Alvaro Pinzon - Cálculo II integral 1-Harper Row Latinoamericana (1973)

Vista previa del material en texto

c á lc u lo II - integral
colección harper
c á lcu lo II
integral
teoría 
560 problem as resueltos 
485 ejercicios propuestos
álvaro pinzón
Maiemávco de lo Universidod Nacional de Colombia 
Miembro de la Mathemoticol Society of America 
y de lo Malhemalical AssocioUon of America
m
H A R L A , S . A . d e C . V . 
H a r p e r & R o w L a tin o a m e ric a n a
M éxico. Buenos A ires. Panamá, Bogotá
C A L C U L O I I (IN T E G R A L ) 
Prim era edición
Copyrighl © 1973 por Harper * Row Latinoamericana. Haría. S. A . de C. V .. An­
tonio Caso. 142. México. D. F ., México. Miembro de la Cámara Nacional de la 
Industria Editorial. Registro N.* 723. Reservados todos los derechos. Queda 
terminantemente prohibido reproducir este libro total o parcialmente sin permiso 
expreso de los editores. Es propiedad.
Standard Book Number 06-316989-3
Dirección editorial: Wenceslao Onega 
Preparación técnica: José Martínez Alaminos 
Cubierta e ilustraciones: Secos Lanchas
C u idado y d irección técnica de H E R O E S . S . A . Ed ito r.— T o rrcla ra . 8.— M adrid-16
Printed in Spain— Impreso en Esparta 
I S B N. 84-399-0514-9 
Depósito legal: M . 5.131-1973
H E R O E S . S . A .-Torrclara. 8.-M adrid-l6
Contenido
PR O LO G O ...................................................................................................................................... 7
c a p i t u lo 1. A x io m a d e p le n itu d . C o n tin u id a d u n ifo rm e ....................................... 9
M ayorantes. m inorantes, extremos de un con jun to ..................................... 9
Axiom a de plenitud o con tinu idad .................................................................. 10
Continuidad uniform e........................................................................................ 20
C A P IT U LO 2. L a in te g ra l d e fin id a ........................................................................................ 28
Propiedades de la integral defin id a.................................................................. 31
C A P IT U LO 3. Fu n c io n es d e fin id a s p o r u n a in te g ra l. F u n c ió n p r im it iv a y a p li­
c a c io n e s . In te g ra le s in m e d ia ta s ................................................................ 46
Prim er teorema fundam ental del cá lcu lo ........................................................ 46
Segundo teorem a fundam ental del cálcu lo ..................................................... 47
c a p it u l o 4. F ó rm u la d e l ca m b io d e v a r ia b le .............................................................. S I
C A P IT U LO S . In te g ra c ió n p o r p a rte s .................................................................................. 62
C A P IT U LO 6 . In te g ra le s tr ig o n o m é tr ic a s .......................................................................... 69
C A P IT U LO 7. T e o re m a d e su s titu c ió n re c ip ro c a p a ra in te g ra le s .......................... 77
C A P IT U LO 8 . F ra cc io n e s ra c io n a le s ..................................................................................... 85
Factores cuad ráticos........................................................................................... 86
Pruebas de la descom posición en fracciones parciales................................. 87
M étodo de H erm ite............................................................................................. 90
C A P IT U LO 9. In te g ra le s d e l tip o / = f /?(scn .y . eos .v) rf.r.............................................. 105
Integración de rad ica les ..................................................................................... I I I
Integración de exponenciales............................................................................ 117
Fórm ulas de recurrencia.................................................................................... 120
c a p i t u lo 10 . C á lc u lo d e in te g ra le s d e fin id a s . M é to d o s ............................................... 124
C A P IT U LO 11 . A r e a ..................................................................................................................... 137
A rea com prendida entre los grafos de dos funciones................................... 137
c a p it u l o 12. V o lu m e n d e só lid o s d e se cc ió n c o n o c id a ............................................. I47
Volúm enes de revo lu ción ................................................................................... I48
c a p it u l o 13. A p lic a c ió n d e in te g ra le s d e fin id a s a la re s o lu c ió n d e p ro b le m as
d e f ís ic a ............................................................................................................... I60
5
C A P IT U LO 14. L o n g itu d d e a rc o ......................................................................................... 170
A rca de una superficie de revo lución .............................................................. 171
Las integrales com o lim ites de sum as............................................................. 172
A rcos y curvas en el p lano................................................................................ 173
C A P IT U LO 15. M o m e n to s . C e n tro d e g ra v e d a d ............................................................. 182
Teorem as de Pappus.......................................................................................... 183
c a p it u l o 16. C o o rd en ad as p o la re s ................................................................................... 202
A rca en coordenadas polares............................................................................ 203
Longitud de a rco ................................................................................................ 203
Volum en de un sólido de revo lu c ió n .............................................................. 203
A rea de una superficie de revo lución .............................................................. 203
C A P IT U LO 17. In te g ra le s im p ro p ia s .................................................................................... 214
N otaciones O y o ................................................................................................ 214
C A P IT U LO 18. Fu n c io n es e x p o n e n c ia l, lo g a r ítm ic a e h ip e rb ó lic a .......................... 226
Función exponencial natural (o neperiana)................................................... 227
Logaritm o de base cu a lq u ie ra ......................................................................... 228
Función exponencial.......................................................................................... 229
Función exponencial n a tu ra l............................................................................ 229
c a p it u l o 19. Fu n c io n es h ip e rb ó lic a s ................................................................................ 239
Funciones recíprocas de las funciones circu lares c h iperbólicas................... 241
c a p it u l o 20. A p ro x im a c ió n p o lin o m ia l d e la s fu n cio n es. D e s a rro llo s lim ita d o s . 251
Polinom io de T a y lo r generado por una función........................................... 251
D esarro llos lim itados.......................................................................................... 253
D esarro llos generalizados.................................................................................. 253
c a p it u l o 21. C ilc u lo n u m é ric o ........................................................................................... 268
M étodo de las partes proporcionales. In terpolación lin ea l......................... 269
M étodo de N cw to n ...........................................................................................270
C álcu lo aproxim ado de integrales d e fin id as................................................. 271
Regla de S im p so n .............................................................................................. 273
a p c n d ic c F o rm u la r io . G e o m e tr ía a n a lít ic a .............................................................. 280
C urvas y superficies............................................................................................ 292
Se rie s .................................................................................................................... 3<M
Integrales.............................................................................................................. 308
B IB L IO G R A F IA .................................................................................................... 325
IN D IC E .................................................................................................................. 326
6 CO N TEN ID O
Prólogo
Desde el pun ió de vista de las aplicaciones de la m atem ática, puede decirse que lo s métodos 
tradicionalm cnte agrupados bajo los nombres de cálcu lo diferencial y de cálcu lo integral tienen 
por objeto resolver los problem as del cam bio y del m ovim iento. En efecto, e l cálcu lo diferencial 
se propone ha llar la razón de variación entre dos m agnitudes variab les dependientes una de 
o tra, y no ya en el caso de variaciones fin itas solam ente, sino también cuando dicha variación 
es instantánea. A sí, e l averiguar la rapidez con que se desplaza un cuerpo bajo la acción de la 
gravedad plantea problem as de velocidades m edias lim ite, cuya determ inación com pete pre­
cisam ente a los m étodos diferenciales. Y al con trario , si se conoce el com portam iento instan­
táneo de una m agnitud variab le, es asunto de los m étodos de integración el encontrar la m archa 
global de las m agnitudes que intervienen en el fenóm eno. A s i, la determ inación de la trayectoria 
de un cuerpo del que se conocen, por ejem plo, las coordenadas instantáneas, es cuestión que 
concierne a i cálcu lo integral.
Sobra decir que el cálcu lo d iferencial, y con m ás veras el cálcu lo integral, son dom inios de 
la m atem ática de indudable refinam iento y que a veces plantean d ificultades de cierta delicadeza 
en cuanto a su tratam iento. P o r otra parte, el am plio uso que hacen la ciencia y la técnica m oder­
nas de estos m étodos de cálcu lo , com o lenguaje indispensable para expresar las leyes físicas 
con esquemas m atem áticos adecuados, hace ineludible para todo estudiante de ciencias, de 
ingeniería, de econom ía, etc., la adquisición segura de d ichos m étodos, puesto que han de ser 
e l instrum ento de labo r perm anente y puesto que el dom inarlos sin vacilaciones es condición 
prim aria del trabajo cien tífico eficaz y serio.
Precisam ente, la colección de problem as resueltos detalladam ente que constituyen esta 
obra ha sido concebida con el objeto de llevar a l estudiante a una asim ilación m ás rápida y 
segura de tales m étodos de lo que suele ser posible con los textos corrientes; no se trata , por 
cierto , de una sarta de problem as de adiestram iento m ecánico, sino de unas bases teóricas 
sólidas y suficientes que tienen com o co ro lario una serie cuidadosam ente graduada en d ificu l­
tad de ejercicios que ap lican en seguida la teoría expuesta. Y la resolución detallada tiene pre­
cisam ente por objetivo acostum brar al que aprende a trabajar correctam ente, dando todos los 
pasos indispensables y fundam entando todas sus operaciones en la teoría que se acaba de ex­
poner o que ya ha sido expuesta en capítu los anteriores. A sí, etapa por etapa, e l estudiante es 
conducido por m ano firm e hasta e l m om ento en que,sin siquiera percatarse, ya sabe hacer los 
problem as solo, ya ha aprendido. E s el m omento en que puede decirse plenam ente que la técnica 
de cálcu lo particu lar que se estudiaba ha sido asim ilada a la perfección.
Tam bién se han tenido en cuenta aquí las diversas posibilidades en cuanto a niveles de 
estudiantes que puedan aprovechar esta obra, y por ello es factib le em plear el lib ro a cualquier 
n ive l eligiendo problem as de tipo m ás « in tu itivo » o m ás «fo rm al», según se prefiera de acuerdo 
con el interés particu lar de aprendizaje.
En cuanto al orden de disposición, cada cap ítu lo desarro lla , pues, en su serie de problem as, 
ordenados por d ificu ltad creciente, una noción especifica a la cual se refieren las definiciones, 
princip ios y teoremas que aparecen en los prelim inares del cap itu lo , y es por ello aconsejable 
atenerse escrupulosam ente a l orden de exposición que se da y trabajar los problem as de acuerdo 
con su num eración correlativa. A l final aparece un fo rm u Lrio de geom etría ana litica y una 
relación de 381 integrales numeradas.
T ras un atento estudio de la teoría que abre cada cap itu lo , recuérdese que, com o proceso 
de asim ilación m ás indicado, se ha de tra ta r de resolver por propia cuenta los m ás posibles de
7
8 PRO LO G O
los problem as y com parar después los resultados obtenidos con los que aparecen en el lib ro ; 
y en ocasiones será m uy provechoso revisar previam ente los «trucos» lógicos, por así llam arlos, 
que perm iten m uchas veces em prender la resolución de un problem a de aquellos que consti­
tuyen el «dolor de cabeza» de todo principiante. En suma, la colección de problem as que aquí 
se presenta obedece a la c lara convicción de que todo curso de m atem ática tiene por colum na 
vertebral e l estudio y solución de ejercicios y problem as.
E l autor desea m anifestar su agradecim iento a l profesor Jesús M aría Castaño por la revisión 
critica de la obra y por sus valiosas sugerencias, asi com o a los señores Francisco G utiérrez y 
W enceslao O rtega, de H arper & R ow Latinoam ericana, por la colaboración y estim ulo que en 
todo m omento m e brindaron.
A . P in z ó n
CAPITULO [)
A x io m a de p lenitud. 
Continu idad un ifo rm e
E l axiom a de plenitud de los núm eros reales es m uy im portante en algunas aplicaciones y perm ite 
d istinguir los núm eros racionales de los reales, puesto que los racionales no cum plen este axiom a. 
