia excede en 50 al sustraendo, 
calcule la diferencia. 
Solución:
• M + S + D
2M
 = 360 ⇒ M = 180
• 180 + S + D = 360 
 ⇒ S + D = 180 (1) 
• Dato: D – S = 50 (2) 
(1) + (2): 2D = 180 + 50 ⇒ D = 115
 Rpta.: 115
Problema 2
Calcula el mayor valor de abc, si 
abc = cba + (2n)xn y a es par. 
Solución:
• De la igualdad: 
 
 
x = 9
2n + n = 9
⇒ n = 3
abc – cba = (2n)xn
• abc
cba
693
c + 10 – a = 3
 a – c = 7
8 1
Par
⇒ abc = 8b1 = 891
máx = 9
 Rpta.: 891
complemento Aritmético (cA)
El complemento aritmético de un número entero positivo es la cantidad 
de unidades que le falta para igualar a una unidad de orden inmediato 
superior a su cifra de mayor orden. 
Para 432, la cifra 4 es de centenas. El siguiente orden es el millar, entonces el 
C.A. de 432 es lo que le falta para igualar a 1000: 
CA(432) = 1000 – 432 = 568 
Pampamarca - Ayacucho
SUSTRACCIÓN 
Por erosión diferencial, el 
agua se lleva las partes 
más débiles y forma admi-
rables paisajes con el resto.
ObservaciónObservación
El CA de un número se calcula 
restando de 10 su primera cifra 
significativa y de 9, las demás 
cifras. 
• CA(5620) = (9 – 5)(9 – 6)(10 – 2)0 
 CA(5620) = 4380
• CA(abc) = (9 – a)(9 – b)(10 – c)
 (c ≠ 0)
¿El complemento 
aritmético del comple-
mento aritmético de un 
número siempre es el 
mismo número?
Si: ab –
ba 
xy 
 
 
⇒ x + y = 9
Donde: b < a
Si: a b c –
c b a 
xyz 
 
 
⇒ x + z = y = 9 
Donde: c < a
También: a – c = x + 1
Ten Presente
2
05CAPÍTULO
I B
IM
ESTR
E
20 2
CAPÍTULO 05 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS II
Problema 3
Si ab + CA(ba) = 37, calcule b – a.
Solución:
ab + (100 – ba) = 37
 ba – ab = 63
 9(b – a) = 63 ⇒ b – a = 7
 Rpta.: 7
Problema 5
Calcula a + b + c, si CA(abb) = ca7. 
Solución:
b = 3
 ca7
 abb
1000
a = 6
 ca7
 a33
1000
c = 3
 c67
 633
1000
∴ a + b + c = 6 + 3 + 3 = 12
 
 Rpta.: 12
Actividad 05
1 La suma de los términos de una sustracción es 
124. Si el sustraendo es 30 veces la diferencia, 
halla la diferencia.
2 Si 4ab – 23a = 199, halla a + b.
3 Si CA (a37) = 7bc , halla a + b + c. 
4 Si abc – cba = 4xy ,
 halla el máximo valor de x + y.
5 Halla a×b, sabiendo que:
 CA(ab ) + CA(1ab ) = 892
6 Si la primera cifra del número 3ab se coloca al 
último, el nuevo numeral es mayor en 81 al nu-
meral inicial. Halla a + b. 
7 En una sustracción el minuendo aumenta en 115 
y el sustraendo disminuye en 210. ¿En cuánto 
varía la diferencia? 
8 El complemento aritmético de un número de 
tres cifras, que termina en 2, es otro número de 
tres cifras que empieza en 47. ¿Cuál es la suma 
de cifras del primer número?
9 Halla un número de 3 cifras, cuyo complemento 
aritmético es igual a la suma de sus cifras. Da 
como respuesta el complemento aritmético del 
número.
10 Halla a + 3b, si a7b – b7a = 19x y a + b + x = 12.
 
Problema 4
La suma de los tres términos de una sustracción es 
36. Halla el minuendo.
Solución:
S + M + D = 36
2M = 36
∴ M = 18
Rpta.: 18
Problema 6
Si a un número de tres cifras se le disminuye en su 
C.A. se obtiene 678. Halla el número.
Solución:
C.A. (N)= 1000 – N 
Por datos:
N – (1000 – N) = 678
 2N = 1678 ⇒ N = 839
∴ El número es: 839
Rpta.: 839 
I 
B
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TR
E
212
OPERACIONES CON NÚMEROS 
ENTEROS III
• La multiplicación se puede con-
cebir como una adición de su-
mandos iguales. 
7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5×7 = 35
5 sumandos
Multiplicador
Producto
Multiplicando
productos pArciAles
Cuando se multiplican números de varias ci-
fras, el multiplicando se multiplica por cada 
una de las cifras del multiplicador, denomi-
nándose a los resultados, productos parcia-
les. La suma de éstos es el producto. 
Problema 1
Al multiplicar un número de 
3 cifras por 74, un estudiante 
comete el error de sumar los 
productos parciales sin co-
rrer a la izquierda el segundo 
producto parcial, y obtiene 
4158. Encuentra el resultado 
correcto. 
Solución:
• abc
 74
4⋅abc 
7⋅abc
1° Producto parcial
2° Producto parcial
⇒ 4(abc) + 7(abc) = 4158 ⇒ abc = 378
∴ 378⋅74 = 27972
 Rpta.: 27972
DIVISIÓN
60
4 8
⇒ 60 = 7⋅8 + 4 
7
DivisorDividendo
Resto por 
defecto
Cociente 
por defecto
60
3 9
⇒ 60 = 7⋅9 – 3 
7
DivisorDividendo
Resto por 
exceso
Cociente 
por exceso
Cuando dividimos 60 entre 7 buscamos un número entero cuyo producto con 
7 sea 60. Pero al no encontrarlo, buscamos que el producto sea cercano a 60.
El número entero cuyo producto con el divisor es igual o cercano al dividen-
do se llama cociente. La diferencia entre dicho producto y el dividendo se 
llama resto o residuo. 
MULTIPLICACIÓN
Los cuyes son 
mamíferos do-
mésticos que 
se multiplican 
con mucha 
rapidez. 
1. Hay varias formas de repre-
sentar la multiplicación. 
 a×b = a⋅b = ab = (a)(b)
 7×8 = 7⋅8 = 7(8) = (7)(8)
2. La división también se pue-
de presentar por: 
 a÷b = a/b = a 
b
 15÷3 = 15/3 = 15 
3
 = 5
Ten Presente
2
 abc
 xy
 abc⋅x
 abc⋅y
Producto
1° Producto parcial
2° Producto parcial
¿El producto de dos 
números positivos 
siempre es mayor 
que sus factores?
06CAPÍTULO
I B
IM
ESTR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
22 2
CAPÍTULO 06 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS III
División de un entero negativo
• Por defecto:
 ⇒ –40 = 7(–6) + 2
–40
2 –6
7
• Por exceso: 
 ⇒ –40 = 7(–5) – 5
–40
5 –5
7
Ten Presente
2
7⋅8 7⋅94
7
3
60
Resto por 
defecto
Resto por 
exceso
Se puede acercar al dividendo por la iz-
quierda o por la derecha. De esta forma 
hacemos que todos los términos sean en-
teros. Una división así se denomina divi-
sión entera. 
clAses de división enterA
Según el residuo la división es exacta si el residuo es cero e inexacta si el 
residuo es mayor que cero. 
División exacta (r = 0) 
D
0 q
d ⇒ D = dq
División inexacta (r ≠ 0) 
D
r q
d ⇒ D = dq + r
División inexacta
Cuando la división es inexacta se puede efectuar de dos maneras:
División inexacta por defecto 
D
r q
d ⇒ D = dq + r
 
