problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (63)

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Caṕıtulo 3. Funciones
(iii) f−1 ({x : x ≤ 0}) = {x ∈ R : f(x) = x2 ≤ 0} = {0}.
(iv) f−1 ({x : 25 ≤ x ≤ 36}) = {x ∈ R : f(x) = x2 ∈ [25, 36]} = [5, 6] ∪
[−6,−5].
(v) f−1 ({x : x ≥ 0}) = {x ∈ R : f(x) = x2 ≥ 0} = R.
3. (i) Demostremos el contenido de izquierda a derecha. Si y ∈ f (A1 ∪A2) ,
entonces y = f(x) para algún x ∈ A1 ∪ A2. Si x ∈ A1, entonces y ∈ f (A1) ,
si x ∈ A2, entonces y ∈ f (A2). En cualquier caso y ∈ f (A1) ∪ f (A2) .
Veamos ahora el contenido de derecha a izquierda. Si y ∈ f (A1) ∪ f (A2),
entonces y ∈ f (A1) o y ∈ f (A2) . Si y ∈ f (A1), existe x1 ∈ A1 tal que
y = f(x1), si y ∈ f (A2), existe x2 ∈ A2 tal que y = f(x2). En el pri-
mer caso x1 ∈ A1 ∪ A2 y en el segundo, x2 ∈ A1 ∪ A2. En cualquier caso,
y ∈ f (A1 ∪A2) .
(ii) Si y ∈ f (A1 ∩A2) , entonces existe x ∈ A1 ∩ A2, tal que y = f(x).
Como x ∈ A1 y x ∈ A2, se verifica y ∈ f (A1) e y ∈ f (A2) . Es decir,
y ∈ f (A1) ∩ f (A2) .
Veamos que en general no se verifica la igualdad, para ello elijamos X =
{a, b}, Y = {c}, A1 = {a}, A2 = {b} y la aplicación f : X → Y dada por
f(a) = f(b) = c. Entonces,
f (A1 ∩A2) = f(∅) = ∅, f (A1) ∩ f (A2) = {c} ∩ {c} = {c},
es decir f (A1 ∩A2) 6= f (A1) ∩ f (A2) .
4. (i) Tenemos las equivalencias:
x ∈ f−1 (B1 ∪B2)⇔ f(x) ∈ B1 ∪B2 ⇔ f(x) ∈ B1 o f(x) ∈ B2
⇔ x ∈ f−1 (B1) o x ∈ f−1 (B2)⇔ x ∈ f−1 (B1) ∪ f−1 (B2) .
Es decir, f−1 (B1 ∪B2) = f−1 (B1) ∪ f−1 (B2) .
(ii) De manera análoga:
x ∈ f−1 (B1 ∩B2)⇔ f(x) ∈ B1 ∩B2 ⇔ f(x) ∈ B1 y f(x) ∈ B2
⇔ x ∈ f−1 (B1) y x ∈ f−1 (B2)⇔ x ∈ f−1 (B1) ∩ f−1 (B2) .
Por tanto, f−1 (B1 ∩B2) = f−1 (B1) ∩ f−1 (B2) .
5. (i) Demostremos el contenido de izquierda a derecha. Si y ∈ f (
⋃
Ai) ,
entonces y = f(x) para algún x ∈
⋃
Ai. Por definición de unión, existe un
ı́ndice i0 tal que x ∈ Ai0 lo cual implica que y ∈ f (Ai0) y de nuevo por
definición de unión, y ∈
⋃
f (Ai) .