Formas canónicas complejas de Jordan pdf

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Caṕıtulo 6
Formas canónicas de Jordan
6.1 Subespacios propios generalizados
Introducción. En el caṕıtulo anterior se han estudiado los endomorfismos diagonalizables y se han
dado condiciones necesarias y suficientes para que un endomorfismo de V sea diagonalizable. Dicha
diagonalización se llevó a cabo a través de los subespacios propios pero estos resultan insuficientes
cuando el endomorfismo no sea diagonalizable.
Nos proponemos en este caṕıtulo encontrar ciertos subespacios invariantes de modo que V sea su-
ma directa de ellos y, de este modo, aplicando el teorema 5.1.5 encontrar una base respecto de la
cual f sea diagonalizable por cajas. Intentaremos, a su vez, que estas cajas sean lo ”más sencillas
posibles”. Dichas cajas o bloques serán definidos próximamente aśı como los citados subespacios
invariantes.
Convenios y notaciones. En el presente caṕıtulo convendremos en lo siguiente:
• V representará a un espacio vectorial sobre C de dimensión n.
• B = {u1,u2, . . . ,un} será una base de V .
• f ∈ End(V ) representará a un endomorfismo de V .
• λ1, λ2, . . . , λr serán los autovalores distintos de f y sus multiplicidades respectivas serán
m1,m2, . . . ,mr. Recordemos que, sobre C, se verifica que
∑r
i=1 mi = n.
Definición 6.1.1 Llamaremos subespacios asociados al autovalor λi de multiplicidad mi o subes-
pacios propios generalizados asociados a dicho autovalor a los subespacios de V definidos por
Vji = Vj(λi) = ker(λi1V − f)j , (j = 0, 1, 2, . . .).
Para cada 1 ≤ i ≤ r, la dimensión de Vji será notada por nji.
Nota. Para la siguiente proposición y con el objeto de simplificar las notaciones, adoptaremos los
siguientes acuerdos:
• λ será un autovalor de f de multiplicidad m.
• Los subespacios asociados a dicho autovalor, serán notados por
Vj = ker(λ1V − f)j .
117
6.1 SUBESPACIOS PROPIOS GENERALIZADOS 118
• Por último, será nj = dim(Vj).
Proposición 6.1.1 La sucesión {Vj , (j = 0, 1, 2, . . .)}, verifica las siguientes propiedades:
1. V0 = {0}.
2. Vj ⊂ Vj+1.
3. Vj es invariante por f .
4. x ∈ Vj ⇐⇒ (λ1V − f)(x) ∈ Vj−1
5. Si existe un j tal que Vj = Vj+1, entonces Vj = Vj+k, (k ≥ 0).
6. ∃s, 0 < s ≤ n tal que
{0} V1 V2 . . . Vs = Vs+1 = . . .
7. 0 < n1 < n2 < . . . < ns = ns+1 = . . .
Demostración
1. V0 = ker(λ1V − f)0 = ker(1V ) = {0}.
2. x ∈ Vj =⇒ (λ1V − f)j(x) = 0 =⇒ (λ1V − f)[(λ1V − f)j(x)] = 0 =⇒ (λ1V − f)j+1(x) =
0 =⇒ x ∈ Vj+1.
3. Hay que probar que ∀x ∈ Vj , f(x) ∈ Vj . En efecto,
x ∈ Vj
(2)
=⇒ x ∈ Vj+1 =⇒ (λ1V − f)j+1(x) = 0 =⇒ (λ1V − f)j [(λ1V − f)(x)] = 0 =⇒
(λ1V − f)j(λx)︸ ︷︷ ︸
0
−(λ1V − f)j(f(x)) = 0 =⇒ (λ1V − f)j(f(x)) = 0 =⇒ f(x) ∈ Vj .
4. x ∈ Vj ⇐⇒ (λ1V −f)j(x) = 0 ⇐⇒ (λ1V −f)j−1[(λ1V −f)(x)] = 0 ⇐⇒ (λ1V −f)(x) ∈ Vj−1.
5. Bastará probar que Vj = Vj+1 =⇒ Vj+1 = Vj+2.
⊂ Es claro, ya que por (2) Vj+1 ⊂ Vj+2.
⊃ x ∈ Vj+2
(4)
=⇒ (λ1V − f)(x) ∈ Vj+1
p.h.
= Vj
(4)
=⇒ x ∈ Vj+1.