División inexacta por exceso 
D
re qe
d ⇒ D = dqe – re 
Propiedades: 
• r < d • qe = q + 1
• r + re = d • Residuo 
máximo = d – 1
mínimo = 1
 
Problema 2
Dos números que suman 126 se 
dividen entre el mismo divisor. La 
primera división da 8 de cociente 
y 4 de residuo, y la segunda, 9 de 
cociente y 3 de residuo. Halla la 
diferencia de los números.
Solución:
• 
⇒ A = 8d + 4 B = 9d + 3
A
4 8
d B
3 9
d
• (8d + 4) + (9d + 3) = 126
 17d = 119 ⇒ d = 7
• A = 8(7) + 4 = 60 
• B = 9(7) + 3 = 66
∴ B – A = 66 – 60 = 6 
 Rpta.: 6
Problema 3
Encuentra el menor y el mayor 
número que se debe agregar al 
dividendo de una división de di-
visor 30 y residuo 12, para que el 
cociente aumente en 1. Dé como 
repuesta la suma.
Solución:
El residuo a lo más 
es 29. Entonces lo 
máximo que se pue-
de agregar a 12 sin que varíe el 
cociente es 29 – 12 = 17.
• Si agregamos 18 el cociente au-
menta en 1 ⇒ 18 es lo mínimo 
que se agrega para aumentar 
en 1 el cociente. 
• Una vez aumentado en 1 el co-
ciente, podemos aumentar el 
resto hasta 29.
 ⇒ máximo es 18 + 19 = 47
∴ 17 + 47 = 64 
 Rpta.: 64
D
12 q
30
I 
B
IM
ES
TR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS232 
CAPÍTULO 06OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS III
1 Si abc × 16 = 7248, 
 halla a + b + c.
2 Si ab × a = 511
 ab × b = 219,
 halla ab × ba
3 Al multiplicar un número de tres cifras por 68 se 
observa que la suma de los productos parciales 
resulta 6664. ¿Cuál es la suma de cifras del nú-
mero? 
4 Halla un número que al dividirse entre otro da 
32 de cociente y un residuo máximo de 21.
5 En una división inexacta el divisor es 35, el co-
ciente, 15 y el residuo, 20. ¿Cuánto se debe adi-
cionar como mínimo al dividendo para que el 
residuo sea máximo? 
6 La suma de los términos de una división inexac-
ta es 93, siendo el divisor 7 y el cociente la suma 
del divisor y el residuo. Halla la suma de cifras 
del dividendo.
7 El producto de dos números naturales es 72 y la 
suma de los mismos, 22. Halla la diferencia de 
dichos números.
8 El número formado por 45 cifras 3 se multiplica 
por 6. ¿Cuál es la suma de cifras del producto?
9 Al multiplicar un número por 13, la diferencia de 
los productos parciales es 560. Halla el número.
10 Las divisiones que se muestran se realizaron por 
defecto y por exceso. Halla p + q
A 43
P 18
A 43
32 q
Por defecto Por exceso
Actividad 06
Problema 4
Halla A + N + x si ANA × A = xxx9
Solución:
A × A = .....9
Entonces: A = 3 ó 7
A = 3
3N3 × 3 = xxx9 ⇒ 3 × 3 = xx
Solo si x = 1 ⇒ 3N3 × 3 = 1119 = 3 × 373 ⇒ N = 7 
Si A = 7, no hay solución
∴ A + N + x = 3 + 7 + 1 = 11 
 Rpta.: 11
Problema 6
Si a6b ÷ 7 = 123, halla a × b.
Solución:
a6b ÷ 7 = 123
⇒ a6b = 7 × 123
 a6b = 861
⇒ a = 8 ∧ b = 1
∴ a × b = 8 × 1 = 8 Rpta.: 8
Problema 5
Al dividir 4ab entre ab se obtiene 12 de cociente y 
4 de residuo. Halla "a + b".
Solución:
4 ab
4 12
ab
⇒ 4ab = 12 × ab + 4
 400 + ab = 12 ab + 4 
 396 = 11 × ab ⇒ ab = 36
∴ a + b = 9
 Rpta.: 9
Problema 7
¿Cuántos números de dos cifras divididos entre 15 
dejan un residuo máximo?
Solución:
ab = 15q + 14
ab < 100
15q + 14 < 100 ⇒ q < 5,7 ⇒ q = 1; 2; 3; 4; 5
∴ Hay 5 números
 Rpta.: 5 
I B
IM
ESTR
E
24 2
Unidad
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS
ANIMALES LONGEVOS 
La mayoría de los animales envejecen más rápido que los seres 
humanos. Al igual que en nosotros el tiempo de vida de los ani-
males depende de la nutrición, el ejercicio y la salud que tuvieron 
en las distintas fases de su vida. 
El animal más longevo es la tortuga de Galápagos (193 años), 
seguida de la ballena boreal (150 años), la tortuga común (123 
años), el loro amazónico (80 años), elefante (70 años), camello y 
guacamayo (50 años), el burro (45 años).
- ¿Los animales en cautiverio viven tanto como los que viven 
en libertad? ¿Por qué? 
http://www.lareserva.com/home/cuanto_viven_los_animales 
APRENDIZAJES ESPERADOS
Matematiza
situaciones
Comunica y
representa
Elabora y usa
estrategias
Razona y 
argumenta
• Identifica los principios 
y criterios de divisibi-
lidad
• Reconoce cuándo un 
número es primo o 
compuesto.
• Compara fracciones y 
opera con ellas.
• Describe los principios 
y criterios de la divisibi-
lidad.
• Elabora una lista de 
números primos.
• Representa en esque-
mas el MCM y MCD.
• Realiza ejercicios y pro-
blemas de divisibilidad. 
• Resuelve problemas de 
MCD y MCM.
• Emplea diversas estra-
tegias para operar con 
fracciones.
• Argumenta el uso de los 
criterios de divisibilidad.
• Justifica el uso del 
MCD y MCM al resol-
ver problemas.
• Propone ejemplos de 
operaciones con frac-
ciones.
Unidad
02
252
PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD 
El número 35 es divisible entre 7, y 7 es divi-
sor de 35, porque la división de 35 entre 7 es 
exacta. 
Además, 35 = 7⋅5, por lo que se dice que 35 es 
múltiplo de 7, y que 7 es factor de 35, lo que se 
denota así: 35 = 7 : "35 múltiplo de 7".
Pero un número no siempre es divisible entre 
otro. Por ejemplo, 38 no es divisible entre 7, sin 
embargo, 38 se puede expresar como 35 + 3 o 
42 – 4, esto es: 38 = 7 + 3 ∨ 38 = 7 – 4.
principios fundAmentAles de lA divisibilidAd
1. 
6 6 6
18 + 30 = 48
  
