problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (384)

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10.26 Interpolación en el espacio dual
< f0, p(x) >= p(0), < f1, p(x) >= p
′(0), < f2, p(x) >= p
′′(0).
Estas formas lineales son una base del espacio dual V ∗.
1. Encontrar una base de V cuya dual sea la base {f0, f1, f2}. Encontrar un
polinomio q(x) (de V ) tal que q(0) = 0!, q′(1) = 1!, q′′(0) = 2!.
2. Encontrar un polinomio r(x) (de V ) tal que
r(0) = 0!
r′(0) + r′′(0) = 1! + 2!
r(0) + r′(0) + r′′(0) = 0! + 1! + 2!.
¿Queda r(x) determinado uńıvocamente por las condiciones anteriores? En
V , se consideran las formas lineales g0, g1, g2 : V → R definidas por
< g0, p(x) >= p(0)
< g1, p(x) >= p
′(0) + p′′(0)
< g2, p(x) >= p(0) + p
′(0) + p′′(0).
¿ Son una base de V ∗?
Sea ahora E un espacio vectorial real de dimensión n+1 y h0, h1, h2, . . . , hn,
n+1 formas lineales en E, hi : E → R y sean z0, z1, z2, . . . , zn, n+1 números
reales. Se denomina problema de interpolación al siguiente:
Encontrar un elemento v de E tal que
< h0, v >= z0, < h1, v >= z1, < h2, v >= z2, . . . < hn, v >= zn
Aśı pues, los los problemas de los apartados 1. y 2. son problemas de inter-
polación.
3. Demostrar que una condición suficiente para que un problema de in-
terpolación tenga solución y sea única, para cada conjunto de números
z0, z1, z2, . . . , zn es que las formas lineales h0, h1, h2, . . . , hn sean una base
de E∗. Indicación: Expresar la posible solución en la base de E cuya dual
es h0, h1, h2, . . . , hn.
4. ¿Esta condición es también necesaria? Dar una demostración o un con-
traejemplo.
En el espacio V de los apartados 1. y 2. se considera la base s0(x) = 1,
s1(x) = 1 + x, s2(x) = 1 + x+ x
2.
5. Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣
< f0, s0 > < f1, s0 > < f2, s0 >
< f0, s1 > < f1, s1 > < f2, s1 >
< f0, s2 > < f1, s2 > < f2, s2 >
∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣
< g0, s0 > < g1, s0 > < g2, s0 >
< g0, s1 > < g1, s1 > < g2, s1 >
< g0, s2 > < g1, s2 > < g2, s2 >
∣∣∣∣∣∣ .