6. Obsérvese que en el apartado anterior se demuestra que si dos subespacios consecutivos, aso-
ciados al autovalor λ son iguales, lo son todos los siguientes. Esto es consecuencia inmediata
de (2) y de que ∀j, dim(Vj) ≤ dim(V ) y, por consiguiente, la sucesión V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . . no
puede “crecer”1 indefinidamente. Sea pues s el menor entero positivo tal que Vs = Vs+1. Es
claro que 0 < s ≤ n y que
{0} V1 V2 . . . Vs = Vs+1 = . . . .
7. Como consecuencia inmediata de lo anterior, si ni = dim(Vi), debe ser
0 < n1 < n2 < . . . < ns = ns+1 = . . . .
1No puede ser estrictamente creciente, en el orden inducido por la inclusión de conjuntos.
dto. de álgebra
6.1 SUBESPACIOS PROPIOS GENERALIZADOS 119
Definición 6.1.2 Al subespacio Vs, tal que s es el menor entero positivo que verifica que
Vs = Vs+1 = Vs+2 = . . . ,
recibe el nombre de subespacio maximal asociado al autovalor λ.
Lema 6.1.1 Sea {0} V1 V2 . . . Vs = Vs+1 = . . . la sucesión se subespacios asociados al
autovalor λ de f . Consideremos la aplicación,
Φ : Vj+1/Vj −→ Vj/Vj−1
definida por
∀x ∈ Vj+1, Φ(x + Vj) = (λ1V − f)(x) + Vj−1.
La aplicación Φ verifica que:
1. Φ está bien definida.
2. Φ es lineal.
3. Φ es inyectiva.
Demostración Es fácilmente comprobable que Φ está bien definida y es una aplicación lineal.
Veamos que, en efecto, es inyectiva.
x+Vj ∈ ker(Φ) ⇐⇒ Φ(x+Vj) = 0+Vj−1 ⇐⇒ (λ1V −f)(x)+Vj−1 = 0+Vj−1 ⇐⇒ (λ1V −f)(x) ∈
Vj−1
(4)⇐⇒ x ∈ Vj ⇐⇒ x + Vj = 0 + Vj .
De donde deducimos que:
ker(Φ) = {0 + Vj}.
O bien,
Φ(x+ Vj) = Φ(y + Vj) =⇒ (λ1V − f)(x) + Vj−1 = (λ1V − f)(y) + Vj−1 =⇒ (λ1V − f)(x)− (λ1V −
f)(y) ∈ Vj−1 =⇒ (λ1V − f)(x− y) ∈ Vj−1
(4)
=⇒ x− y ∈ Vj =⇒ x + Vj = y + Vj .
Consecuencia Se verifica que
dim(Vj+1/Vj) ≤ dim(Vj/Vj−1).
Es consecuencia inmediata de ser la aplicación Φ inyectiva.
Proposición 6.1.2 Si
A = {x1 + Vj , x2 + Vj , . . . , xr + Vj}
es un conjunto de vectores de Vj+1/Vj linealmente independientes, entonces el conjunto de vectores
B = {(λ1V − f)(x1) + Vj−1, (λ1V − f)(x2) + Vj−1, . . . , (λ1V − f)(xr) + Vj−1}
es, igualmente, linealmente independiente en Vj/Vj−1.
Demostración Obsérvese que B es la imagen por Φ de A y que al ser Φ inyectiva, conserva la
independencia lineal.
Proposición 6.1.3 Sea λ un autovalor de f y {0} V1 V2 . . . Vs = Vs+1 = . . ., la sucesión
de subespacios asociados a dicho autovalor. Consideremos los números enteros:
pj = dim(Vj/Vj−1) = nj − nj−1, (j = 1, 2, . . .) (6.1)
Los números aśı definidos verifican:
m. iglesias
6.1 SUBESPACIOS PROPIOS GENERALIZADOS 120
1. p1 ≥ p2 ≥ . . . ≥ ps > 0 = Ps+1 = . . ..
2. p1 + p2 + . . . + ps = ns = dim(Vs).
Demostración
1. Basta recordar el apartado (7) de la proposición 6.1.1, por la cual sabemos que
si 0 < j ≤ s nj−1 < nj =⇒ pj > 0,
si j > s nj = ns =⇒ pj = 0,
y el corolario del lema 6.1.1, por el cual pj ≥ pj−1.
2. Es inmediato. Basta sustituir cada sumando por su valor de acuerdo con lo definido en la
igualdad 6.1.