n + n + n + ... + n = n n – n = nTambién
Problema 1
Calcula el resto de dividir:
3 + 93 + 993 + 9993 + ... + 99...93
26 cifras
entre 9. 
Solución:
9 9 9
3 + (90 + 3) + (990 + 3) +...+ (99...90 +3) 

26 términos
= 9 + 3⋅26 = 9 + 78 = 9 + 6 
9 + 6 
Resto
Rpta: 6
2. 8(25) = 200 ⇒ 8(5) = 5
 
5 5
n⋅n = nk(n) = n 
 
 Consecuencias:
 
k(n + r) = n + kr 
• 4(9 + 2) = 9 + 8

(n + r1) (n + r2)(n + r3) = n + r1 r2 r3 
• (12 + 2)(12 + 5)(12 + 3) = 12 + 2⋅5⋅3 = 12 + 6
12 + 6
Problema 2
Al dividir A entre 8 se obtiene 5 
de residuo. Al dividir B entre 8 se 
obtiene 6 de residuo. Calcula el 
resto de dividir 4A + AB entre 8.
Solución:
4A + AB = 4(8 + 5) + (8 + 5)(8 + 6)
 = 8 + 20 + 8 + 30
 = 8 + 8 – 1 + 8 + 8 + 6
 = 8 + 2 
 Rpta: 2 
1. Si A = 9 + 3 ⇒ A = 9 – 6
 Si B = 8 – 5 ⇒ B = 8 + 3 
2. (n + a)(n + b) = n + ab
 (n – a)(n + b) = n – ab
3. Divisibilidad aplicada al 
 binomio de Newton. 
(n + r)k = n + rk
(n – r)k = 
n + rk si k par
n – rk si k impar
 • (7 + 2)3 = 7 + 23 = 7 + 1
 7 + 1
 • (9 – 1)400 = 9 + 1400 = 9 + 1 
 • (8 – 3)3 = 8 – 33 = 8 + 5
 8 – 5
Ten Presente
2
A B
0 K
Es decir: A = BK
 Donde: A ∈ Z; B ∈ Z+; K ∈ Z
Se afirma: A = B° ó A = BK
"A es divisible entre B"
"A es múltiplo de B" 
"B es un divisor de A"
"B es un factor de A" 
 
módulo
También:
Divisible <> Múltiplo
Divisor <> Factor
Ten Presente
2Los años bisiestos 
se presentan cada 
4 años. Son años 
múltiplos de 4. 
Si terminan en 2 
ceros, las cifras 
restantes deben ser 
múltiplos de 4.
• 35 7 ⇒ 35 = 7⋅5
 0 5
• 38 7 ⇒ 38 = 7⋅5 + 3
 3 5 38 = 7 + 3
• 38 7 ⇒ 38 = 7⋅6 – 4
 4 6 38 = 7 – 4
Donde 3 + 4 = 7 (módulo)
Si A es múltiplo de 
B y B múltiplo de C, 
¿A es múltiplo de C?
07CAPÍTULO
II B
IM
ESTR
E
26 2
CAPÍTULO 07 PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD
1. Sea A = 8 + 5
Podemos agregarle cualquier 
múltiplo de 8 y no cambia la 
estructura de A. 
• A = 8 + 5 + 40 = 8 + 5
• A = 8 + 5 – 32 = 8 + 5 
2. Sean
A = 7 + 5 ⇒ A = 7 + 5 + 35
B = 9 + 4 ⇒ A = 9 + 4 + 36
⇒ A = ⇒ A = 63 + 40
7 + 40
9 + 40
3. 4N = 9 + 5 
 4N = 9 + 5 + 27
 4N = 9 + 32
 N = 9 + 8
4. 5N + 3 = 8 
 5N + 3 + 32 = 8 
 5N + 35 = 8
 N + 7 = 8 
Ten Presente
23. Si A = 
a
b
⇒ A = MCM(a, b) Si A = 
a
b
⇒ A = MCM(a, b)
+ r
+ r
+ r
Obs: Mínimo común múltiplo: MCM
Ejemplo:
A = 8° ⇒ A = MCM (8; 6)
°
 ⇒ A = 24°
A = 6°
B = 12° 
B = 15° ⇒ B = MCM (12; 15; 6)
°
 ⇒ B = 60°
B = 6° 
R = 7° + 2 ⇒ R – 2 = 7° 
 ⇒ R – 2 = MCM (7; 5)
°
 R = MCM (7; 5)
°
 + 2
 R = 35° + 2
 –33; 2; 37.....
R = 5° + 2 ⇒ R – 2 = 5° 
Problema 3
Cuando Yuri empaqueta sus soldados 
de juguetes de 8 en 8 le faltan 5 para 
formar grupos exactos, y cuando em-
paqueta de 7 en 7 le faltan 4 para hacer 
grupos completos. Si cuando los agru-
pa de 5 en 5 y no le falta ni le sobra, 
¿cuántos soldados tiene como mínimo?
Solución:
N = 8 – 5 = 8 + 3 
N = 7 – 4 = 7 + 3
N = 56 + 3 
N = 59; 115; 171; ...
 