S in él no se puede dem ostrar la existencia d e J l . Tam bién perm ite estudiar algunas propie­
dades de las fundones continuas.
M a y o r a n t e s , m in o r a n t e s , e x t r e m o s d e u n c o n ju n t o
D efin ición. I . U n núm ero real M es el m áxim o de un con jun to S de núm eros reales si, y 
solo si, M 6 S y x s M , para todo x e S . Se escribe M » max S . 2 . U n núm ero real m es 
e l m ínim o de un conjunto S de núm eros reales si, y solo si, m e S y m ¿ x . para todo x e S. 
Se escribe m = m in S. A lgunos conjuntos tienen m ínim o y m áxim o; o tros uno de los dos o 
ninguno. P o r ejem plo:
а ) a - m in [o , b ] = m in [o , 6 Í-
б ) ¿> ■ m ax [o . ¿>] = max Jo . b ).
c ) a , á [ no tiene mimmo.
d) a , b [ no tiene máximo.
e) a, b [ no tiene n i m áxim o ni m ínim o.
D efin ición. 1. E l núm ero real u es un m ayorante (o co ta superior) de un conjunto S de núm eros 
reales; equivale a que x £ u. para lodo x e S (es decir, x e S im plica x £ u). 2. E l núm ero 
rea l I es un m inorante (o cota in ferio r) de un con junto S de núm eros reales; equivale a d ed r que 
/ £ x , para todo x € S (es d ed r, x e S im p lica que / á x).
Ejem pltt /-7. S i S = ] l , 2 [. cualquier núm ero m ayor o igual a 2 es m ayorante y cualquier nú­
m ero m enor o igual a I es m inorante. Z no es m ayorado n i m inorado.
U n conjunto S de núm eros reales se dice acotado si existe un núm ero c ta l que para lodo 
x e S . | x | £ c.
Definición. I . U n núm ero real c es el extrem o superior de un con jun to S de núm eros reales 
si. y solo si. c es d m ínim o de todos los m ayorantesde S. En o tras palabras,
c - sup S = m in (u : x e S im plica x S u¡ o Vx 6 S . x £ c y Ve > 0. 3x c S
ta l que x > c - r.
9
10 A X IO M A DE PLEN ITU D . C O N T IN U ID A D UN IFORM E
1 U n núm ero real L es d extremo inferior de un conjunto S de números reales si. y solo si. L 
es d m áxim o del conjunto de todos los m inorantes. En otras palabras.
/. - in f S - max { / : x t S im plica / i x }
F igu ra 1-1
Ejem plo 1-2. Su p ja . f>{ - b - max ja . ¿>J; in f jo . = a = mm [a , b [ ; sup J - cc, 0 [ - 0 - 
■ in f ]0 , - co [. Puede suceder que algunos conjuntos no tengan ni m áxim o n i m ínim o n i ex­
trem o superior n i inferior. P o r ejem plo, e l conjunto R de los núm eros reales no tiene extremo 
superior n i in ferior porque R no tiene m ayorantes n i m inorantes. A los conjuntos que carecen 
de m ayorantes y m inorantes se les llam a no acolados.
E l siguiente axiom a, llam ado de plenitud o continuidad, garantiza la idea in tu itiva que se 
tiene de que si un conjunto es m ayorado. entonces tiene un m ayorante m inim o. es decir, e l ex­
trem o superior del conjunto. En otras palabras, este axiom a garantiza que el conjunto R de 
los números reales no tiene vacíos o cortaduras.
A x i o m a d e p le n itu d o c o n t in u id a d
S i S es un conjunto de números reales no vacío y si S es m ayorado. entonces d extremo superior 
de S pertenece a R.
Los núm eros radonales no poseen esta propiedad; po r ejemplo, e l conjunto {x e Q : x J < 3J 
no tiene un m ayorante m inim o que sea racional, pero ^ 3 es el núm ero real que es el extremo 
superior d d conjunto {x € R : x* < 3 }.
E l axiom a de plenitud garantiza la existencia de núm eros suficientes para poder efectuar 
con ellos todas las operaciones que se deseen.
P r o b le m a 1-1
P R O B L E M A S R E S U E L T O S
M uestre que el conjunto de núm eros reales ja.¿>[ no tiene minimo.
S o lu c ió n . Vamos a hacer la demostración por contradicción. Suponga que existe un número c lal que 
c - min Ja. fc[. Por definición de minimo. c satisface las dos condiciones: a) c e Ja, ó{. es decir, a < c < b, 
y h) r S i para todo x e Ja. h[ . Observe que si la primera condición se cumple, la segunda no.
(a 4- c)/2 e Ja , fc{ porque a < c •* a < (a + c)/2 < c. y. por lunto. (a + c)/2 < c contradice la con­
dición «Je que c £ x. Vx e ja. ft[. Entonces c no es el minimo de Ja. /»[. Los demás casos se demuestran en 
forma análoga.
P r o b le m a 1-2 S i 5 es un conjunto de núm eros reales con un máximo, ese máximo
es único.
S o lu c ió n . Si M , = max S y M , - max S. entonces como M , c S y M , £ M ¡ y como M , € S «* 
«* Af, £ Af |. por tanto, M , - M ¡.
A X IO M A DE PLEN IT U D . C O N T IN U ID A D UN IFORM E 11
P r o b le m a 1-3 M uestre que cualqu ier conjunto fin ito 5 de núm eros reales tiene un máximo.
S o lu c ió n . Demostración por recurrencia. Sea S d conjunto de lodos los enteros positivos n tales que 
lodo conjunto de n números reales tenga un máximo.
a) 1 6 S. Sea 7 , ¿ { x : x 6 R }. max 7 , = x, porque x e 7 , y x 5 x. Vx e 7 ,.
b) Suponga que t e S. Sea 7 , . , = { x ,: i - 1 .2 .....*+ I }. Sea 7 , = { x ,: i => 1 ,2 ....,* }. Entonces
Th. t = Tt \j {x4. ,}. 7 , es un conjunto de fc números reales y k cS . Sea max T , = m. además max ¡x , . ,} - x ,,, . 
Entonces, o bien x ,. , < m, o bien xt . , — m, o bien m < x ,. |.
En los dos primeros casos se tiene que xt 5 m para < = 1 .2 .... * + I . ... Asi max 7 » ., = m.
En el tercer caso, x, 5 m para i = 1, 2, . . . .* y m < x , . , ; .-. X, 5 X , , , para < = 1 .2 ....,* + I. En
este caso, max 7 , . , = x » .,. Hemos mostrado que si * e S » * + I e S.
De a) y ¿») se conduje que S = a los enteros positivos. Por tanto, un conjunto finito de números reales 
* <j> tiene máximo.
P r o b le m a 1-4 M uestre que max ]o . + x>[ no existe.
S o lu c ió n . Suponga que max Jo. + c o [ - c. Entonces c c ] u , + t [ y x S f , para todos x e Jo . + x [. 
c E Jo . + co[ implica que c > a Pero c + I > c > a, .-. c + l > a Entonces c + I 6 Ja . + x [ y 
c + I > e, lo cual contradice a x 5 c para todo x c Ja . + » [ . Por tanto. Ja , + a j[ no tiene máximo.
P r o b l e m a 1-5 Sea S = {2 + l/n, n entero p ositivo }, entonces m ax S = 3.
S o lu c ió n . Hay que mostrar que: a ) 3 e S, y b) x ¿ 3 . V x e S .
a ) Para n = I. 2 + \/n = 2 + l/ l = 3. entonces 3 e S.
b) Suponga que x e S. Entonces, para algún entero positivo n ,.x = 2 + l/n,. Como n, es un entero 
positivo, n, ¿ I, entonces l/n, <. I, lo cual implica que 2 + l/n, 5 2 + 1 =* x = 2 + l/n, 5 3. Entonces, 
para todo x e S. x 5 3.
De a ) y h) se concluye que 3 e S. y para todo x e S. x 5 3. .*. 3 - max S.
P r o b le m a 1-6 M uestre que el conjunto S = { I - l/n : n e Z ’ no tiene m áxim o}.
S o lu c ió n . Demostración por contradicción, a) Suponga que JV = max S = N e S y x S N . Vx c S.
b) S i N e S, entonces, para algún entero positivo n,. N = I - l/n,.
Se puede hallar un elemento de S mayor que iV de la siguiente manera: como n, es entero positivo, entonces 
n, + I también lo es, y I - l/(n, + 1) e S . Ahora n, + 1 > n, porque I > 0 y l/(n, + 1) < l/n,
^ - M n , + l)> - l/ n ,. Además I - l/fn, + l)> I - l/n, = N ~ I — l/fn, + l)> N y I - 1/fn, + l)c S .
contrario al hecho de que I - I/In, + I ) o S.
P r o b l e m a 1-7 S i max S « s y c > 0 y c 5 = {e x : x e S } , entonces max c S = es.
S o lu c ió n , max S - s equivale a que s f S y x S s , Vx e S : s e S implica que es e cS. Ahora, r e cS 
a- z ~ ex para algún x e S. pero x S i y r ? 0 ^ ex 5 es, es decir, i 5 es. Vz e cS.
De lo anterior tenemos que es e cS y z <, es. Vz e cS. . '. max cS = es.
P r o b le m a 1-8 Sean T y S conjuntos de núm eros reales con max S = s y max T = i.
D efina S + T = ¡x + y : x e S y y e T } , entonces max (S + T ) = s + t.
S o lu c ió n , a ) max S ~ s y max T = i. entonces s e S y i e 7 y x 5 a. Vx e S y x 5 i, Vt e T.
6 ) j f S y i e T = ( j + t ) e ( S + T).
12 A X IO M A D E PLEN ITU D . C O N T IN U IO A D UN IFO RM E
c) Suponga que z€( f * + 7 * ) í » z - x + y. Pero x £ s y > £ i. por lanío, x + y á s + r, es decir, 
: £ j + i. Vz e (S + T).
</) De />) y c) se licnc que s + i e (S + 7 ) y z £ s + f. Vz e (S + T). max (S + T ) = i + l.
P r o b le m a 1 9 s i S y T son conjuntos de reales, tales que max S = s y max T = /,
¿tienen : a ) S n T, b ) S u T. necesariam ente un m áxim o? S i es asi, ¿cuál es? S i no. dé un 
contracjcm plo.
S o lu c ió n , a) N a Sea S = [0, 1] y T = ]0, l [ u { 6 } => max 5 = 1, max T = 6, S n T = ] 0. l [ q u e 
no liene máximo.
b) I. Sea c = max {s, t } c í { j , r } ; por tamo, c “ s y c € S o c •* t y c e T.
2. S i c e S ^ c e S u T y s i c e T . entonces c e S u T : por lanío, en cualquier caso, c e S u T .
3. Sea s e S u T ; x e S u T x e S o x e T. « f S » « S i s e (porque c = max { s, t J, 
s S c y t s c X x e T x s i S c Emonces x e S u T *> x s c.
4. De 2 y 3 se liene que c € S u T y x <. c. Vx e S u T. max (S u T ) - c.
P r o b le m a 1-10
P r o b le m a 1-11
D esarro lle los problem as anteriores s i en vez de m áxim o es m ínim o.
M uestre que el extrem o superior de un conjunto S es único.
S o lu c ió n . Sea u, = sup S y u¡ = sup S. a) Suponga que u, es el mínimo mayorante de S. Cualquier 
número menor que u, no es extremo superior de S ; por tanto, u , +: u, »* u, s u,.
b) Suponga que u, es el mayorante mínimo de S. Cualquier número menor que u, no es extremo supe­
rior de S ; por tanto, u, < U j ■» u, í u,.
