problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (59)

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Caṕıtulo 3. Funciones
La aplicación es sobreyectiva.
(d) Para todo x1, x2 ∈ Z : i(x1) = i(x2) ⇒ x1 = x2, es decir, i es inyectiva.
Elijamos por ejemplo y = 1/2 ∈ Q. Entonces,
∃x ∈ Z : i(x) = 1/2⇔ ∃x ∈ Z : x = 1/2.
Pero 1/2 6∈ Z, es decir i no es sobreyectiva.
5. (a) Para todo x1, x2 ∈ R :
f(x1) = f(x2)⇒ ex1 = ex2 ⇒ ex1/ex2 = 1
⇒ ex1−x2 = 1⇒ x1 − x2 = 0⇒ x1 = x2,
es decir f es inyectiva. La función exponencial f(x) = ex solamente toma
valores positivos, en consecuencia f no es sobreyectiva.
(b) Para todo x1, x2 ∈ [0,+∞) :
f(x1) = f(x2)⇒ x21 + 1 = x22 + 1⇒ x21 = x22.
Dado que x1 y x2 son ≥ 0, ha de ser x1 = x2.. Es decir, f es inyectiva. Sea
y ∈ [1,+∞) genérico. Entonces
∃x ∈ [0,+∞) : f(x) = y ⇔ ∃x ∈ [0,+∞) : x2 + 1 = y.
Como y ≥ 1, y−1 ≥ 0 y la última ecuación tiene la solución x = +
√
y − 1 ∈
[0,+∞). La aplicación es sobreyectiva. Concluimos pues que f es biyectiva.
6. (i) Sea c ∈ C. Como g es sobreyectiva, ∃b ∈ B tal que c = g(b). Como f
es sobreyectiva, ∃a ∈ A tal que b = g(a). Entonces, (g ◦ f)(a) = g(f(a)) =
g(b) = c, por tanto g ◦ f es sobreyectiva.
(ii) Sean a1, a2 ∈ A. Entonces,
(g ◦ f)(a1) = (g ◦ f)(a2)⇒ g (f(a1)) = g (f(a2)) .
Como g es inyectiva, se verifica f(a1) = f(a2). Pero f es también inyectiva,
por tanto a1 = a2. Concluimos que g ◦ f es inyectiva.
(iii) Es consecuencia inmediata de los apartados anteriores.
	Funciones
	Aplicación identidad, aplicación inversa