N = 5 ⇒ N = 115 
Rpta: 115
4. Principio de Arquímedes
Si el producto de dos factores es múltiplo de un módulo, y uno de los 
factores no tiene divisores comunes aparte de 1 con el módulo, entonces 
el otro factor es múltiplo del módulo.
• 12A = 5 ⇒ A = 5 • 15A + 20 = 9 ⇒ A + 4 = 9 
• 10B = 7 ⇒ B = 7 • 8B = 7 + 24 ⇒ B = 7 + 3
Problema 4
En una conferencia so-
bre la cocina peruana, 
participaron 65 perso-
nas. Si las tres séptimas 
partes de hombres eran 
de provincia y las cua-
tro quintas partes te-
nían menos de 25 años, 
¿cuántas mujeres parti-
ciparon? 
Solución:
Hombres: H
Mujeres : M
H + M = 65 (1)
• De provincia: 3H 
7
 ⇒ 3H = 7 ⇒ H = 7 
• < 25 años: 4H 
5
 ⇒ 4H = 5 ⇒ H = 5
 ⇒ 35 = 35; 70; 105; ...
De (1): 35 + M = 65 ⇒ M = 30 
Rpta: 30 
..... –24; 0; 24; 48
..... –60; 0; 60
II
 B
IM
ES
TR
E
272 
CAPÍTULO 07PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD
criterios de divisibilidAd
Los criterios de divisibilidad nos permiten determinar si un número es divi-
sible entre otro(s). En caso de que no lo fuera, nos permiten calcular el resto 
sin necesidad de efectuar la división.
1. Divisibilidad entre 9
Sea: N = abcde
Luego: N = 9 + a + b + c + d + e
⇒ N = 9 ⇔ a + b + c + d + e = 9
75864 = 9 + 7 + 5 + 8 + 6 + 4
 = 9 + 30 = 9 + 3 + 0 = 9 + 3
2. Divisibilidad entre 11
 
Problema 6
Si a + c = b + d + 7, calcula el resto 
de dividir abcd entre 11.
Solución:
• a + c = b + d + 7 ⇒ –7 = b + d – a – c
• 
– + – +
abcd = 11 – a + b – c + d = 11 – 7
–7
⇒ abcd = 11 + 4
Rpta.: 4
Problema 5
Si abc = 9 + 5, ¿cuál es el resto de 
dividir cba + bac entre 9?
Solución:
• Si abc = 9 + 5 ⇒ a + b + c = 9 + 5
• cba + bac = 9 + (c + b + a) + (b + a + c)
 = 9 + (9 + 5) + (9 + 5)
 = 9 + 10 = 9 + 1
 Rpta.: 1
3. Divisibilidad entre 7
Sea: N = abcdef
Luego: 
N = 7 – 2a – 3b – c + 2d + 3e + f 
N = 7 ⇔ –2a – 3b – c + 2d + 3e + f
 = 7
3 5 7 6 8 = 7 – 9 – 5 + 14 + 18 + 8
 = 7 + 26 = 7 + 5 
7 + 5
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
–3 –1 2 3 1
Problema 8
Si 4ab3 = 13 + 5, calcula el resto 
de dividir 6ab5 entre 13.
Solución:
• 4ab3 = –4 – 4a – 3b + 3 = 13 + 5
-1-4-3 1
 
 ⇒ –4a – 3b = 13 + 6
• 6ab5 = 13 – 6 – 4a – 3b + 5
-1-4-3 1 13+6
⇒ 6ab5 = 13 + 5 Rpta.: 5
Problema 7
Calcula el resto de dividir 
5555 ... 55
200 cifras
 entre 7.
Solución:
• 200 = 198 + 2 = 6 + 2 
• 5555 ... 5555555 = 7 + 15 + 5
= 7 + 6
3 1-2-3 1-2-3-1 2 3 1
198 cifras
 
 Rpta.: 6
4. Divisibilidad entre 13
 7 3 4 2 9 = 13 + 21 – 3 – 16 – 6 + 9
 = 13 + 5
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
 3 –1–4 –3 1
Sea: N = abcdef
Luego: N = 11 –a + b – c + d – e + f
⇒ N = 11 ⇔ –a + b – c + d – e + f = 11 
62537 = 11 + 6 – 2 + 5 – 3 + 7
 = 11 + 13 = 11 – 1 + 3 = 11 + 2
+ – + – +
– + 
Sea: N = abcdef
Luego: 
N = 13 + 4a + 3b – c – 4d – 3e + f 
N = 13
 ⇔ 4a + 3b – c – 4d – 3e + f = 13
°
RecuerdaRecuerda
1. DIVISIBILIDAD ENTRE 2
Sea: N = abcde
Luego: N = 2° + e
N = 2° ⇔ e = 2°
De donde: "e" = {0; 2; 4; 6; 8}
• a769 = 2 + 9 = 2 + 1
2+1
2. DIVISIBILIDAD ENTRE 4
Sea: N = abcde
Luego: N = 4° + de
N = 4° ⇔ de = 4° ∨ 2d + e = 4° 
• 3530 = 4 + 30 = 4 + 2
4+2
3. DIVISIBILIDAD ENTRE 8
Sea: N = abcde
Luego: N = 8° + cde
N = 8° ⇔ cde = 8° ∨ 4c + 2d + e = 4°
4. DIVISIBILIDAD ENTRE 5
Sea: N = abcde
Luego: N = 5° + e
N = 5° ⇔ e = 5°
De donde: "e" = {0; 5}
• 3xy7 = 5 + 7 = 5 + 2
5+2
Si un número es múltiplo de 9, 
cualquier otro formado con las 
mismas cifras, en el orden que 
fuera, es múltiplo de 9.
• Si abc = 9 
 ⇒ acb = 9
 bac = 9
 bca = 9
Ten Presente
2
II B
IM
ESTR
E
28 2
CAPÍTULO 07 PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD
Actividad 07
1 Coloca verdadero (V) o falso (F), según corres-
ponda.
 1. El divisor de un número es denominado 
 también factor. ( )
 2. El múltiplo de un número es denominado
 también divisible. ( )
2 ¿Cuántos números del 1 al 3000 son múltiplos 
de 15?
3 ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos 
de 12?
4 ¿Cuántos números del 1 al 600 son múltiplos de 
8 pero no de 9?
5 El numeral a(2a) es siempre múltiplo de:
6 ¿Qué valor debe tomar “a” para que el numeral 
aa55 sea divisible por 9?
7 Si abba = 45, halla el residuo de dividir ab entre 7.
8 Si 7a58b = 72, halla a×b. 
9 Se escribe un número con veinte cifras 5. ¿Cuál 
es el residuo si se lo divide entre 7?
10 Halla el mayor valor de a + b + c, si
 8a75a = 6; 2b5b5 = 25° y 2cc34 = 3.
Problema 9
Halla el mayor número múltiplo de 8 que al ser di-
vidido entre 5 da 12 de cociente.
Solución:
Pepresentamos el múltiplo de 8 como 8k
8k 5
r 12
 ⇒ 8k = 12 ⋅ 5 + r
 ⇒ 8k – 60 = r < 5 ⇒ 8k – 60 < 5
∴ 8k = 8(8) ⇒ 8k = 64
Rpta.: 64
8
Problema 10
Halla el menor numeral abc tal que al dividirlo en-
tre 25; 2 y 9 la división resulte exacta.
Dé como respuesta a + b + c.
Solución:
 25°
abc 2° ⇒ abc = MCM(25; 2; 9)
°
 9° abc = 450°
El menor posible: 450
∴ a + b + c = 4 + 5 + 0 = 9 
 Rpta.: 9
Problema 11
Si ab(b + 2) = 4°, ¿cuál es el residuo de dividir 
 c(b + 2)b entre 4?
Solución:
ab(b + 2) = 4° ⇒ b(b + 2) = bb + 2 = 4° ................(1) 
c(b + 2)b = 4° + x ⇒ (b + 2)b = bb + 20 = 4° + x .......(2) 
(2) – (1): 20 – 2 = 4° + x ⇒ x = 4° + 2 
∴ Residuo es 2.
Rpta.: 2
Problema 12
Halla x, si x(2 + x)4 = 9° 
Solución:
Si x(2 + x)4 = 9° ⇒ x + (2 + x) + 4 = 9°
 2(x + 3) = 9° ⇒ x + 3 = 9° ⇒ x = 6
∴ x = 6
 Rpta.: 6
II
 B
IM
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TR
E
292
NÚMEROS PRIMOS
Número primo o primo absoluto
Es el que tiene exactamente dos di-
visores: la unidad y sí mismo.
• 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19...
Número compuesto
Es el que tiene más de dos diviso-
res.
• 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16...
Números primos entre sí (PESI)
Primos relativos o coprimos, tie-
nen como único divisor común la 
unidad, aunque separadamente no 
sean primos.
• 9; 15; y 20 son PESI
• 10; 15; 20 no son PESI
Números PESI 2 a 2
Tres o más números son PESI 2 a 
2 si tomándolos de 2 en 2 resultan 
PESI. 
 