De a ) y b) se obtiene: u, = u2.
P r o b le m a 1-12
M uestre que s i u es un m ayorante d e S y u e S *» u - sup S . Adem ás
que u = max S.
S o lu c ió n , a) u es extremosuperior de S x <, u, Vx e S.
b) S i c < u =* 3x e S tal que x > c, es decir. x = u e S y u > c .
c) De ti) y b) tenemos que sup S - u.
J ) u f S y x ü x í x e S implica que max S ■ ii.
P r o b le m a 1-13 M uestre que si
S o lu c ió n . Se debe mostrar que: a) x £ I, Vx € S. y b) si c < 1 » 3x e S tal que x > c.
S i x e S « * x - l - l/n, para algún entero positivo n,. Entonces n, £ 0 ** l/n, > 0 ■* - l/n, < 0 
» I — l/n, < 1 ; por tanto, 1 - l/n, = > f S » » S 1 Esto demuestra a).
Para mostrar b) se desea hallar un entero positivo n, tal que 1 - l/n, > c con c < I. Tome a n, como 
un entero positivo tal que n, > l/(l - c) y l/ (l - c) > 0 => l/n, < I - c porque c < I => I - c > 0. 
Entonces - l/n, > c — 1 ^ I — l/n, > c. Por tanto, 1 - l/n, = x e S y x > c.
P r o b le m a 1-14 S i S = { y - ; n e Z * j , entonces sup S = - j.
S o lu c ió n . De nuevo hay que mostrar que: a ) x S y , V r í S, y b) si c < -y =• 3x e S tal que
x > c.
a ) Se* x c S. x e S - -=̂ — para algún eniero positivo n,. Com o es positivo,
I I I w c I ‘ * *
7 " 2 Í T < T ' * v , t S > x S T
w a * « 4 • 7 . - -H T “ * n" > ‘" s « c *i «■ > - -J- - ¿ T e s ’ T - & ; > «•
De a ) y fe) se concluye que sup 5 = y .
A X IO M A D E PLEN ITU D . C O N T IN U ID A D U N IFO R M E 13
P r o b le m a 1 15 Sea T un conjunto m ayorado de núm eros reales y 5 c T . S * <p. 
Dem uestre que: u) su p 5 ex iste; b ) sup T ex iste; c ) sup S s sup T.
S o lu c ió n , u) S / í por definición Como T es mayorado. existe u con x £ u. Vx c T. Pero S f i T. 
por tanto, x e S » x c T. Entonces x £ u, Vx e S. Como S es mayorado. por el axioma de plenitud S 
tiene extremo superior.
fe) T es mayorado. Adonis S A ó *> 3x e S. Pero S f i T *> x e T ** T # ó . Por d axioma de 
plenitud tiene extremo superior.
c) Sea sup S - s y sup T - t Suponga que r < í . Por definición de sup S. si / < s •* 3x € S tal que 
x > L Pero x t S c T =» x e T. Así. se tiene que x e T con x > r. Lo cual constituye una contradicción 
porque l « sup T «» x S l, »x e T. Entonces s s i.
P r o b le m a 1 -1 6 1 ,
Dem uestre los problem as anteriores si en vez de extrem o superior
se tiene extrem o inferior.
P r o b l e m a 1-17
Sea 5 un conjunto acotado no vacio de núm eros reales. M uestre que
in f S á sup S.
S o lu c ió n . Como S * ó . entonces existe x € S. in f S S x <, sup S ; por tanto, in f S S sup S.
------------------- Sean 5 y T dos conjuntos no vacíos de núm eros reales tales que para
cada s e 5 y cada i e T ,s S l. M uestre que: a ) sup 5 existe, b) sup S 5 r.Vr e T c) in f T 
existe, d) sup 5 á in f X
S o lu c ió n , a ) Sea r f I Por hipótesis i S i . Vs e S. Entonces t es extremo superior de S ** S * $ 
es mayorado. Asi. sup S existe por d axioma de plenitud.
fe) Sup S S cualquier mayorantc de S. Entonas sup S S l. Como i es un demento arbitrario en T. 
entonces sup S s; l. V i e T.
c) Por fe), sup S es un minorante de T. lo cual implica que T i* ó y o minorado. Por tanto, inf T existe
d) Por c ) sup S es extremo inferior de T sup S £ inf T. puesto que el extremo inferior de cualquier 
conjunto es mayor o igual que cualquier minorante dd conjunto.
P r o b l e m a 1-19 S i 5 es un conjunto acotado y no va c ío de núm eros reales, e in f 5
= sup S . entonces S tiene solam ente un elem ento.
S o lu c ió n . Sea inf S =* 1c — sup S. Sea x 6 S. entonces inf 5 - k ¿ x y x £ * - sup 5. Pero x ¡ í * y 
' S i , entonces x • k. Entonces para todo x e S. x = t
P r o b le m a 1-20
Sean S y T dos conjuntos no vacíos de núm eros reales m ayorados.
Pruebe que s i x e S y y e T entonces x + y ^ sup S + sup T.
14 A X IO M A O E P L EN IT U D C O N T IN U IO A O U N IFO R M E
S o lu c ió n , a) Como S / d y T 4 4 y son mayorados. por el axioma de plenilud sup S. tup T existen
b) Por definición, x e S iftiplici que x £ sup S y y e T » y S sup T. entonces « + y S sup S 4 sup T.
Sean S y T subconjuntos de núm eros reales no vacíos y cada uno con 
extrem o superior, y sea S + T * { x + y : x e S , y e 7’ }. Pruebe q u e : a ) sup (S + 71 existe, 
y b) sup (S + T ) = sup S + sup T.
S o lu c ió n , a ) Por .el problema anterior, x + y £ sup S + sup T. V(x ♦ y ) e (S + T\ Entonces S 4 T 
es mayorado. Además, como S 4 ó y l 4 ó . S 4 T 4 ó Entonces, según d axioma de plenitud, sup (S 4 7) 
existe.
b) Sea sup S = s. sup T - r. sup (S 4 71 = u Por a ) u £ s ♦ l Suponga que u < s 4 i Tome a 
i + l - K - t entonces J - y < * y í - y < r ; entonces existe s, c S con s , > s — y y r, * 7* con
r, > I - -y.
Tenemos que s, + r, > j + t - t - u ** s, + i, c (S 4 7*) y s, -F f, > u = sup (S 4 T). Esto con­
tradice el resultado de que u = sup (S 4 T\ Asi, u = s + i, es decir, sup (S + T ) = sup S + sup T.
P r o b l e m a 1 -2 2 i Scan s . T y U subconjuntos de reales no vacíos, m ayorados y tales
que Vs € S . ( € T, 3u e U ta l que s 4- I S u. Entonces sup S 4- sup T <. sup U ,
S o lu c ió n . Sea sup S - s. sup T - í, sup U - a Suponga q u c í 4 l > i * . S c a ( s 4 l ) - u - t E n - 
tonccs i - y < i y i - y < i . Por tanto, existe s, c S con j , > j - | y i , € T con r, > l - -y. De 
donde s, 4 f, > s + i — r. - u.
Por hipótesis, existe u, e 1/ con u, 2 s , 4 I, . Por tanto, se tendrá que u, e U y u, ¿ u. Pero u » sup (/.
I r ° < m a ~ Sea S un con junto de núm eros reales, c una constante. Sea S - 
= {e x : x € S J . M uestre que para c £ 0 sup S existe, y que sup c S = c ■ sup S . y que si existe 
in f S . entonces in f c S = c-iní S . S i c < 0 y si sup S existe, entonces in f c S = c • sup S . y si in í S 
existe, entonces sup c S = c in f S.
S o lu c ió n . Si c « 0 , d resultado es obvio. S i e > 0. sea b - sup S.
a ) Sea z e cS; entonces i - es, x l S , x e S y h = sup S implican que x £ ó. y como c > 0. entonces
ex £ ch: por tanto, para todo z e cS, z - ex £ cb.
b i Sea A: < c6 . Entonces fc/c < b. k/c < b y b sup S implican que existe x e S con x > k/e. Sen
ex - z ; entonces ex e cS y ex > k. Asi. Vlc < cb, 3cx - z e cS con s > k.
I)e ti) y ó) se tiene que sup cS • cb.es decir, sup cS » c sup S.
Las demás demostraciones son análogas.
P r o b l e m a 1 -2 4 c „ . . .oca K el con jun to de los núm eros reales y x un rea l. M uestre que el
con jun to S *» R - { x } no es com pleto en el sentido de que existe un subconjunto no vacío 
de S m ayorado por un elem ento de S y que no tiene extrem o superior en S .
S o lu c ió n . Sea A d conjunto de todos los números reales menores que x. Entonces A no es vacio (puesto 
que x - I es un demento de A ) y A es mayorado en S (x + I es un demento de S. que es mayorante de A\ 
Para mostrar que A no tiene extremo superior en S. sea y un demento de S que se supone d mínimo mayo-
rantc de A. Se presentan dos casos: si x > y. entonces y < -y (x 4 y ) < x y y es menor que y ( x 4 y l de­
mento de A . y y no es un mayorante de A. S i y > x. entonces y > y (x 4 y ) > x , y j (x 4 y ) es un ma- 
yorantc de A menor que d supuesto, mínimo mayorante. lo cual es una contradicción.
A X IO M A D E P IE N IT U D C O N T IN U ID A D U N IFO R M E 15
M uestre que lo d o con jun to de núm eros reales m inorado tiene un 
m inorante m áxim o.
S o lu c ió n . Sea A un conjunto no vacio de reales y B m - A - ¡x : - x € A \ tí no es vado, puesto que 
A no lo ex S i >• es cualquier minorante de A. entonces - y es un nía y orante de B (Ia desigualdad - y > x - - a 
es equivalente a la desigualdad y < —x - 11» Sea s - sup B y definamos / = — y Se quiere mostrar que f 
es el extremo inferior de A. En primer lugar, l es un minorante de A. En segundolugar, si I es un minorante 
de A, entonces - 1 es un mayorantc de B y. por tanto. - 1 ¿ s - - I. es decir. I 5 f. Entonces A tiene un 
extremo inferior.
M uestre que el con jun to de todos los m inorantes de un con junto 
reales es vacio o un in terva lo de la form a ] - x . c ].
S o lu c ió n . Sea B el conjunto de todos los minorantes de A y suponga que B no es vacio. S i c es el extremo 
inferior de A. se quiere mostrar que B « J — x . cj. En primer lugar, todo elemento de B es un minorante 
de A y. por unto, menor o igual a c: por tanta B e J - x . c]. En segundo lugar, todo elemento x de J - x . c] 
verifica U desigualdad i S r y . por tanto, es un minorante de A ; x e B. por tanta ] - x . c ] e B
P r o b l e m a 1-2Ó
no vacio A de numere
P r o b l e m a 1-27 (Prop iedad arqu im ed iana.) S i a y b son núm eros reales positivos.
existe un en tero positivo n ta l que b < na.
S o lu c ió n . Demostracicm indirecta. Suponga que para todos los enteros positivos n, b > na. Sea 
S - ¡n a : n es un entero positivo}. Según la definición, S es mayorado (ó es un mayoranteL Entonces, por 
el axioma de plenitud, S tiene un mayorantc mínimo, digamos c. Como c - a < c, c - a no puede ser un 
mayorantc de S y. por tanto, existe un elemento de S. digamos n„a. tal que ngu > c - a Entonces (n0 + I to > c. 
Pero («o + 11 • a c S. Esto contradice el hecho de que c es el mayorantc mínimo de S. Por tanto, la hipótesis 
de que para lodo n, h ¿ na. no es verdadera. Asi. existe un n tal que b < na.
P r o b l e m a 1-28 P a ra cualqu ier t > 0 existe un en tero positivo n ta l que l/n < e.
