Calculo diferencial Universidad-108

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Capítulo 4
Aplicación de la derivada
La derivada se puede aplicar de varias maneras, para entender 
cómo y en dónde se debe partir de los conceptos: geométrico, matemáti-
co y físico de derivada. En cuanto al concepto geométrico decíamos 
que la derivada es la pendiente de la recta tangente en un punto de la 
función; la definición matemática nos indica que la derivada es la razón 
de cambio de la variable dependiente con respecto a la variable indepen-
diente y el concepto físico nos dice que la derivada es la velocidad con la 
que cambia una variable con respecto a otra por ejemplo si tenemos una 
función que representa al desplazamiento de un cuerpo en el tiempo, su 
derivada representa la velocidad de ese objeto en cualquier instante de 
tiempo t.
4.1 Recta tangente y recta normal
De lo aprendido en la unidad de Geometría Analítica, se necesi-
tan dos datos para encontrar la ecuación de una recta estas condiciones 
pueden ser o dos puntos o el punto y la pendiente de dicha recta. 
4.1.1 Recta tangente
Para el primer caso necesitamos encontrar la ecuación de la rec-
ta tangente que es aquella que toca a la curva únicamente en el punto 
dado. Dado que la derivada nos permite obtener la pendiente de la recta 
tangente en cualquier punto de la curva. La ecuación de la recta en don-
de las variables son x y y con el punto P(x
1
,y
1
) y la pendiente m
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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Viene dado por:
y-y
1 
= m(x-x
1
)
El valor de x
1 
corresponderá al valor en el eje de las abscisas x en 
donde se quiere encontrar la recta tangente y el valor de y
1 
es el valor de 
evaluación de la función en el punto x
1 
; es decir y
1 
= f(x
1
)
4.1.2 Recta normal
La ecuación de la recta normal se obtiene fácilmente al considerar 
que pasa exactamente por el mismo punto P(x
1 
, y
1
) y es perpendicular 
a la recta tangente. 
Así la condición de perpendicularidad exige de acuerdo a lo 
aprendido en la Unidad 1 que la pendiente de la recta normal y la pen-
diente de la recta tangente cumplan m
n
m
t
 = -1 (condición para que dos 
rectas sean perpendiculares) de donde:
m
n
 recta normal
m
t 
recta tangente
EjErcicios rEsuEltos
ER 1. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a 
la curva f(x) = 3x2+2x-1 en el punto cuando x=2
solución
Observando la función podemos darnos cuenta de que es una pa-
rábola horizontal. Necesitamos encontrar el valor de y de la coordenada 
del punto cuando x=1 para eso evaluamos dicho valor en la función f(x) 
y tenemos f(1) = 3(1)2+2(1) -1 = 4 , es decir el punto es P(1;4). Ahora 
necesitamos encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva en 
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
323
este punto, para ello trabajamos con la derivada de la función dada y 
reemplazamos en ella el valor de x=1 .La derivada de la función es f ‘ (x) 
= 6x + 2, si evaluamos el valor de x del punto tenemos f ‘ (x) = 6(1)+2 = 
8 que representa la pendiente m=8.
Con los datos del punto y la pendiente reemplazamos en la fór-
mula de la ecuación de la recta. 
y - y
1 
= m(x - x
1
)
y – 4 = 8(x-1)
y = 4 +8x -8
y = 8x -4 → recta tangente
La recta normal pasa por este mismo punto y es perpendicular a 
la recta tangente es decir: m
n
m
t 
= -1, como ya tenemos la pendiente de 
la recta tangente despejamos la pendiente normal y tenemos m
n 
= -1/m
t
 
, reemplazando datos nos queda: 
m
n
=-1/8 = -1/8
Aplicando nuevamente la fórmula de la recta tenemos:
y – y
1 
= m(x -x
1
)
y -4 = -1/8(x-1)
y = 4 -x/8 +1/8
y = -x/8 +33/8 → recta tangente