8 y 9 PESI
8 y 7 PESI
9 y 7 PESI
8; 9 y 7
son PESI 2 a 2





estudio de los divisores de un número
Teorema fundamental de la Aritmética. 
Todo entero mayor que 1 se puede descom-
poner como el producto de sus factores pri-
mos diferentes, elevados a exponentes enteros 
positivos. Esta descomposición es única y se 
llama descomposición canónica. 
• 12 = 22⋅3 • 180 = 22⋅32 ⋅ 5 
• 700 = 22⋅52⋅7 • 630 = 2 ⋅32⋅5 ⋅7
Problema 2
Si n4⋅(n + 1)5(2n + 1)4 es la descom-
posición canónica de N, calcula n.
Solución:
• n, (n + 1) y 2n + 1 primos.
• Los únicos primos consecutivos 
 son 2 y 3.
 ⇒ n = 2 
Rpta.: 2
Problema 1
Si A = 2n – 1⋅3n⋅n2 y 5A = 2a⋅35⋅5b;
calcula a + b + n.
Solución:
5⋅2n – 1⋅3 n⋅n2 = 2a⋅3 5⋅5b
 n = 5
⇒ 2 4 ⋅35⋅5 3 = 2 a ⋅35⋅5 b
⇒ a = 4 y b = 3 ⇒ a + b + n = 12
 Rpta.: 12
Siete son los co-
lores del arco iris, 
las maravillas del 
mundo, los días de 
la semana, ... el 
7 es el primo más 
"famoso".
NotaNota
La unidad no es primo ni 
compuesto, porque su único 
divisor es sí mismo. 
PROPIEDADES DE LOS
NÚMEROS PRIMOS
1. Existen infinitos números 
primos y no existe una 
fórmula para la sucesión de 
los números primos. 
2. Todo número primo mayor 
que 3 es de la forma 6 ± 1. 
3. Un grupo de números con-
secutivos siempre son PESI. 
4. Si la suma de dos números 
primos es impar entonces 
uno de ellos es 2. 
¿Cómo averiguar si un número 
es primo?
Averigüemos si 127 es primo. 
• Extraemos la raíz cuadrada 
aproximada de 127:
 127 ≈ 11
• Aplicamos multiplicidad 
entre los números primos 
menores o iguales que esta 
aproximación.
 127 ≠ 2; 3; 5; 7; 11 
 ⇒ 127 es primo.
Ten Presente
2
Sea N = AaBbCc 
Descomposición 
canónica de N
• A, B, C primos
• a, b, c ∈ Z+ 
¿Qué son diviso-
res propios?
CATARATAS DE IGUAZÚ
08CAPÍTULO
II B
IM
ESTR
E
30 2
CAPÍTULO 08 NÚMEROS PRIMOS
Actividad 08
CANTIDAD DE DIVISORES 
CD(N) = CDprimos + CDcompuestos + 1
Esta relación nos permite cal-
cular la cantidad de divisores 
compuestos. 
• 360 = 23⋅32⋅5
 CD(360) = 4⋅3⋅2 = 24
 CDprimos = 3
 ⇒ 24 = 3 + CDcomp + 1
 ⇒ CDcomp = 20
Ten Presente
2
Sea N un número natural cuya 
descomposición canónica es: N = AaBbCc
A, B, C: primos
a, b, c ∈ Z+ 
Entonces se cumple: 
A) Cantidad de divisores CD(N)
CD(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
C) Suma de la inversa de los
 divisores (SIDN)
 
SIDN = SDN
N
D) Producto de los divisores (PDN) 
 
PDN = NDN
E) Cantidad de maneras de
 expresar N como producto 
 de 2 factores 
B) Suma de los divisores (SDN)
 SDN = A
a+1 – 1
A – 1
 ⋅ B
b+1 – 1
B – 1
 ⋅ C
c+1 – 1
C – 1
FN = 
DN
2
DN+1
2
, si DN = 2° + 1
, si DN = 2°
1 Indicaverdadero (V) o falso (F):
 1. El 1 no es primo absoluto. ( )
 2. El primer número primo positivo es 2. ( ) 
 3. El primer número compuesto positivo es 6. ( )
2 Indica verdadero (V) o falso (F):
 1. Los números primos absolutos son 
 infinitos. ( ) 
 2. Todo número primo es 2 + 1. ( )
 3. Todo número primo mayor que 3 es 
 6 + 1 o 6 – 1. ( )
3 La suma de primos absolutos entre 60 y 81 es:
4 Halla la cantidad de divisores de 2400.
5 Halla "n" si A = 28n×50 tiene 150 divisores.
6 ¿Cuántos números primos ab existen tales que 
ba es también primo?
7 Determina la suma de sus divisores de 72.
8 Encuentra la suma de los divisores múltiplos de 
5 de 700.
9 Si M = 22×33×7n tiene 48 divisores, ¿cuál es el 
producto de los divisores de nn?
10 ¿Cuántos divisores de 8100 son impares?
Problema 3
Cuando N = 3n⋅52 se multiplica por 6, la cantidad de divisores aumenta en 
12. Calcula la suma de los divisores de N. 
Solución:
N = 3n⋅52 ⇒ DN = (n + 1)3 ⇒ 6N = 2⋅3n + 1⋅52 ⇒ D6N = 2(n + 2)3
⇒ 2(n + 2)3 – (n + 1)3 = 12 ⇒ = ⋅ ⇒ = −
−
⋅ −
−
=N SDN3 5 3 1
3 1
5 1
5 1
1242
2 3
 
 n = 1
 Rpta: 124
4
II
 B
IM
ES
TR
E
312
MCM Y MCD
Mínimo común múltiplo (MCM)
4 : 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28...
6 : 6; 12; 18; 24; 30; 36; ...
MCM
⇒ MCM(4; 6) = 12
El MCM de varios enteros po-
sitivos es el menor de los múlti-
plos comunes positivos.
 
