problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (71)

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Caṕıtulo 4. Grupos
4. El producto de números reales no nulos es no nulo. El producto de reales
tiene la propiedad asociativa. Se verifica 1·x = x·1 = x para todo x ∈ R\{0}
y por tanto e = 1 es elemento neutro. Si x es real no nulo, entonces 1/x es
real no nulo y se verifica x · (1/x) = (1/x) · x = 1, por tanto x′ = 1/x es
elemento simétrico de x. Además el producto de reales es conmutativo.
5. Interna. Si A y B pertenecen a G entonces A y B son invertibles es decir,
detA 6= 0 y detB 6= 0. Dado que det(AB) = (detA)(detB) 6= 0 concluimos
que AB es invertible y por tanto, pertenece a G.
Asociativa. Es una conocida propiedad del producto de matrices.
Elemento neutro. La matriz identidad I real de orden n es invertible (det I =
1 6= 0) y cumple AI = IA = A para toda A ∈ G, por tanto existe elemento
neutro.
Elemento simétrico. Dada A ∈ G se verifica detA−1 = (detA)−1 6= 0, es
decir A−1 ∈ G y A−1A = A−1A = I, por tanto todo A ∈ G tiene elemento
simétrico.Es decir, (G, ·) es grupo.
No es abeliano porque en general no se verifica la propiedad conmutativa del
producto de matrices, incluso para matrices invertibles. Basta tomar como
contraejemplo:
A =
[
1 1
0 1
]
, B =
[
1 0
1 1
]
.
Ambas matrices son invertibles, sin embargo AB 6= BA como inmediata-
mente se comprueba.
6. Interna. La suma de dos elementos de R[x] es claramente un elemento de
R[x].
Asociativa. Es una conocida propiedad de la suma de polinomios.
Existencia de elemento neutro. El polinomio
e(x) = 0 + 0x+ 0x2 + . . .+ 0xn + . . .
satisface
p(x) + e(x) = e(x) + p(x) = p(x)
para todo p(x) ∈ R[x].
Existencia de elemento simétrico. Dado
p(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + . . .+ anx
n + . . . ∈ R[x],
el polinomio −p(x) = −a0 − a1x− a2x2 + . . .− anxn − . . . ∈ R[x] satisface
p(x) + (−p(x)) = (−p(x)) + p(x) = e(x).