problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (42)

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2.5 Máximo, mı́nimo, cotas
Dado que rk ∈ N∗, se verifica xRz. Concluimos que R es relación de orden.
6. Elijamos (por ejemplo) x = 1. Entonces, 1 6= 5 · 1, es decir 1 6 R1. No se
cumple la propiedad reflexiva, por tanto R no es relación de orden.
7. (i) Reflexiva. Para todo x ∈ R se verifica x− x = 2 · 0, es decir xRx.
(ii) Antisimétrica. Para todo x, y ∈ R :{
xRy
yRx
⇒
{
∃n entero no negativo : y − x = 2n
∃m entero no negativo : x− y = 2m ⇒ 0 = 2(n+m).
La igualdad 2(n + m) = 0 implica n + m = 0. Ahora bien, como n,m son
enteros no negativos, ha de ser necesariamente n = m = 0 y por tanto x = y.
(iii) Transitiva. Para todo x, y, z ∈ R :{
xRy
yRz
⇒
{
∃n entero no negativo : y − x = 2n
∃m entero no negativo : z − y = 2m ⇒ z − x = 2(n+m).
Dado que n + m es entero no negativo, se verifica xRz. Concluimos que R
es relación de orden.
8. Reflexiva. Para todo R ∈ R, trivialmente se verifica xRy ⇒ xRy para
todo x, y ∈ A. Es decir, R ≤ R.
Antisimétrica. Sean R,S ∈ R tales que R ≤ S y S ≤ R. Entonces, para
todo x, y ∈ A se verifican las implicaciones xRy ⇒ xSy y xSy ⇒ xRy. Por
tanto, para todo x, y ∈ A se verifica xRy ⇔ xSy, lo cual implica R = S.
Transitiva. Sean R,S, T ∈ R. Entonces, para todo x, y ∈ A se verifica:{
R ≤ S
S ≤ T ⇒
{
xRy ⇒ xSy
xSy ⇒ xTy ⇒ (xRy ⇒ xTy)⇒ R ≤ T.
Concluimos que ≤ es relación de orden en R.
2.5. Máximo, mı́nimo, cotas
1. En N = {0, 1, 2, . . .} con el orden usual ≤, hallar, caso de existir los ele-
mentos mı́nimo y máximo.
2. En Z− = {. . . ,−3,−2,−1} con el orden usual ≤, hallar, caso de existir
los elementos mı́nimo y máximo.
3. En Z con el orden usual ≤, hallar, caso de existir los elementos mı́nimo
y máximo.
4. En A = {3, 7, 8, 12} con el orden usual ≤, hallar, caso de existir los ele-
mentos mı́nimo y máximo.
	Relaciones
	Máximo, mínimo, cotas