Máximo común divisor (MCD)
Divisores de 8: 1 ; 2 ; 4 ; 8
Divisores de 12: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
MCD
⇒ MCD(8; 12) = 4
El MCD de varios enteros posi-
tivos es el mayor de los diviso-
res comunes. 
métodos de obtención del mcm y mcd
1. Por descomposición simultánea.
 











 MCD = 2⋅3 = 6
MCM = 23⋅32
MCM = 72
12
6
2
1
1
1
18
9
3
3
3
1
24
12
4
2
1
1
2
3
2
2
3
 
2. Por descomposición canónica.
 
A = 23⋅32⋅7 
B = 22⋅34⋅5
MCM = 23⋅34⋅5⋅7 
MCD = 22⋅32
 MCM = Factores primos comunes y no 
 comunes elevados a su mayor exponente.
 MCD = Factores primos comunes 
 elevados a su menor exponente.
 3. Por algoritmo de Euclides o divisiones sucesivas. 
Aplicable para dos números. Se divide 
el mayor entre el menor, luego el me-
nor entre el resto, en seguida, el primer 
resto entre el segundo resto, y así su-
cesivamente, hasta que el resto resulte 
cero. El MCD es el último divisor. 
Problema 1
¿Cuántos divisores tiene el MCM 
de 144 y 240?
Solución:
144 = 24⋅32
240 = 24⋅3⋅5
MCM = 24⋅32⋅5 
⇒ DMCM = 5⋅3⋅2 = 30
 Rpta.: 30
Problema 2
Encuentra dos números PESI, ta-
les que los cocientes al calcular su 
MCD por el algoritmo de Euclides 
son 1; 2; 3 y 4. 
Solución:
Si son PESI ⇒ MCD = 1
1 2 3 4
43 30 13 4 1
13 4 1 0
MCD
Rpta.: 43 y 30
MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MCM Y MCD
RecuerdaRecuerda
Si 
6
8
10
 ⇒A =
A = MCM(6; 8; 10)
A = 240
1. Los divisores comunes de 
dos o más números son los 
divisores del MCD.
• Divisores comunes de 30 
y 40 son los divisores de 
MCD(30; 40) = 10: 
 1; 2; 5; y 10 
2. Los múltiplos comunes de 
dos o más números son los 
múltiplos del MCM. 
• Los múltiplos comunes de 
10 y 15 son los múltiplos 
de MCM(10; 15) 30: 
 30; 60; 90; 120; ...
Ten Presente
2
1. Si A = B ⇒ MCM(A, B) = A
MCD(A, B) = B



 
 
• 16 = 8 ⇒
MCM = 16
MCD = 8



2. Si A y B son PESI
 
 ⇒
MCM (A, B) = A⋅B
MCD (A, B) = 1



 ⇒
MCM = 540
MCD = 1
20 y 27 PESI



ObservaciónObservación
Si dos números aumentan 
cada uno en 5, ¿el MCM 
también aumenta en 5?
¿Por qué se toman las pas-
tillas cada cierto tiempo?
• MCD(48; 27) = ?
⇒ MCD(48; 27) = 3
1 1 3 2
48 27 21 6 3
21 6 3 0 MCD
09CAPÍTULO
II B
IM
ESTR
E
32 2
CAPÍTULO 09 MCM Y MCD
1 Indica verdadero (V) o falso (F):
 1. MCD (6; 3) = 3 ( )
 2. MCD (18;36) = 18 ( )
2 El MCD de 36k; 54k y 90k es 1260. El menor de 
los números es:
3 Calcula el MCD de:
 A = 26 × 34 × 53 B = 23 × 36 × 55 C = 2 × 37
4 Indica verdadero (V) o falso(F).
 1. MCM (16a; 8a; 4a)= 4a ( )
 2. MCM (2p2; 10p2; 30p2) = 30p2 ( )
5 El menor número que contiene a 13p; 24p y 30p 
es 4680. Calcula p.
6 El MCD de dos números es 51 y los cocientes ob-
tenidos en su determinación por el método del 
algoritmo de Euclides son 2, 3 y 5. ¿Cuál es el 
mayor de los números?
7 Si MCD (4A, 3B) = 10 y MCM (8A, 6B) = 240, 
halla A×B. 
8 ¿Cuántos números menores que 50 tienen un 
MCD igual al de 8 con 16?
9 El producto y el cociente del MCM y el MCD de 
dos números son 540 y 15, respectivamente. Si 
los números son menores que 50, hállalos.
10 La suma de dos números es 70 y el producto de 
los mismos, el cubo de su MCD. Calcula el me-
nor número.
PROPIEDADES DEL MCM Y MCD
1. MCD (16; 24) = 8
 
816 24MCD ;
44 4
=
 ⇒ MCM(4; 6) = 2
 
Si cada uno de los números se 
multiplica o se divide por un 
entero positivo, el MCM y el 
MCD quedan multiplicados por 
el mismo entero. 
2. MCD (8; 12; 16) = 4
 
4
MCD
4
=
 
⇒ MCD(2; 3; 4) = 1
PESI
 
Los cocientes de dividir varios 
enteros entre el MCD, resultan 
primos entre sí.
3. MCM(12; 16) = 48
 MCD(12; 16) = 4
 • 12⋅16 = 192 • 48 ⋅4 = 192
 
 
El producto de dos números es 
igual al producto del MCM y el 
MCD.
A⋅B = MCM(A, B)⋅MCD(A, B)
4. 20 15 40
MCM = 60
MCM = 120
 
