problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (65)

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Caṕıtulo 3. Funciones
9. (i) Sea x ∈ A. Entonces, f(x) ∈ f(A) y por definición de imagen inversa,
x ∈ f−1 (f(A)) .
(ii) Sea y ∈ f
(
f−1(B)
)
. Esto implica que y = f(x) para algún x ∈ f−1(B).
Pero x ∈ f−1(B) equivale a f(x) ∈ B. Por tanto y = f(x) ∈ B.
10. Si y ∈ f (A1) ∩ f (A2), entonces y ∈ f (A1) e y ∈ f (A2) , es decir existe
x1 ∈ A1 tal que y = f(x1) y existe x2 ∈ A2 tal que y = f(x2). Pero f es
inyectiva, lo cual implica que x1 = x2. Por tanto x1 ∈ A1 ∩ A2, en conse-
cuencia y ∈ f (A1 ∩A2) .
Es decir, f (A1) ∩ f (A2) ⊂ f (A1 ∩A2) , y por tanto f (A1) ∩ f (A2) =
f (A1 ∩A2) .
3.6. Biyección entre (−1, 1) y R
Demostrar que la siguiente función es biyectiva y determinar su inversa
f : (−1, 1)→ R, f(x) = x
1− |x|
.
Solución. La función está bien definida pues si x ∈ (−1, 1), entonces |x| < 1
y el denominador 1− |x| no se anula. Veamos que es inyectiva.
f(x1) = f(x2)⇒
x1
1− |x1|
=
x2
1− |x2|
. (1)
Tomando módulos queda |x1|1−|x1| =
|x2|
1−|x2| o bien, |x1| − |x1||x2| = |x2| −
|x1||x2| lo cual implica |x1| = |x2|, y consecuentemente 1 − |x1| = 1 − |x2|.
Sustituyendo en (1), queda x1 = x2.
Veamos que f es sobreyectiva. Podemos expresar f(x) en la forma:
f(x) =

x
1− x
si x ∈ [0, 1)
x
1 + x
si x ∈ (−1, 0).
Si y ≥ 0, entonces igualando y = x1−x obtenemos x =
y
1+y ∈ [0, 1). Si y < 0,
entonces igualando y = x1+x obtenemos x =
y
1−y ∈ (−1, 0). Es decir, para
todo y ∈ R existe x ∈ (−1, 1) tal que y = f(x) y por tanto, f es sobreyectiva.
Al ser f biyectiva tiene inversa, siendo su expresión:
f−1(y) =

y
1 + y
si y ≥ 0
y
1− y
si y < 0,
	Funciones
	Biyección entre (-1,1) y R