problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (154)

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5.30 Cuaternios de Hamilton
que A es un dominio de integridad. Sin embargo, no es cuerpo. En efecto, si
0 6= x ∈ A entonces f(x) ∈ (0, 1] y
1 = f(u) = f(xx−1) = f(x)f(x−1)⇒ f(x−1) = 1
f(x)
> 1⇒ x−1 6∈ A.
5.30. Cuaternios de Hamilton
Sea H = R × R3 =
{
A = (a, ~α) : a ∈ R, ~α ∈ R3
}
. A cada elemento A de H
se le llama cuaternio (o cuaternión). En el conjunto H se define la igualdad
de dos elementos A = (a, ~α) y B = (b, ~β) mediante:
A = B ⇔ a = b y ~α = ~β
Definimos la suma A+B y el producto AB mediante:
A+B = (a+ b, ~α+ ~β) , AB = (ab− ~α · ~β, a~β + b~α+ ~α ∧ ~β)
en donde · representa el producto escalar usual de R3 y ∧ el producto vec-
torial.
1. Demostrar que (H,+) es un grupo abeliano. Precisar el elemento neutro
E y el opuesto de A.
2. Demostrar que la multiplicación es distributiva respecto de la suma.
3. Demostrar que H − {E} es un grupo con la operación producto de cua-
ternios. Precisar el elemento unidad U . Demostrar que el inverso A−1 de
A = (a, ~α) es:
A−1 =
(
a
a2 + ~α 2
,
−~α
a2 + ~α 2
)
4. A la vista de los resultados anteriores, ¿qué estructura tiene H?
Solución. 1. (a) Interna. Es claro que si A,B ∈ H entonces A+B ∈ H.
(b) Asociativa. Se deduce de manera sencilla a partir de la asociatividad de
la suma en R y en R3.
(c) Elemento neutro. Claramente el cuaternio E = (0,~0) cumple A + E =
E +A = A para todo A ∈ H.
(d) Elemento opuesto. Dado A = (a, ~α) ∈ H, −A = (−a,−~α) ∈ H cumple
A+ (−A) = (−A) +A = E.
(e) Conmutativa. Se deduce de manera sencilla a partir de la conmutativi-
dad de la suma R y en R3.
2. Consideremos los elementos de H : A = (a, ~α), B = (b, ~β), A = (c,~γ) .
Usando conocidas propiedades del producto escalar y vectorial:
A(B + C) = (a, ~α)(b+ c, ~β + ~γ)
	Anillos y cuerpos
	Cuaternios de Hamilton