 ⇒ MCM(20; 15; 40) = 120 
 
El MCM y MCD de varios 
números se puede calcular 
asociándolos parcialmente y 
calculando el MCM y MCD de 
los resultados parciales. 
1) Si A = Nn – 1
 B = Nm – 1
 ⇒ 
• MCD(318 – 1; 315 – 1) = 33 – 1 = 26
2) Si MCD(A, B) = d 
 ⇒ 
A = dp
B = dq PESI
 • Si MCD(A, B) = 6
 ⇒ 
A = 6p
B = 6q PESI
MCD(A, B) = NMCD(n, m) – 1
MCM = dpq
MCM = 6pq
Ten Presente
2
Actividad 09
Problema 3
Si MCM(2A, B) = 120
y MCD(2A, B) = 6
calcula A⋅B
Solución:
Por propiedad: 
 2A⋅B = 120⋅6 
⇒ A⋅B = 360
 Rpta.: 360
Problema 4
Si MCM(A, B) = 36 
y MCM(B, C) = 40 
calcula el MCM(A, B, C) 
Solución:
A B B C
MCM = 36
MCM = 360
MCM = 40
⇒ MCM(A, B, C) = 360
Rpta.: 360
II
 B
IM
ES
TR
E
332
NÚMEROS RACIONALES I
I. NÚMERO RACIONAL 
Los números 15 
5
 y 8 
12
 , están ex-
presados como, división de dos 
enteros. 
15 
5
 = 3 es entero, mientras que 8 
12
 no. 
Todos los números que pueden 
ser representados como división 
de dos enteros se llaman números 
racionales y se designa con Q, tal 
que: 
 = ∈ ∧ ↑






x
y
x y y/ , 0
II. NÚMERO FRACCIONARIO 
El número 8 
12
 no resulta entero. 
Es un número racional fraccionario.
En la fracción 8 
12
numerador
denominador
Un número racional a 
b
 es fraccio-
nario si a y b son enteros, b ≠ 0, y 
a no es divisible entre b. 
f
a
b
a b b a b= ∈ ↑ ∧ ↑, , , 0
• a: Numerador • b: Denominador
clAsificAción de frAcciones
La fracción f = a 
b
 (con a > 0 y b > 0) puede ser: 
Propia Impropia Reductible Irreductible Decimal Ordinaria
a < b a > b a y b no PESI a y b PESI b = 10n b ≠ 10n
5 
8
6 
4
18 
15
8 
9
 71 
100
23 
25
Problema 1
Califica las proposiciones. 
1. 15 
10
 es una fracción propia. 
2. 18 
9
 no es fracción.
3. Toda fracción es un número racional. 
Solución:
1. (Falso) 
2. (Verdadero) 
3. (Verdadero) 
Rpta.: FVV
propiedAdes de frAcciones
Si multiplicamos o dividimos ambos términos de una 
fracción por un entero distinto de cero, el valor de la 
fracción no cambia. 
foto Yuri en cataratas donde apa-
rece el arco iris
FRACCIONES
¿Qué parte de una obra 
proyectada para 90 días, 
se avanza en 20 días?
1. Una fracción se puede escri-
bir como:
 • a 
b
 o a/b o a  b
 • 4 
7
 o 4/7 o 4  7
2. Toda fracción impropia se 
puede expresar como la 
suma de un entero más una 
fracción propia. 
 • 
13 
5
 ⇒ 13 5
 3 2⇒ 13 
5
 = 2 + 3 
5
 = 2 3 
5
3. Comparación de dos frac-
ciones.
 Comparemos 4 
7
 y 5 
9
, es 
decir, averigüemos cuál es 
menor y cuál el mayor. 
 • Ponemos frente a frente y 
 multiplicamos en aspa: 
 
4 
7
5 
9
 36 > 35 ⇒ 4 
7
 > 5 
9
Ten Presente
2
12
18
12
18
4
6
12
18
12
18
48
72
3
3
4
4
= √
√
=
= ⋅
⋅
=
•
•
¿Una fracción pue-
de ser mayor que 1?
10CAPÍTULO
II B
IM
ESTR
E
34 2
CAPÍTULO 10 NÚMEROS RACIONALES I
simplificAción de frAcciones
En virtud de la propiedad anterior, cualquier 
fracción reductible se puede convertir en irre-
ductible dividiendo ambos términos entre su 
MCD. 
expAnsión de frAcciones
Una fracción se puede expandir multiplicando 
ambos términos por un mismo entero distinto 
de cero. 
expresión generAl de lAs frAcciones equivAlentes A unA frAcción dAdA
Estas fracciones son equivalentes porque represen-
tan el mismo número. Una fracción tiene muchas 
fracciones equivalentes, aunque todas ellas tienen 
una forma general. 
Busquemos la expresión general de todas las fracciones equivalentes a 9 
12
. 
1. Simplificamos hasta volverla irreductible: 9 
12
 = 4 
3
2. Expresamos la forma general de las fracciones equivalentes a 9 
12
:
9
12
3
4
0= ∈ ∧ ↑k
k
k k
Problema 3
¿Cuántas fracciones equivalentes 
a 20 
35
 tienen el numerador com-
prendido entre 10 y 65? 
Solución:
20 
35
4k 
7k
= ⇒
10 < 4k < 65
3; 4; ... ; 16
∴ Hay 16 – 2 = 14 fracciones
Rpta.: 14
Problema 2
¿Cuál es la fracción equivalente a 
15 
18
, cuya suma de términos es 132?
Solución:
15 
18
5k 
6k
= ⇒
5k + 6k = 132
11k = 132
 k = 12
∴ = =5
6
5 12
6 12
60
72
k
k
( )
( )
 Rpta.: 60 
72
Problema 4
¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 20 existen? 
Solución:
Las fracciones son de la forma a 
20
, 
tal que 1 ≤ a < 20 y a con 20 PESI: 
 Rpta: 8
⇒ a = 1; 3; 7; 9; 11; 13; 17 y 19 
8 valores
3
5
6
10
18
30
36
60
= = =
×2
×2
×3
×3
×2
×2
4 
6
2 
3
MCD Y SIMPLIFICACIÓN DE 
FRACCIONES
Supongamos que queremos 
simplificar la fracción: 
221 
289
A simple vista no se sabe si los 
términos tienen algún divisor 
común. Entonces calculemos 
el MCD por el algoritmo de 
Euclides:
1 3 4
289 221 68 17
68 17 0
MCD
 
MCD(289; 221) = 17
Dividimos ambos términos 
entre 17: 
221
289
221 17
289 17
13
17
= √
√
=
Datos
• MCD(48; 36) = 12
• 48
36
 = 48 ÷ 12
36 ÷ 12
 = 4
3
II
 B
IM
ES
TR
E
352 
CAPÍTULO 10NÚMEROS RACIONALES I
1 ¿Cuántos números fraccionarios hay en el si-
guiente grupo?
 
