problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (31)

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Caṕıtulo 1. Conjuntos
Si x /∈ A ∪B, entonces 1A∪B(x) = 0. Dado que x /∈ A y x /∈ B :
1A(x) + 1B(x)− 1A(x) · 1B(x) = 0 + 0− 0 · 0 = 0.
Por tanto, ∀x ∈ X se verifica 1A∪B(x) = 1A(x) + 1B(x) − 1A(x) · 1B(x) lo
cual implica que 1A∪B = 1A + 1B − 1A · 1B.
(v) Para todo x ∈ X se verifica 1∅(x) = 0 pues x /∈ ∅. Es decir, 1∅ = 0
(función nula). Por los apartados (iii) y (iv), 1A∪B = 1A + 1B − 1A∩B y si
A ∩B = ∅ queda 1A∪B = 1A + 1B.
La diferencia simétrica A∆B es igual a (A−B)∪ (B−A) siendo ésta unión
disjunta, por tanto
1A∆B = 1A−B + 1A−B = 1A∩Bc + 1B∩Ac = 1A · 1Bc + 1B · 1Ac
= 1A · (1− 1B) + 1B · (1− 1A) = 1A + 1B − 2 · 1A · 1B.
1.13. Asociatividad de la diferencia simétrica
Sean A,B,C subconjuntos de un conjunto universal X. Usando propiedades
de la función caracteŕıstica, demostrar la propiedad asociativa de la diferen-
cia simétrica, es decir (A∆B)∆C = A∆(B∆C).
Solución. Para cualquier par de subconjuntos M y N de X, sabemos que
M = N si y sólo si 1M = 1N . Bastará pues demostrar que
1(A∆B)∆C = 1A∆(B∆C). (1)
Sabemos también que
1M∆N = 1M + 1N − 2 · 1M · 1N .
Desarrollemos separadamente 1(A∆B)∆C y 1A∆(B∆C) :
1(A∆B)∆C = 1(A∆B) + 1C − 2 · 1(A∆B) · 1C
= 1A + 1B − 2 · 1A · 1B + 1C − 2 (1A + 1B − 2 · 1A · 1B) · 1C
= 1A + 1B + 1C − 2 · 1A · 1B − 2 · 1A · 1C − 2 · 1B · 1C + 4 · 1A · 1B · 1C .
1A∆(B∆C) = 1A + 1(B∆C) − 2 · 1A · 1(B∆C)
= 1A + 1B + 1C − 2 · 1B · 1C − 2 · 1A (1B + 1C − 2 · 1B · 1C)
= 1A + 1B + 1C − 2 · 1A · 1B − 2 · 1A · 1C − 2 · 1B · 1C + 4 · 1A · 1B · 1C .
Se verifica (1), por tanto (A∆B)∆C = A∆(B∆C).
	Conjuntos
	Asociatividad de la diferencia simétrica
	Partes de uniones e intersecciones