problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (405)

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Caṕıtulo 11. Valores y vectores propios
Razonando análogamente obtenemos BV−i = {u1 + (1 + i)u2}.
4. (a) Valores propios∣∣∣∣∣∣
1− λ −3 3
3 −5− λ 3
6 −6 4− λ
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
−2− λ −3 3
−2− λ −5− λ 3
0 −6 4− λ
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
−2− λ −3 3
0 −2− λ 0
0 −6 4− λ
∣∣∣∣∣∣ = (−2− λ)2(4− λ)
(hemos sumado a la primera columna la segunda y posteriormente hemos
restado a la segunda fila la primera). Los valores propios son λ = 4 (simple)
y λ = −2 (doble).
(b) Subespacios propios:
V4 ≡

−3x1 − 3x2 + 3x3 = 0
3x1 − 9x2 + 3x3 = 0
6x1 − 6x2 = 0
, V−2 ≡

3x1 − 3x2 + 3x3 = 0
3x1 − 3x2 + 3x3 = 0
6x1 − 6x2 + 6x3 = 0.
Al ser λ = 4 valor propio simple, dimV4 = 1 y una base de V4 (en coordena-
das en B) es {(1, 1, 2)t}. Por tanto, una base de V4 es BV4 = {u1 +u2 +2u3}.
La dimensión de V−2 es
dimV−2 = 3− rg
3 −3 33 −3 3
6 −6 6
 = 3− 1 = 2,
y una base de V4 (en coordenadas en B) es {(1, 1, 0), (−1, 0, 1)}. Por tanto,
una base de V−2 es BV−2 = {u1 + u2,−u1 + u3}.
5. (a) Para todo α, β ∈ R, para todo X,Y ∈ E y usando conocidas propie-
dades de la trasposición:
f(αX + βY ) = (αX + βY )t = αXt + βY t = αf(X) + βf(Y ).
Es decir, f es lineal.
(b) Consideremos la base canónica B = {u1, u2, u3, u4} de E :
u1 =
[
1 0
0 0
]
, u2 =
[
0 1
0 0
]
, u3 =
[
0 0
1 0
]
, u4 =
[
0 0
0 1
]
.
Hallando los transformados de los elementos deB y trasponiendo coeficientes
obtenemos la matriz A pedida:
f(u1) = u1
f(u2) = u3
f(u3) = u2
f(u4) = u4
⇒ A =

1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
 .