problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (334)

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10.8 Clasificación de aplicaciones lineales
10.8. Clasificación de aplicaciones lineales
1. Clasificar las aplicaciones lineales:
1) f : R2 → R3, f(x1, x2) = (x1 + x2, −x1 + 2x2, 0).
2) g : R3 → R2, g(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3).
2. Demostrar que f : R2 → R2 dado por
f
[
x1
x2
]
=
[
3 −1
4 2
] [
x1
x2
]
es isomorfismo.
3. Para todo λ ∈ R se considera el endomorfismo T en R3 cuya matriz en la
base canónica es
A =
λ+ 2 2λ+ 4 3λ+ 6λ+ 2 3λ+ 6 3λ+ 6
λ+ 2 3λ+ 6 4λ+ 5
 .
Determinar los valores de λ para los cuales T es isomorfismo.
4. Demostrar que el endomorfismo D en R[x] que hace corresponder a cada
polinomio su derivada es epimorfismo pero no monomorfismo.
5. Sea f : E → F una aplicación lineal. Demostrar que f es inyectiva ⇔
ker f = {0}.
6. Demostrar que si f : E → F es isomorfismo, también f−1 : F → E es
isomorfismo.
7. Sean E y F espacios vectoriales sobre el cuerpo K, f : E → F isomorfismo
y B = {u1, . . . , un} una base de E. Demostrar que B′ = {f(u1), . . . , f(un)}
es base de F.
8. Sea E espacio vectorial sobre el cuerpo K, de dimensión finita n. Demos-
trar que E es isomorfo a Kn.
9. Sean E y F son espacios vectoriales sobre el cuerpo K, ambos de dimensión
finita y dimE = dimF. Demostrar E es isomorfo a F.
Solución. 1. 1) Llamando (y1, y2, y3) = (x1 + x2,−x1 + 2x2, 0), obtenemos
la ecuación matricial de f respecto de las bases canónicas de R2 y R3 :y1y2
y3
 =
 1 1−1 2
0 0
[x1
x2
]
,