problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (86)

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4.8 Centro de un grupo
es decir H es subgrupo de G. Veamos que es subgrupo normal. Efectivamente
para matrices genéricas A ∈ G y M ∈ H tenemos
AMA−1 =
[
a b
0 1
] [
1 m
0 1
] [
1/a −b/a
0 1
]
=
[
1 am
0 1
]
∈ H.
4.8. Centro de un grupo
Si (G, ·) es un grupo, se define el centro de G denotado por Z(G) como
Z(G) = {z ∈ G : gz = zg , ∀g ∈ G},
es decir, como el conjunto de los elementos de G que conmutan con todos
los de G. Demostrar que Z(G) es subgrupo normal de G.
Solución. 1 ∈ Z(G) pues g1 = 1g para todo g ∈ G. Sean ahora g1, g2 ∈
Z(G) y g ∈ Z(G). Entonces
g(g1g
−1
2 ) = (gg1)g
−1
2 = (g1g)g
−1
2 = g1(gg
−1
2 ).
Como g2 ∈ Z(G) se verifica g2g−1 = g−1g2, y tomando inversos gg−12 = g
−1
2 g.
Por tanto
g(g1g
−1
2 ) = g1(g
−1
2 g) = (g1g
−1
2 )g,
es decir g1g
−1
2 ∈ Z(G), en consecuencia Z(G) es subgrupo de G.
Veamos que es normal. Si g ∈ G y h ∈ Z(G) se verifica gh = hg y por
tanto h = g−1hg. Entonces, h = g−1hg ∈ Z(G) lo cual implica que Z(G) es
normal.
4.9. Subgrupo normal y centro
En G = Z× Z se define la ley de composición interna ∗ mediante
(x1, y1) ∗ (x2, y2) = (x1 + (−1)y1x2, y1 + y2).
Se pide:
(a) Probar que ley ∗ confiere a G estructura de grupo no abeliano.
(b) Demostrar que el subconjunto H = {(x, y) ∈ G : y = 0} es un subgrupo
normal de G.
(c) Hallar el centro de G.
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	Centro de un grupo
	Subgrupo normal y centro