problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (419)

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Caṕıtulo 11. Valores y vectores propios
La matriz es diagonalizable.
Cuarto caso: λ1 6= λ2 6= λ3 6= λ1. Es decir, los valores propios son distintos
dos a dos. Esto ocurre para α 6= 0 ∧ α 6= −2 ∧ α 6= 1. Los tres valores
propios son simples, y en consecuencia A es diagonalizable.
De todos los casos analizados concluimos que A es diiagonalizable si y sólo
si α 6= 0.
2. Polinomio caracteŕıstico de A :∣∣∣∣∣∣
5− λ 0 0
0 −1− λ β
3 0 α− λ
∣∣∣∣∣∣ = (5− λ)(−1− λ)(α− λ).
Los valores propios son λ1 = 5, λ2 = −1 y λ3 = α (todos reales).
Primer caso: λ1 = λ2. Equivale a 5 = −1, por tanto éste caso no ocurre.
Segundo caso: λ1 = λ3. Equivale a 5 = α. Los valores propios son 5 (doble)
y −1 (simple). La dimensión de V−1 es 1 por ser −1 simple. La dimensión
de V5 es
dimV5 = 3− rg (A− 5I) = 3− rg
0 0 00 −6 β
3 0 0
 = 3− 2 = 1.
La dimensión no coincide con la multiplicidad, por tanto A no es diagonali-
zable.
Tercer caso: λ2 = λ3. Equivale a −1 = α. Los valores propios son 5 (simple)
y −1 (doble). La dimensión de V5 es 1 por ser 5 simple. La dimensión de
V−1 es
dimV−1 = 3− rg (A+ I) = 3− rg
6 0 00 0 β
3 0 0
 .
Si β = 0 tenemos dimV−1 = 3 − 1 = 2 y A es diagonalizable. Si β 6= 0
tenemos dimV−1 = 3− 2 = 1 y A no es diagonalizable.
Podemos concluir:
(α 6= 5) ∧ (α 6= −1) : diagonalizable
α = 5 : no diagonalizable
α = −1
{
β = 0 : diagonalizable
β 6= 0 : no diagonalizable.
3. Valores propios∣∣∣∣∣∣
1− λ a 1
0 1− λ b
0 0 c− λ
∣∣∣∣∣∣ = (1− λ)2(c− λ) = 0⇔ λ = 1 ∨ λ = c.