S o lu c ió n . Sea a = e y fc = I. en d problema anterior.
P r o b le m a 1-79 J p a ra cua|qu¡c r núm cro rca| f, existe un entero m ta l que m - I i
£ b < m.
S o lu c ió n . Vamos a mostrar que existen enteros p y q tales que p < b < q. S i b > 0. entonces, haciendo
a - I. en el Problema 1-27. existe un entero positivo q tal que b < q. Aplicando este resultado al número
- b se tiene que existe un entero positivo, que llamamos -p . tul que - b < -p . Por tanto, existen enteren 
p y q tules que p < h < q. Asi parece que b está comprendido entre dos enteros consecutivos del conjunto
|p. P + I ......... p + (q - p) = q ). Para mostrar que esto es asi sea S el conjunto de los enteros positivos n
tales que p + n > b. S / ó porque q - p « S y. según el principio de la buena ordenación. S tiene un ele­
mento mínimo, digamos n©. Entonces, haciendo m ■ p > «,>. se tiene que m — I £ b < m.
P r o b l t m a 1 3 0 j núm eros racionales son densos en los reales.) S i a y ó son dos nú­
m eros reales tales que a < b. entonces existe un núm ero racio n a l r ta l que a < r < b.
S o lu c ió n . Por d Problema 1-28 existe un número entero positivo n tal que I In < b - a. Ahora, como 
La distancia entre dos racionales sucesivos de la forma m/n es l/n < b - a, parece que un número racional 
de esta forma está comprendido entre a y b. Por el Problema 1-29 sabemos que existe un entero m tal que
16 A X IO M A D E PLEN IT U D . C O N T IN U ID A D U N IFO R M E
m - I S an < m, es decir, (m — IV " Ü u < m/n Así. a < m/n. y como m/n - l/n S a. m/n S a + l/n 
Po r consiguiente, el número racional r = m/n está comprendido entre a y b.
P r o b l e m a 1 31 M uestre que el con jun to S d e todos los núm eros racionales positivos 
cuyos cuadrados son m enores que 2 es rnayorado. pero no tiene m ayoran te m ín im o en el con ­
ju n to de los núm eros racionales.
S o lu c ió n . S es mayorado. 2 es un mayorante de S. Según el axioma de plenitud. S tiene un. y solo un, 
extremo superior c en los reales. Vamos a ver que c2 - 2. y como ningún racional tiene por cuadrado a 2, 
S no tiene extremo superior en d conjunto de los racionales. Vamos a establecer que c2 ■* 2 mostrando que 
c2 < 2 y c2 > 2 producen contradicciones.
S i c = sup 5, entonces c debe ser positivo.
Caso 1. S i c2 < 2 se puede mostrar que existe un racional r e S (es decir, r2 < 2) tal que r > c. Esto con­
tradice la hipótesis de que c es d extremo superior de S. Ahora, si c2 < 2. entonces c2 < 4 y. por tanto, c < 1
También para n ¿ 2 , 0 < -2 — — < — S I.n n
Sea b m c + ——-— (n entero positivo); entonces ó es un número real mayor que c Eligiendo adecúa-í»
damentc a n se obtiene que b2 < 2.
t . . c . + J c l ^ £ Í + ( i ^ £ Í ) , = ( . + l = £ ! ( 2c + 2 ^ £ Í ) < c. + B ^ i *5 ,
S c2 + 12 - c1) = 2 . para n £ 5
2 — c 2Asi. b - c + ----— es un número real mayor que c tal que b2 < 2 .
Po r el problema anterior existe un racional r ta l que c < r < b. Entonces r2 < 2 y r e S. Esto contra­
dice el hecho de que c = sup S y. por tanto, c2 < 2 no se verifica.
Caso 2. S i c2 > 2, entonces se puede mostrar que existe un número real b que es menor que c y que es un 
mayorante de S. Esto contradice la hipótesis de que c es d sup S. S i c2 > 2 . entonces c2 + 2 < c2 + c2 = 2c*
y. por tanto. - < c. Haciendo b — c- ^ * se tiene que 0 < b < c. También b2 — 2 = ~~m+£ i - 2 =
c4 - 4cl + 4 I c2 - 2 \ 2 n
— 4? — " H H > 0
Entonces b2 > 2 y h es un mayorante de S menor que c. Esto contradice el resultado de que c = sup S 
y muestra que c2 > 2 no se verifica. Po r tanto, c2 = 2 y S no tiene extremo superior en el conjunto de los 
números racionales.
P r o b l e m a 1 -3 2 w „ . . . , ,
_______________________I M uestre que si S es un con jun to denso en un in te rva lo /. y si a y b
son dos elem entos de / con a < b, entonces existe una in fin idad de elem entos d e S en tre a y b.
S o lu c ió n . Po r definición, un conjunto S de reales es denso en un intervalo / si. y solo si, entre dos puntos 
de I hay un elemento de S. Po r definición, d conjunto A de todos los elementos entre a y ó no es vacio. Su­
ponga que es finito. Entonces A tiene un elemento máximo s: por tanto, todo elemento « d e ^ : a < * S j< fc . 
Como S es denso en /. existe un elemento x e S entre s y b y. por tanto, un elemento x e A entre s y b. en
contradicción a la desigualdad x £ s. que se verifica para todos los elementos x e A.
P r o b le m a 1 33 i M uestre que el núm ero y/2 es un núm ero irrac io n a l.
S o lu c ió n . Suponga que y/2 - p/q, p y q enteros, irreducible. S i existen los enteros p y q, entonces existen 
enteros m y n tales que ambos son positivos y uno de los dos no es par. De m/n = y/2 se deduce, al elevar 
a i cuadrado, que m2 = 2n2 y. por tanto, m es par. Haciendo m - 2k, k un entero positivo, se deduce que 
4Je2 ■ 2n2 o 2k 2 = n \ es decir, que n es par. Esto contradice la hipótesis de que m y n son ambos pares. Es 
decir. J l no se puede expresar en la forma J 2 - p/q.
A X IO M A D E PLEN IT U D . C O N T IN U IO A O UN IFO RM E 17
S i r- es un núm ero ra c io n a l s un núm ero raciona! d istin to de cero, 
y si x es irra c io n a l entonces los siguientes núm eros son todos irracionales: x + r. x - r. r - x.
X J. x/s. s/x.
S o lu c ió n . Cada parte de la demostración se hace por contradicción y hace uso dd hecho de que los nú* 
meros racionales son un cuerpo. Vamos a dar dos casos de la demostración, los demás se dejan al lector 
Suponga que x + r es un numero racional l : x + r — I. talonees x - i - r. que es racional (contradicción) 
Suponga que s/x es un número racional l : s/x — I. talonees r * 0 y x - xs/l. que es un número mcionul 
(contradicción).
P r o b l e m a 1-35 E l conjunto S de los núm eros irracionales es denso en R .
S o lu c ió n . Sean x y y. dos números reales distintos, con x < y. Entonces x - y / 2 < y - j2 y existe un 
número racional t tal que x — >/ 3 < r < y - ,/ !
(.'orno v '2 + r es irracional por d problema anterior, se ha mostrado que entre dos números reales dis­
tintos hay un elemento de S. Es decir. S es denso en R
P r o b le m a 1 -3 6 , .
Se diceque un num ero x es casi m ayorante de S si existe un numero
fin ito de núm eros y en S con y £ x. Análogam ente se define casi m inorante.
H alle los casi m ayorantes y casi m inorantes de los siguientes conjuntos (según la definición 
duda): o ) { l/n: n e Z , n * 0 } ; b) { x : 0 S x á y ¡l,x ra c io n a l}; c ) { x : x 2 + x - I < 0 } .
S o lu c ió n . Casi mayorante: Casi minorante:
a ) todo a > 0. a ) todo a < 0.
b) todo a ¿ y fí, b) lodo a i 0 .
c) lodo i í O. c) lodo a á [ - I +
P r o b l e m a 1-37 S i S es un conjunto in fin ito y acotado, m uestre que d conjunto B
de los casi m ayorantes de S no es vacío y es m inorado. _____
S i B existe, este núm ero se llam a lim ite superior de S . y se escribe lim S o lim sup S. 
Análogam ente se define lim S. H a lle lim 5 y lim S para los conjuntos del problem a anterior.
S o lu c ió n . I. Todo mayorante de S es casi mayorante; por tanto. B * ó- Ningún minórame de S puede 
ser un casi minorante (porque S es infinito), puesto que H es acotado interiormente por cualquier minorante 
dcS.
2 . a) 0 ; b) c) X z í- í- á ^ ., son los limites superiores.
Los limites inferiores son: a) 0 ; h) 0 ; r)
P r o b l e m a 1 -3 8 ... _ , , , . ,,
S i S es un conjunto in fin ito y acotado, m uestre que: a ) lim S £
£ lim S ; h ) lim S £ sup S ; c ) s i lim S < sup S . entonces S contiene un elem ento máximo.
S o lu c ió n , a ) S i x es un casi minorante de S y y un casi mayorante, entonces hay infinidad de números
en S que son menores que x o mayores que y. Como S es in fin ita entonces se debe tener que x £ y. Asi
U m S s I i m í . _______________
b) Es evidente que hra S £ a para un can mayorante a y a * sup S es un casi mayorante.
c) S i lim S < sup S existe un can mayorante x de S con x < sup S. Por tanta hay infinidad de nú­
meros de S que son mayores que x (y por lo menos uno. puesto que x < sup S> E J mayor de esta infinidad de 
elementos es d elemento máximo de S.
A X IO M A D E PLEN IT U D . C O N T IN U ID A D UN IFO RM E
(Teorem a del va lo r in term edio .) S i / es con tinua sobre [a , />] y 
/ (a ) < f ib ) y si i es cualqu ier núm ero ta l q u e / (a ) < i < f ib ), entonces existe un punto c e ]a , b [ 
ta l q u e / (c ) = t.
S o lu c ió n . Sea 5 el conjunto de puntos x 6 [a . 6 ] tales que /(x ) < i. S no es vacio porque a e S y es ma- 
yorado (b es un mayorantc). Entonces, por el axioma de plenitud. 5 tiene un mayorante mínimo, digamos c. 
Como a e S y b es un mayorantc de S. es evidente que c € [o, í>). Vamos a mostrar que fie ) = i probando 
que la hipótesis f ie ) ¿ l lleva a una contradicción. Entonces, si f (c ) = l. c no puede ser ni a ni b; luego
c e Ja . b[.
Caso /. S i f (c ) < l. entonces c € [a , b[ y existe un ¿ > 0 tal que
f(x ) < l para todo x c ]c - 6, c + ¿ [ n [a . b]
Asi hemos mostrado que existe un punto x e ]c. 6 ] tal que /(x ) < / y esto contradice el hecho de que c = sup S.
Caso 2. S i fie ) > i, entonces c € Ja . b] y existe ó > 0 tal que
fix ) > I para todo x e Je - 6. c + á [ o [a , h]
Asi no hay punto de S que esté a una distancia S de c y esto contradice el hecho de que c = sup S. L a hipó­
tesis fie ) / l nos llevó a una contradicción y. por tanto, concluimos que fie ) ■ l y ce ]< i , f c [ .
18
P r o b l e m a 1-39
P r o b l e m a 1-40 S i / es con tinua sobre [a . ¿»] y f ia ) y f ib ) son de signos opuestos.
entonces existe un núm ero c e Ja , b [ ta l que f ( c ) - 0 . 
S o lu c ió n . Es un caso especial del teorema anterior.
P r o b l e m a 1-41 S i a es un núm ero real positivo y n un entero positivo , entonces existe 
un, y solo un. núm ero real b, positivo , ta l que bm — a. b ) H a lle J a , a > 0.
