problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (466)

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12.8 Forma canónica del operador derivación
(Propuesto en examen, Álgebra , ETS Ing. Montes, UPM).
Solución. Hallemos los transformados por D de los elementos de la base
B = {1, x, x2, . . . , xn} de V
D(1) = 0, D(x) = 1, D(x2) = 2x, . . . , D(xn) = nxn−1.
Transponiendo coeficientes obtenemos la matriz cuadrada de orden n + 1
pedida
A =

0 1 0 . . . 0
0 0 2 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
0 0 0 . . . n
0 0 0 . . . 0

El polinomio caracteŕıstico de D es χ(λ) = λn+1, por tanto λ = 0 es el único
valor propio y su multiplicidad algebraica es n+ 1. Obviamente det(A) = 0
y eliminando la primera columna y última fila de A obtenemos una subma-
triz con determinante n!, lo cual implica que rgA = n. En consecuencia la
multiplicidad geométrica de λ = 0 es (n+ 1)− n = 1 (una caja ) y la forma
canónica de Jordan de D es
A∗ =

0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
0 0 0 . . . 1
0 0 0 . . . 0

Una base B∗ = {p1(x), p2(x), . . . , pn+1(x)} de V tal que la matriz de D
respecto de B∗ es A∗ ha de cumplir
D[p1(x)] = 0
D[p2(x)] = p1(x)
D[p3(x)] = p2(x)
. . .
D[pn+1(x)] = pn(x).
Teniendo en cuenta que D es el operador derivación, una base B∗ cumpliendo
las condiciones anteriores es
B∗ = {1, x , x2/2 , x3/(2 · 3) , x4/(2 · 3 · 4) , . . . , xn/(n!)}.