problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (367)

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Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales
10.17. Subespacio conjugado o anulador
1. En R4 y respecto de una base B se considera el subespacio de ecuaciones
cartesianas:
F :

x1 − x2 + x3 − 2x4 = 0
2x1 − x2 + 2x3 = 0
x1 + x2 − x3 + 3x4 = 0
Hallar unas ecuaciones cartesianas del subespacio conjugado o anulador F 0,
en la base B∗.
2. Sea E espacio vectorial sobre el cuerpo K y F subespacio de E. Demostrar
que F 0 = {f ∈ E∗ : f(x) = 0 ∀x ∈ F} es subespacio de E∗.
3. Sea E espacio vectorial sobre el cuerpo K, F subespacio de E y BF =
{u1, . . . , ur} base de F. Demostrar que f ∈ F 0 ⇔ f(u1) = . . . = f(ur) = 0.
Solución. 1. Llamemos B = {e1, e2, e3, e4}, B∗ = {f1, f2, f3, f4}. Usando
el conocido método para hallar una base de un subespacio dado por unas
ecuaciones cartesianas, obtenemos la base de F : BF = {(1, 8, 3,−2)} (en
coordenadas en B), es decir:
BF = {e1 + 8e2 + 3e3 − 2e4}.
Todo vector f del dual de R4 es de la forma f = x∗1f1 + x∗2f2 + x∗3f3 + x∗4f4
con x∗i ∈ R. Entonces,
f ∈ F 0 ⇔ f(e1 + 8e2 + 3e3 − 2e4) = 0
⇔ (x∗1f1 + x∗2f2 + x∗3f3 + x∗4f4)(e1 + 8e2 + 3e3 − 2e4) = 0
⇔ x∗1 + 8x∗2 + 3x∗3 − 2x∗4 = 0.
Unas ecuaciones pedidas son por tanto
F 0 : x∗1 + 8x
∗
2 + 3x
∗
3 − 2x∗4 = 0.
2. La forma lineal nula 0 : E → K satisface 0(x) = 0 para todo x ∈ F, por
tanto pertenece a F 0. Para todo f, g ∈ F 0 y para todo x ∈ F :
(f + g)(x) = f(x) + f(x) = 0 + 0 = 0,
luego f + g ∈ F 0. Por último, para todo λ ∈ K, para todo f ∈ F 0 y para
todo x ∈ F :
(λf)(x) = λf(x) = λ0 = 0,