S o lu c ió n , a) Sea p un entero tal que a < p; entonces p ¿ 1 y se tiene que 0 < ¡ i < p S / . La (unción 
x" es continua sobre [0 . p j y /(O) = 0 < a < p* = /(p). Por tanto, según el teorema del valor intermedio 
(Problema 1-39), existe un número b e ]0 . p( tal que fib ) - b" - a. Como x* es creciente para x positivo. 
b es el único número.
S i n es impar, la existencia de la raíz n-ésima de cualquier número real negativo se demuestra de manera
b) La existencia de la raiz cuadrada de cualquier número positivo se demostró (Problema 1-31). Vamos a 
considerar un procedimiento decimal de aproximación para obtener la rabr cuadrada de un número posi­
tivo a Considere la ecuación x2 — a = 0 .
Sea Ií0 el mayor entero tal que lc¿ £ a. Entonces k0 £ y/a < k0+ I. Sea k, d mayor entero entre 0 y 9. 
inclusive, tal que (lc0 + fc,/l0>2 £ a. Entonces k0 + *,/10 £ J a < k0 + ik t + !|/10.
Sea k j el mayor entero entre 0 y 9. inclusive, tal que (An + *,/IO + fc,/102)2 s a.
Entonces *0 + I¡,/ I0 + fc2/ l0 2 £ J a < k0 + *,/IO + (fc2 + I)/ I02; continuando este procedimiento se 
puede obtener una aproximación decimal para J a que sea tan aproximada como se desee. Vamos a ilustrar 
este procedimiento para hallar una aproximación decimal de J 2 exacta hasta tres decimales. En este caso. 
Ií0 = 1. Se quiere determinar el mayor entero k entre 0 y 9 tal que
( I + *,/IO )2 S 2 o + * 2 - I - I. Ií ,(2 - 10 + * ,) S I02
Asi. k , = 4. Ahora se quiere determinar el mayor entero entre 0 y 9 tal que
( ' + 4 + - f e - ) s 2 0 ^ ( 2 + * T o ^ ) 5 2 ~ 1 - -re - - w = i¡f °
* j(2 - 102 + 8 - 10 + k2) ¿ 4 !0 2
A X IO M A O E P LEN IT U D C O N T IN U ID A D UN IFO RM E
A s i kt = 1. E l siguiente esquema abrevia el procedimiento anterior:
1.4 I 4 2
v/2,00 00 00 00 
1
24 rioo~
96
2 8 l J 4 00 
2 8 1
2824 | R 9 0 0
I 12 96 
28282 1 6 0 4 00
5 65 64
Entonces 1.1414 es una aproximación decimal de y f¿ exacta hasta tres decimales.
P r o b le m a 1-42 U n conj unto $ dc n (,m eros reales es un in terva lo s i y solam ente s i 
tiene la propiedad dc que para dos puntos cualesquiera x , y x2 en S con x , > x2, ]x , . X j [ c S.
S o lu c ió n . Es fácil comprobar que cada uno dc los tipos dc intervalos tiene esta propiedad. Suponga que 
el conjunto S tiene esta propiedad. S i S es vacio o está formado por un solo punto es un intervalo. Suponga 
entonces que S tiene por lo menos dos puntos. S i S es acotado, sea a = in í S y b = sup S. Vamos a mostrar 
que S es uno dc los intervalos Jo , 6 [ . [o. 6[ o [o. b\ Sea x tal que a < x < b. Como a » in í S y b - sup S. 
existen puntos x , y x , en S tales que
a < x , < x < x2 < b
Por consiguiente, x e S y
S = ]o. b[ si u i S. b i S
S » [o. ¿>[ si a e S .b * S
S = Ja. 6J si a i S. b c S
S = [a , 6] si a. c S. b e S
Si S no es acotada la demostración es análoga. Por ejcm pla suponga que S es minorado, pero no mayorado. 
Sea a = inf S. Vamos a mostrar que S es ]a . + x [ o [a. + x [ . Tome x > a. Como a •= inf S y S no es mayo- 
rada existen puntos x, y x , en S tales que
a < x , < x < x .
Por tanto, x e S y S - } o . + x [ s i a * S y S = [a ,+ cc [s i< i e S.
P r o b le m a 1-43
S i / es un in terva lo y f e s continua sobre /, entonces tenem os que J\ l)
= {/ tx ): x 6 / } es un intervalo.
S o lu c ió n . Si / (/ ) es vacio o contiene un solo punto, entonces es un intervalo. Suponga que/(/ ) contiene 
por lo menos dos puntos. Tome a / (x ,) y f (x ,) en /(/ ) con / (x ,) < f(x ¡X S i 1 o f ix ¡) [. por el 
teorema dd valor intermedia existe un punto c € ]x ,. x ,[ tal que / (c ) = r. Por tanto, r € /(/X Según el pro­
blema anterior,/(/) es un intervalo.
Por ejcm pla x1 aplica d intervalo ]1 .3 [ sobre ]1 ,9 [.
P r o b l e m a 1-44 D efin ición. U n a fam ilia de in tervalos se dice que recubre a un 
conjunto S si cada punto dc S pertenece po r lo m enos a uno dc los intervalos abiertos, a ) Sea
S = ]0 .131 m uestre que la fam ilia de in tervalos { / „ } , con /„ = J J y n = 1 ,2 ...., 
recubre a S.
20 A X IO M A DE PLEN ITUD. CO N T IN U ID A D UNIFORME
b) S c a S = j y j con.n » 1 ,2 ,... M uestre que la fam ilia de in terva los/. = J y - Ó. y + 
y S un núm ero positivo, recubre a S.
S o lu ció n , a) La familia ¡/ .} recubre a 10. Ij. Para mostrar esto sea c e JO. Ij. Por el Problema 1-28 
sabemos que para algún *u l/n < c. Asi, c e l r
b) La familia ¡/ ,¡ recubre a S porque l/n €
Nota. Observe que en la parte a) no se puede elegir un número finito de elementos de {/. ) que recubran a 
JO. I]. Por ejemplo, si se considera la familia finita de intervalos /_ de /. c /„ con el índice máximo Entonces 
cualquier punto del intervalo JO, \¡m\ no está en ningún intervalo de esta familia finita. Entonces una familia 
finita de intervalos abiertos de { /,¡ no recubre a S.
En la parte b) se puede elegir un número finito de intervalos abiertos de | /.) que recubra a S. Empleando 
la propiedad arquimediana de los números reales para algún entero positivo m. l/m < S. Entonces
¡ /.: n = 1, 2,. ... /n¡ es una familia finita que recubre a S, puesto que para n > m. — - ó < 0 < — < — + ¿.
(Teorem a de Heine-Borcl.) S i e l intervalo cerrado [u, ó ] = / es 
m ilia de intervalos abiertos ¡ / „}, entonces un número fin ito de intervalos 
J l „ } se puede elegir de ta l m anera que recubren a [o. 6 ] ,
S o lu c ió n . Sea A d conjunto de todos los x e [a.¿>] tales que un número finito de intervalos abiertos 
de ¡ /. ¡ recubre a [a. x j. Como a pertenece a algún intervalo abierto de ¡ / .}. [a. a ] es recubierto por un nú­
mero finito de intervalos (un intervalo) de ¡ / .¡. Asi. a € A y A * 4>. También / es mayorado (h es un mayo 
rante de <41 Entonces, por d axioma de plenitud, A tiene un mayorantc mínimo c E l punto c 6 [u. />] y. por 
tanto, pertenece a algún intervalo /, de ¡ / .¡. Por el Problema 1-44. existe un punto x„ e A tal que x0 o lr 
Como x0 e A. una familia finita de intervalos de ¡ / .[ recubre a [u, x„]. Si agregamos a /, esta familia finita 
de intervalos, se obtiene una familia finita de intervalos abiertos de ¡/ .) que recubren a [o. x ,] con x , e I, 
y x , > c. Como c = sup A. x , no puede estar en A y. por tanto, x, 4 [a. *>] Entonces, x , > h Asi tenemos 
que [a, b] c fa. x ,] y [a. x ,J es recubierto por una familia finita de intervalos de la familia ¡ /. ¡. Esto muestra 
que [a. b l es recubierto por una familia finita de intervalos de ¡ /, ¡.
P r o b le m a 1-45
recubierto por una fa 
abiertos de la fam ilia
C O N T I N U I D A D U N I F O R M E
L a función flx ) = 2x es continua en x0 = I. D ecir que la función es continua en x0 equivale 
a decir que para cualquier r. > 0 existe un d > 0 tal que para todo x para el cual |x - x0| < ó, 
entonces |yjx) - /lx0)| < e.
Esta función es continua en x0 = 1 porque para todo c > 0 se puede tom ar S = y , entonces 
para todo x que verifica la relación ix - x „| < ó se tiene que [f[x ) - J[x 0)\ = |2x - 2x0| = 
= 2 |x - x0| < 2 • 6 = 2 • y = f.
Observe que para todo e > 0 el 6 que se empleó para x „ = I se puede em plear para cual­
quier Xq. En efecto, para ó = y si |x - x0| < ó. entonces l/fx) - _/lx0) 1 = |2x - 2x0| =
= 2 | x - x 0| < 2 -d = 2 ‘ - y = e.
Esto muestra que el 6 que se necesita para la continuidad en x „ depende únicam ente de c 
y es independiente del va lor de x0.
Ahora consideremos una función para la cual e l 6 de la continuidad en x0 depende del valor 
de c y de x0. En otras palabras, para un t dado no podremos ha llar un 5 que sirva para todo x0.
Sea f{x ) = x 2 y x „ - 1 y e = y . Tom em os a 5 = y , entonces si |x — 11 < ^ (y Ix + 11 < 3) 
tenemos que l/Jx) - /|x0)I = |xJ - 11 = |x + 11 |x - 11 < 3 |x — 11 < 3 • 4 - «■ 4 - - &
A X IO M A D E P lE N tT U D . C O N T IN U ID A D UN IFO RM E 21
Pero para r. = — « I 6 que servia para xc = I no sirve para x0 = 3, porque si se lom a a 
x - 3.1. entonces |x - x „| = |3 .l - 3| < 0.1 < y - 6. S in em bargo, \flx i - /(.x0)| = 
= | (3 . l)2 - 32| = 0.61 > y = «- (V e a Figs. 1-2 y 1-3.)
Se puede h a lla r para t = y un & diferente que sirva para x0 = 3 I po r ejem plo, ó = — j . 
Es posib le ha llar o tro va lo r de x0 para el cual no sirva este ó.
A continuación vam os a m ostrar que si /\x) = x2. dado e > 0. no es posible h a lla r un ó 
ta l que para lodo x0, s i |x - x0| < ó. entonces l/ íx ) - ./ Ix 0)| < t
En efecto, para J\x ) = x 2 y c > 0 dado. Suponga que existe un ó > 0 ta l que para todo 
x0. si |x - x0 | < 6. entonces |/(x ) - /<x0)| < r> Tom e x0 = -y y x = x0 + y . Entonces
U - x0| - y < S , pero l/lx| - /lx0)| = |x2 - x¿| = |x + x „||x - x0| = l l x 0 + y ) ( y ) -
c ó2 ó2
= X 0 Ó + — » £ | - > E.
A si hem os hallado un x y un x „ tales que |x — x0| < 6, pero l/ íx j - /(x0)| > c. lo cual es 
una contrad icción . Entonces no existe un ó > 0 ta l que |x — x „| < ó siem pre im plique que 
l/ íx ) - / (x 0)| < c.
La propiedad que verifica la función / jx ) = 2x y que no posee la función J [x ) = x 2 la resu­
m im os en la siguiente definición.
D efin ición. U n a función / es uniform em ente continua sobre un conjunto S , S S equivale 
a decir que para todo c > 0 existe un S > 0 ta l que cuando x. x0 e S y |x - x0| < 6. entonces 
\ftx ) - f x 0)\ < E.
