problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (105)

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Caṕıtulo 4. Grupos
La operación ∗ es asociativa pues
[(a1, a2) ∗ (b1, b2)] ∗ (c1, c2) = (b1, a2) ∗ (c1, c2) = (c1, a2),
(a1, a2) ∗ [(b1, b2) ∗ (c1, c2)] = (a1, a2) ∗ (c1, b2) = (c1, a2).
2. Sea (e1, e2) un elemento fijo de π. Si es elemento neutro para la operación
∗ se ha de verificar
(a1, a2) ∗ (e1, e2) = (a1, a2) ∀(a1, a2) ∈ π,
(e1, e2) ∗ (a1, a2) = (a1, a2) ∀(a1, a2) ∈ π.
Equivalentemente (e1, a2) = (a1, e2) = (a1, a2) ∀(a1, a2) ∈ π. Por tanto se
ha de verificar e1 = a1 y e2 = a2. No existe pues elemento neutro para la
operación ∗ pues (e1, e2) ha de ser elemento fijo.
3. Veamos que ∼ es una relación de equivalencia. (a) Para todo P (x, y) de
π se verifica x+ y = x+ y lo cual implica que ∼ es reflexiva. (b) P (x, y) ∼
Q(z, t)⇒ x+ y = z + t⇒ z + t = x+ y ⇒ Q(z, t) ∼ P (x, y) lo cual implica
que ∼ es simétrica.
(c)
{
P (x, y) ∼ Q(z, t)
Q(z, t) ∼ R(u, v) ⇒
{
x+ y = z + t
z + t = u+ v
⇒ x+ y = u+ v ⇒
P (x, y) ∼ R(u, v),
lo cual implica que ∼ es transitiva.
Hallemos las clases de equivalencia. Sea A(a1, a2) ∈ π, la clase de equivalen-
cia a la que pertenece A es [A] = {(x, y) ∈ π : x+y = a1 +a2}. Es decir, [A]
está formada por los puntos de la recta que pasa por A y tiene pendiente
−1. Los elementos del conjunto cociente π/ ∼ son exactamente las rectas
del plano de pendiente −1.
Y
X
π/ ∼
B
A
[A]
[B]
4. La relación ∼ no es compatible con la operación ∗. En efecto tenemos por
ejemplo (0, 0) ∼ (−1, 1) y (0, 1) ∼ (1, 0) sin embargo
(0, 0) = (0, 0) ∗ (0, 1) 6∼ (−1, 1) ∗ (1, 0) = (1, 1).