problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (196)

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7.10 Transposición de matrices
Solución. 1. a) (AT )T =
[
2 3 2
−1 4 3
]T
=
2 −13 4
2 3
 = A.
b) (A+B)T =
3 13 6
3 8
T = [3 3 3
1 6 8
]
=
[
2 3 2
−1 4 3
]
+
[
1 0 1
2 2 5
]
= AT +BT .
c) (λA)T =
2λ −λ3λ 4λ
2λ 3λ
T = [2λ 3λ 2λ−λ 4λ 3λ
]
= λ
[
2 3 2
−1 4 3
]
= λAT .
2.
AB =
2 −13 4
2 3
[1 2 −1
0 2 5
]
=
2 2 −73 14 17
2 10 13

⇒ (AB)T =
 2 3 22 14 10
−7 17 13
 .
BTAT =
 1 02 2
−1 5
[ 2 3 2
−1 4 3
]
=
 2 3 22 14 10
−7 17 13
 .
Concluimos que (AB)T = BTAT .
3. a) Si A = [aij ] ∈ Km×n, entonces AT = [a′ji] ∈ Kn×m con a′ji = aij . Pero(
AT
)T
= [a′′ij ] ∈ Km×n con a′′ij = a′ji. Es decir, a′′ij = a′ji = aij , por tanto(
AT
)T
= A.
b) Si A = [aij ] ∈ Km×n, AT = [a′ji] ∈ Kn×m con a′ji = aij . Si B = [bij ] ∈
Km×n, BT = [b′ji] ∈ Kn×m con b′ji = bij . Entonces,
(A+B)T = [aij + bij ]
T = [cji] con cji = aji + bji.
Por otra parte,
AT +BT = [aji] + [bji] = [aji + bji] = [cji],
lo cual implica que (A+B)T = AT +BT .
c) Razonando de manera análoga:
(λA)T = [λaij ]
T = [λaji] = λ[aji] = λA
T .