L a función f [x ) = x2 es continua sobre R y. sin em bargo, no es uniform em ente continua 
sobre R . E sto m uestra que la continuidad uniform e es una cond ición m ás fuerte que la cond i­
ción de continu idad. Pe ro f [x ) = x 2 si es uniform em ente continua en el in terva lo ]0 .2 [. En 
efecto, sea c > 0 dado.
Iftx ) - y (x 0)| = |x2 - xg| = |x + x0 | |x - x0 |. A hora, para todo x . x0 e ]0 .2 [, 
|x + x0| < 4 (porque x e ]0 .2 [ im plica que |x | < 2 y x0 e ] 0 .2 [ » |x0| < 2». Entonces 
|x + x0| < |x | + |x0| < 2 + 2 - 4 . Así, para x , xo e ]0 .2 [. |/(x ) - / (x „)| = |x + x0|| .v - x „| < 
< 4 |x - x0|. T om e a ó = y .
Entonces, para todo x , x0 e ]0 ,2 [ para los cuales |x - x0| < ó. se tiene que |/(x ) - / (x 0)| ■ 
= |x + x0| |x - x0| < 4 |x - x0| < 40 = 4 y = E.
P o r ta n to , J\x) = x 2 e s u n ifo rm e m en te c o n tin u a s o b re ] 0 .2 [ .
22 A X IO M A D E PL EN IT U D . C O N T IN U ID A D U N IFO R M E
P R O B L E M A S R E S U E L T O S
P r o b l e m a 1 16 M uestre que f (x ) = x3 es uniform em ente continua sobre [0 .2 ]
em pleando el siguiente p roced im ien to : P a ra cu a lq u ie r r. > 0 determ ine un S > 0 ta l que para
todo x. x0 e [ 0 , 2] para los cuales |x - x0| < ó, entonces |/ (x ) - / (x „)| < c.
S o lu c ió n . |x* - x¿| - |x - x0| |x* + xx0 + x ||. Sea c > 0 dado.
I/ M - /(*o )l - I* 1 - *ó l - I* - x0l |x* + X X 0 + X ¿ L Ahora, para x.x0 e [0 .2J.|x * + xx0 + x¿| < 12 
(porque \x* + xx0 + x*| <; Ix 'l + |xx0| + |x¿| = 2 - 2 + 2 - 2 + 2 2» Así. para x. x „ e [0 .2 ], |/(x> - 
- /(xoll S 12 |x - x„|.
Por tanto, si se toma a A - j y y si x. x0 € [0 .2 ] y si |x - x „| < ¿. se nene que
l/(x ) - /(xo)| = |X - x«||x* + xx0 ♦ x¿| s 12 1 x - x0| < 12 A - 12 ̂ = t
Por consiguiente, / (x ) - x’ es uniformemente continua sobre [0 .2].
P r o b l e m a 1-47 Pruebe que si / es uniform em ente con tinua sobre S y S 5 T, entonces 
f e s uniform em ente con tinua sobre T.
S o lu c ió n . Sea e > 0 dado. Como / es uniformemente continua sobre S, existe un A tal que si y. y0 C S 
y I)' - >’ol < entonces |/(y) - /(y0ll < £ P l » el mismo A. sea x y x0 e T y |x - x0| < A. Pero T e S y. 
por tanto, x, x0 c 5 y |x - x „| < A. Entonces |/(x ) - /(x0)| < c-
P r o b l e m a 1 -4 8 I _ . . . . . . .Pruebe que si / es uniform em ente con tinua sobre o y c es una cons­
tante. entonces c f es uniform em ente con tinua sobre S.
S o lu c ió n . Sea c > 0 dado Si c - 0. entonces c f es constante sobreS y |(c/Xx) - <o/Kx)| - 0 para 
cualquier elección de A. Si c * 0 tome j jp > 0.
Como /e s uniformemente continua sobre S, existe un ó > 0 tul que si x, x0 e S y |x - x0| < A, entonces 
|/(x| - /{.x0)| < Para este mismo ó. si x. x0 e S y |x - x0| < 6 , se tiene que |(e/Xx) - (c/K-x0)l - 
- Ic | |/(x) - /(xo)| < |c|. - f- - t Por consiguiente, c f es uniformemente continua sobre S.
P r o b l e m a 1-49 S i / y g son uniform em ente con tinuas sobre S , entonces / + g es 
uniform em ente con tinua sobre S.
S o lu c ió n . Sea t > 0 dado. Entonces y > 0. Como f es uniformemente continua sobre S. existe un 6, 
tal que cuando x. x0 6 S y |x — x0| < d ,. entonces |/(x) - /(x0)| < y . Como g es uniformemente conti­
nua sobre S, existe un A , > 0 tal que cuando x, x „ e S y |x - x| < 6 ¡ , entonces |p(x> - fffx0)| < A,.
Tome a A = min (d ,. d ,l Entonces, si x. x0 e S y |x - x0f < A, « tiene que x. x0 e S. |x - x „| < A,
y |x - x0| < d ,; por tanto. |/(x| - /(x0|| < y y lg<x) - g(x0í | < y . Entonces
<if+ 9 **) ~ f + íK *o )l £ |/(x) - / (x 0)| + \g(x) - * x 0)| < y + y - c
Nena E l producto de funciones uniformemente continuas no es uniformemente continua. Por ejemplo, 
/(x | - x y t»(x) = x ; /(x)g(x) - x1. que no es uniformemente continua sobre R
P r o b l e m a 1 5 0 i ^ M uestre que f [x ) = x2 no es uniform em ente con tinua sobre R.
b) M u e s tre q u e la fu n c ió n x 1 e s u n ifo rm e m e n te c o n t in u a s o b re ]0 ,2 [ .
S o lu c ió n , a) Vamos a demostrar por reducción al absurdo que x1 no es uniformemente continua so­
bre R Suponga que para c > 0 existe un 6 > 0 ta l que para todo x t R
l/ W * /(*o )l - I* + * 0I I* - x0| < c cuando |x - x0| < c Ahora tome a x - - j y x 0 = * + —
Entonces |/(x) - /(x .)| - (x + x0l|x “ *o l - (¿ x + -y ) y > 2x y - ^ ’ 4 “ t
Esta contradicción muestra que la hipótesis no es verdadera, y. por tanto, / no es uniformemente con­
tinua sobre R.
b) Sea e > 0. Se quiere determinar un 6 > 0 tal que para todo x e J0 .2 J y para lodo x0 e Jx — ó.
x + ¿ [ n ] 0 .2[ . Ix 1 - x¿| - |x + x0||x - x „| < c
En este caso, como x y x0 pertenecen a JO .2(. |x + x0| no se puede hacer arbilrariam cnic grande. Enton­
ces suponemos que se puede hallar un ó. S i x, x „ pertenecen al intervalo J0 .2 [. entonces |x| < 2. |x0| < Z
y |x2 - x¿| - |x x0l |x - x«| < 4|x - x0|. Asi. si ó - ^ para todo x c J0 .2[ y para todo x0 e ]x - 6. 
x -f r» J0.2f ; Ix* - x¿| < 4 |x — Xol " 4 ■ t Entonces / es uniformemente continua sobre d inter­
valo J0 .2 (. (Vea Frg. 1-4.)
A X IO M A D€ PLEN IT U D . C O N T IN U ID A D U N IFO R M E 23
P r o b l e m a 1-51 M uestre que la fundón f [x ) = \/x no es uniform em ente continua
sobre el in te rva lo ] 0 .2 [.
S o lu c ió n . Sea r. > 0 Queremos ver si existe o no un 6 > 0 ta l que para todo x * J0 ,2( y para todo
x o e ] x - ó . x + « H n j 0 . 2 I ; | i - - - i . | - t
Como l/x es continua sobre ]0 .2 [. para cada x de ]0 .2 [ existe un ó(x) > 0 tal que si x0 e Jx - ófx\
x + «Xx)[ rs J0 . 2f . entonces I —---- i- I - J-*° ~ ^ < c.I x x0 | xx0
Sin embargo, a medida que x se hace más pequeño se dehe elegir a <Mx) más pequeño (vea Fig. 1-5). Ahora, 
supongamos que / es uniformemente continua sobre J0 .2 [. Entonces para cada c > 0 existe un ó > 0 tal
que para todo x e J0 .2 [ . y todo r0 c Jx - S. x + ó [ r i J0. 2[ . J -~ — y — | - < *•
Tome x e jo . - ¿ Jr v J0 .2 ( y x , t J0. 2[ tal que y < |x - x .| < S.
Para aseguramos de que existe tal número suponemos que ó < I. Entonces. -- — > .x x . ó . ,
Esto contradice la hipótesis original y. por consiguiente. / n o es uniform em ente continua sobre J0 .2[.
á/2
2 4 A X IO M A D i P L E N IT U D C O N T IN U ID A O U N IFO R M E
P r o b l e m a 1 -5 2 M uestre que s i / es con tinua sobre el in te rva lo cerrado [a , h ], en­
tonces / e s uniform em ente con tinua sobre [a . /»].
S o lu c ió n . Sea e > 0. Queremos mostrar que existe un ó > 0 la l que para lodo x e [u . b ] y lodo 
x0 » Jy - «I. x + á[/-> [ci. f { x ) - /(x0>| < c. Como / es continua sobre [a , 6 ], para cada x c [u. h] 
exilie un número positivo, que lo representamos por ófx) para hacer énfasis en su dependencia de x la l que
cuando x0 e ]x - óix). x + «Xx)[ n [u . fcj. |/|x) - f(x 0)\ <
Se puede pensar en tomar a A como d in í ¡á<x): x e [u . 6 ] ) . Sin embargo, este número no sirve, puesto 
que el extremo inferior puede ser 0. Lo que haremos es emplear d teorema de Heine-Bord para obtener un 
conjunto finilo de números posititovy tomar a 6 como d minimo demento de este conjunto Sea /[x . Ó4x>] d
intervalo Jx - ¿(x ). x + ó(x)[ e f j x J = Jx — x + |!
F.I conjunto de intervalos abiertos J I |y . ^y- J : x c [u .6 ] | recubre a [ti,6 ]. Entonces, por el teorema 
de Hcinc-Borel. existe una familia finita | / |.v4. : k - I. 2 n j que recubre a [u .6 ].
Sea A e l m inimo de los números ^ . k - 1 .2 ..... n Entonces & es positivo. Ahora tome dos puntos
x . x0 en [a .h ] tales que |x - x0| < ó Como J / |x 4: * - I . 2.a | recubre a [a .h ]. x * / |x 4;
— J *1 ) para algún - 1.2. También |x0 - x4| = |x0 - x ♦ x - x ,| á |xc - x| ♦ |x - x»| <
< A ♦ Ü ¿(x.K Entonces x y x0 están en /[x4; á(x ,)J y. por tanto. |/(x) - /(x4)| < | y |/(x0) - 
- /U .H < -y Entonces </|x) - /|x0>| - |/|x) - / Jx .) + /|x4) - /fx0)l í l/ U ) - /(x.H ♦ |/(x,) - /(x0N <
< T + 2* "
Asi. para cualquier c > 0 . hemos mostrado que existe un A > 0 tal que para todo x e [a , ó],
Ufx) - /(x0)| < * cuando x0 € ]x - A. x •* ó [ r> [a . 6 ]
P r o b l e m a 1-53
Pruebe que la función f [x ) = ax b es uniform em ente continua
sobre R .