Definición 6.1.3 Sean L1 ⊂ L2 variedades lineales de V . Decimos que los vectores
x1,x2, . . . ,xr ∈ L2
son linealmente independientes módulo L1, si
x1 + L1,x2 + L1, . . . ,xr + L1
son linealmente independientes en el cociente L2/L1.
Lema 6.1.2 Sea L0 L1 L2 . . . Ls una cadena de variedades lineales de V estrictamente
creciente y sea H el siguiente conjunto de vectores de V :
H :

x11,x12, . . . ,x1t1 ∈ L1 l.i. mód. L0
x21,x22, . . . ,x2t2 ∈ L2 l.i. mód. L1
...
...
...
...
xs1,xs2, . . . ,xsts ∈ Ls l.i. mód. Ls−1
Se verifica que H es un conjunto de vectores linealmente independientes.
Demostración Partamos de la relación
t1∑
j=1
α1jx1j +
t2∑
j=1
α2jx2j + . . . +
ts∑
j=1
αsjxsj = 0 (6.2)
⇓
ts∑
j=1
αsjxsj = −
t1∑
j=1
α1jx1j − . . .−
ts−1∑
j=1
αs−1jxs−1j︸ ︷︷ ︸
Ls−1
.
Tomando clases módulo Ls−1 se tendrá:
ts∑
j=1
αsj(xsj + Ls−1) = 0 + Ls−1,
de donde deducimos que αsj = 0, (j = 1, . . . , ts), por ser xs1, . . . ,xsts l.i. módulo Ls−1.
Sustituyendo en 6.2 y repitiendo el razonamiento tomando, sucesivamente, clases módulo Ls−2, Ls−3, . . . , L0
obtendremos que todos los coeficientes de 6.2 son nulos y, por consiguiente, H es un conjunto de
vectores l.i. como se queŕıa demostrar.
dto. de álgebra
6.2 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN 121
6.2 Construcción de un bloque de Jordan
Definición 6.2.1 Sea f ∈ End(V ) y λ un autovalor de f :
1. Llamamos caja o bloque elemental de Jordan de orden r asociada al autovalor λ y la notaremos
por Jr, a la matriz de orden r × r definida por:
J1 = (λ), Jr =

λ 1 0 . . . 0
0 λ 1 . . . 0
...
...
. . . · · ·
...
0 0 . . . λ 1
0 0 . . . 0 λ
 , si r > 1.
2. Sea Vs el subespacio maximal asociado al autovalor λ. Llamamos Bloque de Jordan asociado
a dicho autovalor, a la matriz Jλ que verifique:
• Jλ ∈M(ns × ns,C)
• Jλ es diagonal por cajas, siendo éstas, cajas o bloques elementales de Jordan.
El número de cajas elementales de un bloque de Jordan, será también objeto de nuestro
estudio.
A continuación damos un algoritmo para la construcción de una base de Vs, subespacio maximal
asociado al autovalor λ de fy, a partir de ella, construiremos el bloque de Jordan correspondiente.
Téngase en cuenta que Vs es invariante por f y que, por ello, la restricción de f a Vs es, igualmente,
un endomorfismo de Vs. En realidad, si Cs es la base de Vs calculada mediante el algoritmo que
damos seguidamente, demostraremos que MCs(f |Vs), es un bloque de Jordan.
Proposición 6.2.1 Si Vs es el subespacio maximal asociado al autovalor λ, existe una base de Vs
respecto de la cual la matriz de la restricción de f a Vs es un bloque de Jordan. En otras palabras,
existe una base Cs de Vs tal que MCs(f |Vs), es un bloque de Jordan.
Demostración Sea V1, V2, . . . , Vs los subespacios asociados al autovalor λ y B1,B2, . . . ,Bs sus
bases respectivas. La base de Vs construida mediante el siguiente algoritmo cumple las condiciones
de la proposición.
Vs vs1, . . . ,v
s
ps
↓ –(λ1V − f)
Vs−1 vs−11 , . . . ,v
s−1
ps v
s−1
ps+1
, . . . ,vs−1ps−1
↓ –(λ1V − f) ↓ –(λ1V − f)
...
...
... . . .
↓ –(λ1V − f) ↓ –(λ1V − f)
V2 v21, . . . ,v
2
ps v
2
ps+1, . . . ,v
2
ps−1 . . . v
2
p3+1
, . . . ,v2p2
↓ –(λ1V − f) ↓ –(λ1V − f) . . . ