Problemas de calculo vectorial-18

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52 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial52 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial52 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial
En el punto pedido, tenemos
∇f(log π, log π) = (−π2 , 0), f(log π, log π) = 12 ,
y la ecuación del plano tangente será
−π
2
(x− log π) = z − 1
2
.
(b) Para encontrar la derivada direccional dada, puesto que la función
es diferenciable en ese punto, debemos hacer el producto escalar
del vector gradiente en el punto concreto y el vector unitario que
determina la dirección, es decir,(
−π
2
, 0
)
· 1√
10
(
√
3,−
√
7) = − π
√
3
2
√
10
.
� Encontrar la ecuación del plano tangente a las siguientes funciones en los
puntos dados:
357 f(x, y) =
xy
1 + x2
en (1, 0), (0, 1), (−1, 1), (0, 0).
358 f(x, y) = x2 + y2 sen(xy) en (−π, 0), (0, π).
359 f(x, y) = cosx sen y en (0, π2 ).
360 f(x, y) = x− y + 2 en (1, 1)
361 f(x, y) = log(x cos y) + arctan(x+ y) en (1, 0)
362 f(x, y) = senx+ sen y + sen(x+ y) en (0, 0)
363 f(x, y) = axy en (1, 1a )
364 f(x, y) = x2 + y2 − xy − x− y en (1,−1).
� Para cada apartado de los Ejercicios 357–364 calcular el vector normal a la
superficie f(x, y) en los puntos indicados.
365 Probar que las gráficas de f(x, y) = x2 + y2 y g(x, y) = −x2 − y2 + xy3
son tangentes en el origen.
366 ¿En qué punto, o puntos, el plano tangente al grafo de la función f(x, y) =
x2 + y2 + 2x es horizontal (paralelo al plano del suelo)?
367 ¿En qué punto el plano tangente al grafo de la función f(x, y) = 9−4x2−y2
es paralelo al plano z = 4y?
2.1 Derivadas parciales 53
368 Encontrar los puntos de la superficie x
2
9 +
y2
4 + z
2 = 1 que tienen su plano
tangente perpendicular al vector (1, 1,
√
3).
369 Probar que la ecuación del plano tangente al elipsoide x
2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2 = 1 en
(x0, y0, z0) puede escribirse como
xx0
a2
+
yy0
b2
+
zz0
c2
= 1.
Encontrar ecuaciones similares para el hiperboloide x
2
a2 +
y2
b2 − z
2
c2 = k, k 6= 0,
y el paraboloide z = x
2
a2 +
y2
b2 .
Solución 369:
El vector normal al elipsoide en el punto (x0, y0, z0) es
2
(
x0
a2
,
y0
b2
,
z0
c2
)
.
En consecuencia la ecuación del plano tangente deberá expresar que
el vector anterior debe ser normal a dicho plano tangente y pasar por
(x0, y0, z0)
2
(
x0
a2
,
y0
b2
,
z0
c2
)
· (x− x0, y − y0, z − z0) = 0.
Esto se puede desarrollar como
x0x
a2
+
y0y
b2
+
z0z
c2
=
x20
a2
+
y20
b2
+
z20
c2
.
Sin embargo, como (x0, y0, z0) es un punto del elipsoide, debemos tener
x20
a2
+
y20
b2
+
z20
c2
= 1,
de modo que la ecuación del plano se simplifica a
x0x
a2
+
y0y
b2
+
z0z
c2
= 1.
De la misma manera, es sencillo obtener las ecuaciones
x0x
a2
+
y0y
b2
− z0z
c2
= k
y
x0x
a2
+
y0y
b2
− z + z0
2
= 0,
54 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial54 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial54 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial
para los planos tangentes al hiperboloide y al paraboloide de ecuaciones
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, z =
x2
a2
+
y2
b2
,
respectivamente.
370 El plano tangente a la superficie x
1
2 + y
1
2 + z
1
2 = 1 en el punto (x0, y0, z0)
interseca a los ejes coordenados en (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c). Probar que
la cantidad a+ b+ c es independiente del punto de tangencia.
371 Probar que para f(x, y) =
√
|xy|, fx y fy son ambas nulas en el origen.
¿Tiene la gráfica plano tangente en el origen?
(Ayuda: considérese la sección por el plano x− y = 0).
372 Sea g una función diferenciable de una variable y f(x, y) = xg( yx ). Probar
que todo plano tangente al grafo de f pasa por el origen.
Solución 372:
Como vimos en el Ejercicio 356, la ecuación del plano tangente al grafo
de una función en un punto (x0, y0) tiene por ecuación
∇f(x0, y0) · (x− x0, y − y0) = z − f(x0, y0).
Si cualquiera de estos planos debe pasar por el origen debeŕıamos tener
∇f(x0, y0) · (x0, y0) = f(x0, y0).
Luego en el caso concreto en que f(x, y) = xg( yx ) todo se reduce a
comprobar que
∇f(x, y) · (x, y) = f(x, y).
lo cual se tiene pues
∇f(x, y) =
(
g( yx )−
y
xg
′( yx ), g
′( yx )
)
� Comprobar que las siguientes funciones son diferenciables y hallar su dife-
rencial en un punto arbitrario:
373 F : R2 → R, F (x, y) = x4 − y4.
374 F : R2 → R2, F(x, y) = (2, x+ y).
375 F : R2 → R3, F(x, y) = (2 + x+ y, x2 + y2, exy).
376 Dada la función:
f(x, y) =
x3
x2 + y2
, f(0, 0) = 0,