Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Álgebra lineal 104 Ejercicio 4.3.5. Sean V y W dos espacios vectoriales fi nitamente generados. Demues- tre que V � W ⇔ dim (V) � dim (W). Ejercicio 4.3.6. Si T : Rn → Rm es una transformación lineal, de acuerdo con los ejercicios 13 y 14, página 146, encontrar RT se reduce a resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explique esto. 4.4. Matrices y transformaciones lineales En esta sección estableceremos una relación estrecha entre transformaciones lineales y matrices. También probaremos un resultado importante para matrices: si A es una matriz m � n, entonces el espacio generado por las columnas y el espacio generado por las fi las tienen la misma dimensión. A este número común le llamaremos el rango de A. Sabemos que una transformación lineal queda completamente determinada en una base, teorema 4.1.2, página 128. Si T : V → W es una transformación lineal, {α1, α2, ..., αn} y {β1, β2, ..., βm} son bases de V y W respectivamente, entonces para cada j � 1, ..., n, T(αj) se representa como combinación lineal de los elementos de la base {β1, β2, ..., βm}, es decir, existen escalares a1j, a2j, ..., amj, únicos, tales que: T(αj) � a1jβ1 a2jβ2 · · · amjβm (4.10) Los escalares aij solamente dependen de la transformación lineal y de las bases ele- gidas, con ellos formamos la matriz: A[α,β] � a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n am1 am2 · · · amn · · · Defi nición 4.4.1. La matriz A[α, β] se llama la matriz asociada a la transformación T respecto a las bases {α1, α2, ..., αn} y {β1, β2, ..., βm}. Si no hay lugar a confusión en cuanto a las bases, suprimiremos el subíndice de la matriz asociada a una transformación. Ejemplo 4.4.1. Sea T : R2 → R5 dada por T(x, y) � (2x y, x � y, 4x � 3y, x, y). Encuen- tre la matriz asociada a T respecto a las bases canónicas. Desarrollo. Para encontrar la matriz asociada a T respecto a las bases canónicas, la evaluamos en e1 � (1, 0) y en e2 � (0, 1), encontrándose combinaciones lineales en términos de la base canónica de R5. Los coefi cientes que aparecen en T(e1) forman la primera columna y los de T(e2) forman la segunda columna. Se tiene: T(1, 0) � (2, 1, 4, 1, 0) � 2(1, 0, 0, 0, 0) (0, 1, 0, 0, 0) 4(0, 0, 1, 0, 0) (0, 0, 0, 1, 0) 0(0, 0, 0, 0, 1) y T(0, 1) � (1, �1, �3, 0, 1) � (1, 0, 0, 0, 0) � (0, 1, 0, 0, 0) � 3(0, 0, 1, 0, 0) 0(0, 0, 0, 1, 0) (0, 0, 0, 0, 1) · · · · · ·· · · Álgebra Lineal Capítulo 4 Transformaciones lineales y matrices 4.4. Matrices y transformaciones lineales
Compartir