problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (61)

Vista previa del material en texto

Caṕıtulo 3. Funciones
es decir, f−1 es inyectiva. Sea x ∈ A y llamemos y = f(x). Por definición de
inversa, x = f−1(y) y por tanto f−1 es sobreyectiva. Concluimos que f−1 es
biyectiva.
(ii) Tenemos
A
f−→ B IB−→ B
y además para todo x ∈ A : (IB ◦ f)(x) = IB (f(x)) = f(x). lo cual implica
IB ◦ f = f. Por otra parte
A
IA−→ A f−→ B
y además para todo x ∈ A : (f ◦ IA)(x) = f (IA(x)) = f(x). lo cual implica
f ◦ IA = f.
(iii) Tenemos A
f−→ B f
−1
−→ A. Sea x ∈ A y llamemos y = f(x). Entonces,
(f−1 ◦ f)(x) = f−1 (f(x)) = f−1(y) = x, lo cual implica f−1 ◦ f = IA.
Por otra parte B
f−1−→ A f−→ B. Sea y ∈ B y sea x ∈ A tal que y = f(x).
Entonces, (f◦f−1)(y) = f
(
f−1(y)
)
= f(x) = y, lo cual implica f◦f−1 = IB.
3.5. Imágenes directas e inversas
1. Consideremos X = {1, 2, 3, 4}, Y = {a, b, c}, la aplicación f : X → Y
dada por
f(1) = a, f(2) = a, f(3) = c, f(4) = c,
y los conjuntos A = {1, 3} y B = {a, b}. Determinar f(A) y f−1(B).
2. Sea f : R→ R dada por f(x) = x2. Determinar
(i) f−1 ({36}) . (ii) f−1 ({−25}) . (iii) f−1 ({x : x ≤ 0}) .
(iv) f−1 ({x : 25 ≤ x ≤ 36}) . (v) f−1 ({x : x ≥ 0})
3. Sea f : X → Y una aplicación. Demostrar que para cualquier par de
subconjuntos A1 y A2 de X se verifica:
(i) f (A1 ∪A2) = f (A1) ∪ f (A2) .
(ii) f (A1 ∩A2) ⊂ f (A1) ∩ f (A2) .
Dar un contraejemplo que demuestre que en general
f (A1 ∩A2) 6= f (A1) ∩ f (A2) .
4. Sea f : X → Y una aplicación. Demostrar que para cualquier par de
subconjuntos B1 y B2 de Y se verifica:
(i) f−1 (B1 ∪B2) = f−1 (B1) ∪ f−1 (B2) .
(ii) f−1 (B1 ∩B2) = f−1 (B1) ∩ f−1 (B2) .
	Funciones
	Imágenes directas e inversas