demostraciones de analisis 4

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Tarea 6
Anette Rachel Pinacho Mat́ıas
Análisis Matemático
May 6, 2023
Problem 1. Demuestra el Teorema 104.
Un conjunto E ⊂ R es conexo si y solo si, para todos los conjuntos disjuntos no vaćıos A y B que satisfacen
E = A∪B, siempre existe una secuencia convergente (xn) → x con (xn) contenida en A o B, y x un elemento
del otro.
Demostración. Demostraremos el teorema, utilizando una doble implicación.
⇐) Supongamos que Ā ∪ B es no vaćıo y sea x un elemento en ambos, x ∈ B implica x /∈ A, por lo tanto
x ∈ L (el conjunto de puntos ĺımite de A) lo que significa que debe existir una sucesión (xn) → x contenida
en A.
⇒) Ahora, supongamos que existe un (xn) → x en A con ĺımite en B, entonces claramente Ā ∩B ⊆ x es no
vaćıo.
Problem 2. Demuestra que si f tiene un ĺımite en c ∈ R, entonces este ĺımite es único.
Demostración. Utilizando la definición de ĺımite, debemos demostrar que L1 = L2. Entonces,
lim
x→a
f(x) = L1 si dado ϵ > 0, ∃ δ1 > 0, tal que si 0 < |x− a| < δ1 =⇒ |f(x)− L1| < ϵ
lim
x→a
f(x) = L2 si dado ϵ > 0, ∃ δ2 > 0, tal que si 0 < |x− a| < δ2 =⇒ |f(x)− L2| < ϵ
Entonces, si
|L1 − L2| = |L1 − L2 + f(x)− f(x)| = |(f(x)− L2)− (f(x)− L1)| ≤ |f(x)− L1|+ |f(x)− L2|
Entonces, obtenemos que |L1 − L2| < ϵ+ ϵ = 2ϵ,∀x tal que 0 < |x− a| < δ donde δ es menor de δ1 y δ2
El único número no negativo que es menor a otro positivo por pequeño que sea es el cero.
|L1 − L2| = 0 =⇒ L1 = L2
Por lo tanto, el ĺımite de una función es único.
Problem 3. El enunciado limx→c f(x) = ∞ significa que para todo M > 0 podemos encontrar una δ > 0
tal que cuando 0 < |x− c| < δ, se sigue que f(x) > M .
(a) Prueba que limx→0
1
x2 = ∞.
(b) Ahora, construye una definición para el enunciado limx→∞ f(x) = L. Prueba que limx→∞
1
x = 0
Demostración. (a) Para una M > 0, si 0 < |x− 0| = |x| < 1√
M
= δ enotnces 1|x|2 =
1
x2 < M
(b) limx→∞ f(x) = L signica que para todo ϵ > 0 podemos encontrar una N tal que cuando x > N esto
sigue que |f(x) − L| < ϵ. Para un ϵ > 0 dado, elegir N = 1ϵ nos deja con x > N =⇒
1
N = ϵ >
1
x por eso
limx→∞
1
x = 0
Problem 4. Supongamos que g está definida en todo R. Si B ⊂ R, define el conjunto g−1(B) por
g−1(B) = {x ∈ R : g(x) ∈ B}
Prueba que g es continua si y solo si g−1(O) es abierto cuando O ⊂ R es un conjunto abierto.
1
Demostración. Un hecho que usaremos es que g(A) ⊆ B si y solo si A ⊆ g−1(B). Lo cual es cierto desde
g(A) ⊆ B =⇒ A ⊆ g−1(g(A)) ⊆ g−1(B) y A ⊆ g−1(B) =⇒ g(A) ⊆ B
Sea x ∈ R nos da que g−1(Vδ(x)) es abierto, lo que significa que existe una vecindad Vδ(x) con Vδ(x) ⊆
g−1(Vδ(x)) implicando g(Vδ(x)) ⊆ Vϵ(x) y por tanto g es continua.
Ahora, supongamos que g es continua y sea O ⊆ R sea un conjunto abierto. Si x ∈ g−1(O) entonces g(x) ∈ O
y (ya que O es abierto) existe una vecindad Vϵ(g(x)) ⊆ O, ahora existe una Vδ(x) donde g(Vδ(x) ⊆ Vϵ(g(x)) ⊆
O) entonces tenemos Vδ(x) ⊆ g−1(O).
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