S o lu c ió n . Suponga que u # 0 . S i t > 0 se quiere hallar un número positivo A tal que para todo par de 
números reales x , y xa. |x , - x2| < A implique que |/(x ,) - / (x ,)| < c. Como / (x ,) - / (x 2) - («x , + />) - 
— (uXj + h¡ — ax, — ax¡.
|x , - X j| < 6 |x , - x2||u | < t
¿Cómo debe ser ó para que |x , - x ,| sea menor que u)a\ cuando |x , - x 4| es menor que 61 E l número ó 
puede ser cualquier número entre 0 y </|<iL incluyendo a c/l<4 Se puede tomar por ó a c'|u| o c2 |uL * 3|u|. o 
cualquier núm ero positivo m enor o igual a cAa\. S i tom am os a ó - c/ i"l. entonces la im plicación 
|x , - x , | < A • |/ (x ,) - f [ x j )| < * es equivalente a |x , - x 2| < A • |u| |x , - x 2| < c Por unto. / 
es uniformemente continua sobre R
P r o b le m a 1 54 fcjueS|re q UC c| p o linom io 2x2 — 3x + 5 es uniform em ente con tinuo 
sobre el in te rva lo [- 3 ,6 ] ,
S o lu c ió n . Sean x , . x 2 c [- 3 .6 ]. Ahora, / (x ,) - /(x2>| - |(2xf - 3x, + 5) - <2x í - 3x, + 5)| «
- |2 x { - 2x] - 3x, + 3x2| - 12fx, - x 2)(x| + x 2) - 3<x, - x 2)| « | (x , - x2H2x, ♦ 2x2 - 3)| -
- I* i - x2||2x, + 2x2 - 3| < c Según la desigualdad triangular, tenemos que |2x , + 2xa - 3| ¿ 
£ 2| x , | + 2 | x 2 | + 3 S 2 - 6 + 2 - 6 -» 3 - 2 7 . ¿Cóm o debe ser |x , - x2! para que 27|x, - x2| sea menor 
que e l S i |X| - x21 < t/27. entonces 27|x, - x2| < c En otra» palabras, hemos mostrado que |/(x ,| -
- / (* jH < t cuando ó = es decir, la función considerada es uniformemente continua.
A X IO M A O E P L E N IT U D C O N T IN U ID A D U N IFO R M E 25
P r o b l e m a 1 55 M uestre |a fundón f [ x ) ■ |x | es uniform em ente con tinua sobre
todo in terva lo /.
S o lu c ió n . Se quiere hallar una función A r) la l que para lodo número positivo c y lodo x, y x, en /,
1*1 - X jl < ¿fe) » l U i l - l* j | | < c-
Sabemos que ||x ,| - |x ,|| <. |x , - x ,| y. por tanto. A d se puede elegir como la función idéntica 
At» - c, puesto que |x| X j| < c -► | |x ,| - |x ,| | S |x , - x ,| < c.
P r o b l e m a 1 -5 6 M uestre que la funciónf [x ) - l/x es uniform em ente con tinua en
todo in te rva lo de la form a [ 17. + < x[ con 17 un núm ero positivo . 
S o lu c ió n . l>ado un número positivo c se quiere hallar un 6 tal que
|x , - xa| < ¿ ) 1 *• 1 x ,x *
Como para x, 2 17 y Xa * 17. £ 1*1 ¿ Xi i .x,x2 r\
S i se elige a Ó - »yac se verifica que 
sobre los intervalos de la forma [»j, + x
-j----- rj- I < A es decir, la función es uniformemente continuax , x , |
P r o b l e m a 1-57 Pruebe que la función J x es uniform em ente con tinua sobre el in ­
tervalo [ 0 . + « [ .
S o lu c ió n . Si c es un número arbitrario y positivo se quiere hallar un ó la l que si x , y x ¡ son números no
negativos, | x, - x ,| < ¿ N/T, - y/xt < c.
Vamos a mostrar que |x , - x2| < e* 1,/xj - t Para establecer esta desiguuldnd vamos a
mostrar que se verifica la desigualdad |N/¿7 - £ */\x, — x2|.
Sea a m min [ Jx „ y / x l) ,b = max { ^fx], ,/x ¡ ¡ . entonces como %/x es estrictam ente creciente en 
[ 0 . + » [ , o1 min (X | .X j} y b! = max ¡ x , . * , ) . Como /x es estrictamente creciente, (ó - u)‘ £ h‘ - u2.
Entonces |x , - x ,| < t x ^ yj\xt - x ,| < c ■* - x * ¡ | < c
Esto muestra que la (unción es uniformemente continua sobre [ 0. + x [ .
P r o b l e m a 1-58
sobre ] 0 . + cc [.
M uestre que L i función f [x ) * x2 no es uniform em ente continua
S o lu c ió n . En este caso hay que elegir puntos lo suficientemente cercanos para que sus imágenes estén 
muy separadas. Sea f ■ I y á > 0 . Para hallar x , y x , en este caso se puede tomar a X j ■ x , + y . Como 
la desigualdad |x , - x ,| < 6 está garantizada, la desigualdad |/ (x ,) - / (x ,)| £ r. loma la forma
|* í - ( * . ♦ j )* | • |x«á + x | *
E l problema dc hallar un número positivo x , para que ( I) vea verdadera se puede remplazar por d problema 
más simple dc hallar x , ta l que x,ó ¿ I . Po r tanto, definimos 1 x , y x , como x, = - i, x , • -y ♦ y. por 
consiguiente. », y x , t ]0 . ♦ x [ y |x , - x ,| < 6 y |/fx,| - / (x ,|| ;* I.
A X IO M A O E PLEN IT U D . C O N T IN U ID A O U N IFO R M E
P r o b l e m a 1-59 Pruebe que la función f [x ) = sen l/x, x * 0 no es un iform cm cnic
con iinua sobre el in te rva lo ] 0 . 1] .
S o lu c ió n . E l grata de la función revela que hay una dificultad en el origen. Debido a que los valores de 
la función oscilan entre I y — I. parece que se puedan encontrar puntos arbitrariamente cercanos de tal manera 
que los valores de la función estén separados por una distancia igual a 2. Sea c = 2 S i n es un entero positivo
lo suficientemente grande y si x , = -%-- —r—r— . xt — -------—r-r— . entonces la desigualdad |/(x ,) —
— / (x j)| ¡> í se convierte en sen
F ^ F " " F U
2̂n + y j x - sen 2̂n — Jx | = sen *— sen y J • 2 2 2 , ver­
dadera para todo n positivo. S i & es un número positivo, la desigualdad |x , - x ,| < ó está garantizada por un
valor de n lo suficientemente grande, puesto que |x , - x ,| S x , + x . < 2x, < -pr— - ----- — .f¿n - (n - iw
Ahora podemos asegurar que |x , — xa| < & si 5 á => n ¿ I + . Como existen enteros posi­
tivos mayores o iguales a I + - ̂ se puede obtener un valor especifico de n:
in f j m : m e R * I + 1
E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S
1 . Verifique que: a ) 1.42 in f { x : x1 > 2 y x > 0 ¡.
b) 2 = sup {x : x ‘ < 4 y x > 0 }.
c) - 3 = sup |x : x‘ > 9 y x < 0 }.
2 . Sea S el conjunto de los números irracionales en [ 0. 1). Muestre que S no tiene máximo ni mínimo.
¿Cuáles son in f S y sup S?
3. Muestre que si c = sup S. entonces para cualquier r > 0 existe un x e S tal que 0 S c — x < c. A si 
si / es un intervalo abierto que contiene a c, existe un $ e S ta l que x e /.
4. Halle el sup e inf de los siguientes conjuntos. ¿Tienen los conjuntos elementos máximo y m inimo?:
a) i I — n entero positivo j ; ¿>) j n + < — n entero positivo | .
Resp.: a ) sup = I. inf = 0 . no tiene ni máximo ni mínimo, b) No tiene sup, in f = 0 . no tiene 
elemento máximo o minimo.
5. Construya un conjunto de números racionales que tenga a yj% como su sup. Verifique que sup S = y/3.
6. Desarrolle un procedimiento para obtener una aproximación decimal de la raiz cúbica positiva de un 
número real positivo.
7. Muestre que entre dos números reales distintos hay una infinidad de números irracionales.
8 . Muestre que si existe un número real positivo Ai tal que para cadax y x0 de S.|/|x) - /(x0)| £ M |x - x0L 
entonces / es uniformemente continua sobre S.
9. Muestre que si / y g son funciones uniformemente continuas sobre un conjunto S. entonces / + g es 
uniformemente continua sobre S.
10. Muestre que las siguientes funciones son uniformemente continuas en los intervalos indicados y halle 5 
en términos de c.
a ) 5 x — 7 . R ; b) 7 x + 4 . R ; c ) x J + 2 x - 4 . [ 2 . 5 ] ; d i 3 x * - x + 5 . [ —2 . 1 ] ; e) l / x . ] 3 . + o c [ ; 
f ) IA * + 3fcC2.+oo[; g) i ± i . . R * ; h) J y . [<> .+ *[.
Resp.; a ) S m ^ i h) ó - ; c) ó - - fe ; d) 6 = ; e) ó = 9 t. f ) 6 — 25c; g) ó = - £ C;
á) S - 4 *•
A X IO M A D E P IE N IT U O C O N T IN U ID A D U N IFO R M E 27
11. Muestre que las siguientes funciones no son uniformemente continuas sobre d intervalo especificado. 
Halle valores explícitos de x , y x¡ para un 6 > 0 arbitrario y c - I.
a) 1/x*, ]0 . 2j ; b) ¡ j jx . p .4 } : c) x1 + x R * ; d) x \ R \
Resp.: a ) Xj •» min (^ 3 .0 ). x , = ; b) x ¡ - min { l . ¿ } , x , - ; c ) x , - x , - -y + - j;
d) x, = ^ r . x J - -3J ,
l x ' . O S x S I
12. Muestre que la función definida por / (x ) - < es uniformemente continua sobre el
intervalo [0 ,2 ], | 5 - 4 * . < , S 2
13. Emplee algunos de los teoremas demostrados en los problemas para mostrar que las siguientes funciones 
son uniformemente continuas sobre los intervalos especificados
a) 2x> + 4x + 7 + (3 x -S K / 5 .[O .IO ]; ó) x* + (5xJ - 8x - l l ) |xU [ - 2 . 3 ] : c ) (x2 + 4 } +
[ I . 8 [ ; d) (x + yfi)> - 7(x* - IxD + l /x . (Z 5 J .
14. Sean A y B conjuntos de números reales no vacíos y mas orados Pruebe que si a e 4 » a ^ O y 
b € B •> b £ 0. sup (A B ) - sup A ■ sup B.
Indicación. Sea x — sup A y y ■ sup B, y suponga que su p M B ) ■ xy. Sea c ■* xy — su p M B i 
Entonces. 3a c A tal que a > x - c/2y y 3h e B tal que h > y - cj2x. Pero esto significa que 
ah > xy - c.
15. Sean A y B conjuntos no vacíos de números reales minorados. S i a f ^ ' • a i 0 y h e B < » h > 0 . 
in f {A B ) - in f A • in í B.
Indicación. Sea x - in f A, y - in f B. y suponga que in f {A B ) > xy. Entonces x > 0 y y > 0. Sea 
c = min fin í {A B I - xy. 3x>]. Entonces 3a e A tal que a < x + e/3y y 3/> # B tal que b < y + t¡3x.
CAPITULO
La in teg ra l definida
E l concepto de «in tegral definida» de una función sobre un in tervalo de núm eros reales está 
relacionada con una gran variedad de problem as de geom etría, estadística, probabilidades, 
física, econom ía, e tc E s uno de los dos conceptos fundam entales del cá lcu lo ; e l o tro es el de 
derivada.