4
5
8
18
12
5
60
12
80
4
15
45
50
60
; ; ; ; ; ;
−
 2 Relaciona correctamente :
 1. Fracciones A. 1 
8
 ; 1 
8
 ; 15 
8 homogéneas
 2. Fracciones B. 45 
2
 ; 43 
4
 ; 11 
8 propias
 3. Fracciones C. 1 
60
 ; 1 
8
 ; 1 
20 impropias
3 Relaciona correctamente.
 1. 1 
5
 ; 2 
5
 ; 7 
51
 A. Números con fracciones
 2. 20 
5
 ; 50 
10
 ; 60 
12
 B. Fracciones irreductibles
 3. 1 
3
 ; 2 
6
 ; 3 
9
 C. Fracciones equivalentes
4 ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de 
denominador 5 existen?
5 Halla una fracción equivalente a 174 
261
, tal que la
 suma de sus términos sea 40.
6 Halla un sexto de la mitad de la cuarta parte de
 los 3
5
 de A, si A aumentado en sus 3
2
 equivale a
 los 3
5
 de 220.
7 ¿Cuántas fracciones propias con denominador 
15 existen tales que sean mayores que 1 
2
? 
8 Halla la cantidad de fracciones equivalentes a 
 2 
7
, tal que la suma de sus términos sea menor 
que 100.
9 ¿Cuántas fracciones irreductibles con denomi-
nador 12 existen entre 1 
2
 y 2?
10 ¿Cuánto se debe aumentar al numerador de 3
8
 para que resulte 1
2
 ? 
Problema 5
Halla una fracción impropia tal que aumentado en
sus 2
3
, resulta los 12
5
 de su inversa.
Solución:
f = a
b
; inversa de f = b
a
a
b
 + 2
3
 
a
b

 = 
12
5
 
b
a


 5
3
 
a
b

 = 
12
5
 
b
a


⇒ a
2
b2
 = 36
25
 = 
62
52


∴ a
b
 = 6
5
Rpta.: 6
5
Problema 6
Halla el mayor de los números que suman 357, de
modo que el segundo sea los 2
3
 del primero y este, 
1
4
 del tercero.
Solución:
A + B + C = 357
B = 2
3
 A; A = 1
4
 C ⇒ C = 4A
⇒ A + 2
3
 A + 4A = 357
Luego: A = 63; B = 42; C = 252
∴ Mayor es "C" = 252
 Rpta.: 252
Actividad 10
II B
IM
ESTR
E
36 2
11CAPÍTULO NÚMEROS RACIONALES II
FRACCIONES HOMOGÉNEAS 
Varias fracciones son homogéneas 
si tienen el mismo denominador. 
• 3 
5
; 2 
5
; 13 
5
 ; 8 
5
 
FRACCIONES HETEROGÉNEAS 
Varias fracciones son heterogéneas 
si tienen denominadores diferentes. 
• 4 
7
; 9 
5
; 10 
13
 ; 1 
2
 
HomogenizAción de frAcciones
Cualquier grupo de fracciones heterogéneas se puede transformar en otro de 
fracciones homogéneas. 
Homogenicemos las fracciones: 
1. Simplificamos al máximo. 
2. Calculamos el MCM de los denominadores. 
3. El MCM es el denominador común. El nu-
merador se obtiene dividiendo el MCM en-
tre el denominador y multiplicando por el 
respectivo numerador. 
Problema 1
Ordena ascendentemente las frac-
ciones: 3 
4
; 12 
9
; 10 
25
 y 10 
12
.
Solución:
Simplificando:
 3 
4
 ; 4 
3
 ; 2 
5
 ; 5 
6
MCM(4; 3; 5; 6) = 60
 45 
60
 ; 80 
60
 ; 24 
60
 ; 50 
60
 
Ordenando: 
 24 
60
 < 45 
60
 < 50 
60
 < 80 
60
 ⇒ 10 
25
 < 3 
4
 < 10 
12
 < 80 
60
Problema 2
¿Cuántas de las fracciones 4 
8
, 12 
15
, 
15 
20
 y 5 
6
 son mayores que 8 
12
?
Solución:
4 
8
 ; 12 
15
 ; 15 
20
 ; 5 
6
 ; 8 
12
Simplificando:
1 
2
 ; 4 
5
 ; 3 
4
 ; 5 
6
 ; 2 
3
MCM(2; 5; 4; 6) = 60
30 
60
 ; 48 
60
 ; 45 
60
 ; 50 
60
 ; 40 
60
Ordenando: 
30 
60
 < 40 
60
 < 45 
60
 < 48 
60
 < 50 
60
Mayores
Rpta.: 3
FRACCIÓN DE UNA
CANTIDAD
2 
6
1
Aquí tenemos la unidad divi-
dida en 6 partes iguales. Cada 
parte es 1 
6
: 
Entonces la parte coloreada 
es 2 
6
.
Ahora tenemos 900 dividido, 
igualmente, en 6 partes, 2 de 
las cuales están coloreadas: 
900
2 
6
de 900
Entonces la parte coloreada es: 
2 
6
 de 900 = 2 
6
×900 = 300 
1
150
• 4 
5
 de 80 = 4 
5
⋅80 = 64
• 3 
7
 de los 4 
5
 de 490 = 3 
7
⋅ 4 
5
⋅490
 = 168
Ten Presente
2
¿Qué significa 
homologación 
de sueldos?
¿Siempre se puede 
transformar las frac-
ciones heterogéneas 
en homogéneas?
MCM(5; 6; 4) = 60
10 
12
5 
6
3 
5
3 
5
3 
4
6 
8
50 
60
(60÷6)5
36 
60
(60÷5)3
45 
60
(60÷4)3
II
 B
IM
ES
TR
E
372 
CAPÍTULO 11NÚMEROS RACIONALES II
Actividad 11
compArAción de frAcciones
De los ejercicios anteriores se puede concluir: 
1. De varias fracciones homogéneas, es mayor el de mayor numerador y 
menor el de menor numerador. 
2. De varias fracciones con numeradores iguales, es mayor el de menor 
denominador y menor el de mayor denominador. 
Problema 4
Si al numerador de 7 
9
 le sumo 21, 
¿cuánto debo sumar al denomina-
dor para que la fracción no se al-
tere?
Solución:
7 
9
 = 7 + 21 
9 + x
 
 7(9 + x) = 9(28)
 63 + 7x = 252
 x = 27
Rpta.: 27
Problema 3
Si a los términos de 5 
8
 se suma 4, 
entonces: 
I. La fracción no varía. 
II. La fracción aumenta.
III. La fracción disminuye.
Solución:
5 
8
5 + 4 
8 + 4
 = 9 
12
 = 3 
4
5 
8
3 
4
20 < 24
⇒ 5 
8
 < 3 
4
 
∴ La fracción aumenta. 
 Rpta.: Sólo II
1 Dadas las fracciones homogéneas: 
 a
a
b
a
c
bc6 12
; ; , halla abc. 
2 Coloca > ; < o = en el círculo. 
 1. 18 
10
17 
6
 3. 16 
20
24 
30
 2. 
23 
26
14 
10
 4. 70 
100
63 
90
3 Ordena descendentemente las fracciones: 
4
5
3
4
21
20
9
15
; ; y
4 ¿Cuántas de las fracciones 
12
20
53
60
3
5
38
45