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Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales 4. Se considera la aplicación lineal f : R3 → R4 cuya matriz asociada res- pecto de las bases canónicas es A = −1 2 3 2 −4 −6 0 −1 −2 1 1 3 . Localizar bases de R3 y R4 para que la matriz asociada a f sea de la forma[ Ir 0 0 0 ] , verificando el resultado. 5. Se considera la aplicación lineal f : R3[x]→ R2[x] dada por f(p) = −p(0) + p′. Hallar un par de bases en las que la matriz de f sea [ Ir 0 0 0 ] . 6. Sea A la matriz de una aplicación lineal f : E → F, en las bases BE = {u1, . . . , um} y BF = {v1, . . . , vn}. Sean las nuevas bases B′E = {u′1, . . . , u′m} y B′F = {v′1, . . . , v′n}. Demostrar que la matriz de f en las bases B′E y B ′ F es Q −1AP, siendo P la matriz de cambio de BE a B ′ E y Q la de cambio de BF a B ′ F . 7. Demostrar que la relación en Kn×m : A ∼ B ⇔ A es equivalente a B, es una relación de equivalencia. 8. Sea f : E → F una aplicación lineal con dimE = m, dimF = n fini- tas y sea dim Im f = r. Demostrar que existen bases BE y BF de E y F respectivamente tales que: [f ]BFBE = [ Ir 0 0 0 ] , siendo Ir la matriz identidad de orden r. Solución. 1. Las matrices A y B tienen el mismo orden, por tanto son equivalentes si, y sólo si rgA = rgB. Dado que ∣∣∣∣1 21 1 ∣∣∣∣ = −1 6= 0, el rango de A es 2. Restando a la segunda fila de la matriz B, la primera: rgB = rg [ 1 1 1 0 0 a− 5 ] = 2⇔ a− 5 6= 0. Es decir, A y B son equivalente si, y solo si a 6= 5.
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