D efin ición I . U n con jun to fin ito de puntos P - (x©. x , x .} es una partición de [a . b]
si. y solam ente si, a = x0 < x , £ x2 £ . . . £ x . = b.
a - x « x , x , x, * = * .
i ■ ” - ” - i
Figu ra 2-1
Ejem plo 2-1. S i P , = { 0,1/7, 1/3.1} y P 2 - {0, 1/7,1/4,3/4, 1 } son particiones del in tervalo 
[0 .1 ]. Adem ás P , u P 2 = {0,1/7,1/4,1/3.3/4, 1} y P , n P , = {0 .1 /7 .1 } son tam bién par­
ticiones de [ 0 . 1] .
A sociada a toda partición se tiene el conjunto de n subintcrvalos cerrados [x 0.x , ] , [x , .x 2] .....
[x « - 1. x j con n + 1 puntos de subdivisión, □ in te rva lo [x ,_ , .x , ] se llam a el i-ésimo subintcrvalo. 
L a longitud del i-ésimo sub intervalo se define com o A x , • x , - x,_
O bserve que em pleando la propiedad «telescópica» de la suma se obtiene
E ^ x , = E * x< - x , _ , ) = x . - x0 = b - a
1*1 1*1
En otras palabras, la sum a de las longitudes de lodos los subintervalos de una partición es igual 
a la longitud del in terva lo dado.
Definición 2. I-a norm a de una partición se designa por ||P|| y se define com o
| | P ¡| - max {A x „ I - 1.2 n}
Ejem plo 2-2. En el E jem p lo 2-1. ||P , || - max (1/7.4/21.2/3} = 2/3; ||P2|| = max (1/7. 3/28. 
1/2. 1/4} - 1/2; ||P , v P J = 5/12; ||P , n P ,|| = 6/7. O bserve que ||P , u P , l| * m in (||P ,IL 
II /M I).
D efin ición 3. Suponga que/es acotada sobre [a , 6 ] y / : [a . 6 ] -* R y P = {x , } " . 0 una partición 
de [a . b ]. Sea
m, - in f (/ |x );x € [ x , . | , x f] }
M , » sup t/ |x ); x € [X | . | .X | ] }
28
Se define la suma superior de / p a ra P . representada por S (f. P ). por
S t f P l - É M f o - x , . , )
i * i
L a sum a in ferio r de/ para P se representa por /(/, P ) y se define com o
M ñ - i m f a
i -1
Aforo. E l hecho de que / sea acotada sobre [a , A] 
garantiza que m, y M , estén siem pre definidos.
L o s núm eros m, y M , se definieron com o extremo 
superior e in ferior, en vez de m áxim o y m ínim o, 
debido a que no se supuso q u e/fu e ra continua.
Ejem plo 2-3. S e a /u n a función definida p o r/ lx ) =
LA IN T EG R A L D EF IN ID A 29
x + 2 . - I ¿ x á 0
x. 0 < x < 1
+ I . 1 S X S 4 F ,« “ " M
Sea [a . A ] = [ - 1 . 4 ] y P - { - 1 . 0 . I . 3 .4 }./e saco lad a sobre [ - 1.4] porque 0 < f lx ) £ 3 . 
Vx e [ - 1 . 4 ] . S i M , » su p / l[x ,.x ( . , ] ) y m, = in f/ l[x n x ,_ ,] ) . entonces: a ) p a r a [x „ .x ,J. 
m , - I y M , - 2 ; b) para [ x , .x , ] . m ¡ = 0 y - 2 ; c ) para [x 2. x , ] . m , = 2 y M , - 
= v i + I ; </) para [x , . x4] , m4 - ^ 3 + I y M * - 3.
O bserve que 0 $ $ M , S 3 para / =• 1. 2 . 3 .4.
Ejem plo 2-4. Sea J\x ) = x 2 para x e [0 .1] y P = {0 ; 0 2 ; 0 .5 ; 0 .8: 1}. / e s acotada sobre [0,1 ] 
porque 0 £ /[x ) £ 1. S i M , = sup „ x ,]) y m, - in f ( [ x , _ „ x j) . entonces: a ) m , = 0. 
M , = 0.04: A) mx = 0.04 y A/ 2 - 0 .25; c ) m , = 0.25 y M , - 0 .64; d ) m4 - 0.64 y M 4 = I.
O bserve q u c 0 S m , ¿ A f S I . para i = 1. 2 . 3.4.
Ejem plo 2-5. S i / [x ) - x2 sobre [0 .1 ] y P = {0 ; 0 .4; 0 .5; 0 .7; 1 } . halle /(/. P).
Solución. /(/. P ) . ¿ M ,Ax, - 0 (0.4 - 0 ) + 0,16(0.5 - 0.4) + 0.25 (0.7 - 0.5) + 0.49< I - 0.7) -
«= 0.213.
Figura 2-3 Figura 2-4
30 LA IN T E G R A L D EF IN ID A
L a F ig u ra 2-3 m uestra que las sum as inferiores corresponden al área de los rectángulos 
rayados po r debajo del grafo d e / y lo s rectángulos que sobresalen po r encim a del grafo de / 
corresponden a las sum as superiores.
N o ta . E l subíndice i d ice que M , y m, son extrem os superio r e in ferio r de la restricción d e / a l 
sub in tervalo i-ésinio de la p artic ió n . Lo s valores M t y m¡ son los puntos extrem os de la derecha 
y la izqu ierda del in te rva lo m ás pequeño que contiene la im agen de la restricción de/ a l in tervalo 
[x 4_ , . x j . I-a F ig u ra 2-4 m uestra el m odelo geom étrico de M ,A x , y m ,Axr com o las áreas de 
los rectángulos de base A x( y a ltu ras y m¡.
Adem ás, la F ig u ra 2-4 m uestra el térm ino a que da lug ar el in te rva lo [ x , _ x j en /(/", P ). 
que está representado po r el rectángu lo P R E A . E l in te rva lo [ x , _ , . x ,] da lug ar a dos térm inos 
en ¡( f , P ) orig inados al in te rca la r u, y están representados por las áreas de los rectángulos PQ B A 
y Q R D C .
O bserve que la sum a de las áreas de estos dos ú ltim os rectángulos es m ayor que el área de 
P R E A y la d iferencia está representada po r el área del rectángu lo B E D C . Esto sugiere que si 
una partición se refina, las sum as in feriores correspondientes a l refinam iento son m ayores o 
iguales a la sum a in fe rio r de la partición o rig ina l.
D efin ición 4. D adas dos particiones, P , y P 2. de [a , />]. se d ice que P , es un refinam iento de P 2
si P , => P 2.
Ejem plo 2-6. L a s particiones P , = {0 , 1/4, 1/2 , 2/3, 1} y P 2 =» {0 , 1/3, 1/2» 3/4, 1} son m ás finas 
que la partición P = {0 , 1/2» 1} porque P e P 2, P e P , . P , no es un refinam iento de P 2. L a 
un ión P , u P 2 = {0 , 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1 } es m ás fina que P , y P 2.
Sea / una función aco tada sobre [u , b ] y P * el con jun to de todas las particiones posibles 
de [a , ó ]. Sea L * = {/(/, P ) : P e P * } e l con jun to de todas las posibles sum as in feriores de / 
sobre [a . b ] y U * = {S { f . P ) : P t P ' J e I con jun to de todas las posibles sum as superiores d e / 
sobre [t i. ó ].
D efin ición 5. S e a / u n a función acotada sobre [a , b] y P * el con jun to de todas las particiones 
de [a , ¿»], Se define
(**/ ■= sup {/ (/ , P ) : P e P * }
rJ / = in f { S ( / P ) : P e P * }
£ / s e llam a in teg ra l in fe rio r d e / , de a a b. c J / . in teg ra l superio r de / . de a a h. C om o / es 
extrem ada sobre [a , ó ], J / e J / existen e i> j>
D efin ición 6. Se d ice que una función /d e fin id a sobre [a , ¿>] es in tegrab le según R icm ann si / 
es aco tada sobre [o , b ] c J / = J f S i / es in tegrab le sobre [a , 6 ] , la in teg ra l defin ida de
R icm ann de / desde a a b se representa po r j* / y se define por
T am b ién se escribe j* / = j * f [x ) dx. L a va riab le «x» es aparente y, po r tanto , se puede 
representar po r cualqu ier sím bolo.
L a in teg ra l J * / representa el área com prendida en tre el g rafo de la función y el in terva lo 
[a , b] sobre el eje X , cuando f [x ) ¿ 0 para todo x de [a . fc].
P r o p ie d a d e s d e la in t e g r a l d e f in id a
'• t '- L ' + | * / A d iliv id ad con respecto a l in te rva lo de integración.
g. L in ca lid ad con respecto a l integrando.
4 . y*| ¿ J \f\. A co tación m odular.
5. S i m S / S M . í x é [ o . ó ] = > m { b - a ) S J / S M ( b - a ).
* í / - r ; f (x - c). In va rian c ia por traslación.
7. j* / = J * * / ( y ) dx Expansión o contracción del in terva lo de integración.
LA IN T EG R A L D EF IN ID A 31
P R O B L E M A S R E S U E L T O S
P r o b l e m a 2-1 - x + 3, - I 5 x < 0 
x2 + I , 0 ¿ x < I
3. I < x <; 2
S i / ( x ) =
y P = { - 1 . - 1 / 2 . 0 , 1/2. 3/2. 2 } halle /(/, P ). 
S o lu c ió n . /(/. P ) = £ m.Ax, - 3 ^ [ -0.5 - ( — 1)]
+ l[0 - (-0 .5 )] + 1(0.5 — 0) -F 1.25(1.5 - 0.5) + 3(2 - 1,5) 
- 5.5.
1s
! 2 
! 1
- 1 - 1/2
yH
0 1 i i ! í
1/2 1 3/2 2
P r o b l e m a 2-2
ser. p).
F ig u ra 2-5
S i f [x ) = x2 sobre [0 .1 ] y P = {0 ; 0 .5; 0 .7 ; 0 .9 ; I } . h a lle / (/ . P ) y
S o lu c ió n , a ) S (f. P ) = ¿ M,Ax, = 0.25(0.5 - 0) + 0.49(0.7 - 0.5) + 0,81(0.9 - 0.7) + 1(1 - 0.9) - 0.485. 
i -1
ft) /(/. P ) « ¿ m£x, = 0(0.5 - 0 ) + 0.25(0,7 - 0.5) + 0.49(0.9 - 0 .7) + 0.81(1 - 0.9) - 0.229. 
i-1
P r o b l e m a 2 -3
S i f [x ) = x + 3 sobre [0 .5 ] y P , = { 0 , 2 , 4 . 5 } . P , . {0 . 1 ,2, 3 . 4 . 5 } .
H a lle /(/, P .X S (f, P ,X l ( f , P 2\ S (/ . P 2).
i
S o lu c ió n . /(/. P,> - X = -3 (2 - 0) + 5(4 - 2 ) + 7(5 - 4) - 23.
«■ I
S (/ , P , ) = ¿ Af,Ax, = 5(2 - 0) + 7(4 - 2) + 8(5 - 4) - 32.
i-1
/</• P j ) - ¿ = 3(1 - 0) + 4 (2 - I ) -F 5(3 - 2) + 6(4 - 3) + 7(5 - 4) = 25.
i -1
S</. P ¡) = £ M £ x ¡ “ 4(1 - 0) + 5(2 - I ) + 6(3 - 2) + 7(4 - 3) + 8(5 - 4) = 30. 
Observe que /(/. P .) S ((/ . P * ) £ S(/. P 2) s 5 (/. P ,) con P , S P ,.
32 LA IN T E G R A L D EF IN ID A
P r o b l e m a 2 -4 y . |f l ^ y acotada y P = { x* } "- . ) una partición de [a , ó ].
M uestre q u e : a ) /(/. P ) £ S (f , P ) ; ¿>) m ^ / íx ) £ M sobre [a