problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (132)

Vista previa del material en texto

5.12 Ideal de las sucesiones acotadas
y al ser I, J ideales, i1 − i2 ∈ I y j1 − j2 ∈ J, luego x− y ∈ I + J.
Si a ∈ A y x ∈ I + J :
ax = a(i1 + j1) = ai1 + aj1,
xa = (i1 + j1)a = i1a+ j1a,
y al ser I, J ideales, ai1 e i1a pertenecen a I, y aj1 y j1a pertenecen a J,
luego ax y xa pertenecen a I + J.
6. Como I, J son ideales de A, son subanillos de este, por tanto 0 pertenece
a ambos, es decir I ∩ J 6= ∅.
Si x, y ∈ I ∩ J, entonces x − y pertenece a I y a J por ser ideales, luego
x− y ∈ I ∩ J. Si a ∈ A y x ∈ I ∩ J, entonces ax y xa pertenecen a I y a J
por ser ideales, luego ax ∈ I ∩ J y xa ∈ I ∩ J.
5.12. Ideal de las sucesiones acotadas
Demostrar que el conjunto N de las sucesiones reales nulas, es decir de ĺımite
0, es un ideal del anillo B de las sucesiones acotadas de números reales.
Solución. Sabemos que toda sucesión convergente está acotada, por tanto
N ⊂ B. La sucesión nula 0 = (0) tiene ĺımite 0, por tanto 0 ∈ N , es decir
N 6= ∅. Si x = (xn) e y = (yn) son elementos de N , entonces (xn) → 0
e (yn) → 0 lo cual implica por conocidas propiedades de los ĺımites que
x− y = (xn − yn)→ 0, luego x− y ∈ N .
Por último, si a = (an) ∈ B y (xn) ∈ N , entonces (an) está acotada y (xn) es
una sucesión nula. Por una conocida propiedad de los ĺımites, ax = (anxn)
es sucesión nula, luego ax ∈ N .
Concluimos que N es ideal de B.
5.13. Ideal bilátero f(I)
Siendo f : A → A′ un homomorfismo de anillos e I un ideal bilátero de A,
demostrar que f(I) es un ideal bilátero de f(A) (subanillo de A′).
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Arquitectura, UPM).
Solución. Sean y1, y2 elementos de f(I). Entonces existen x1, x2 elemen-
tos de I tales que y1 = f(x1), y2 = f(x2). Teniendo en cuenta que f es
homomorfismo:
y1 − y2 = f(x1)− f(x2) = f(x1 − x2).
	Anillos y cuerpos
	Ideal de las sucesiones acotadas
	Ideal bilátero f(I)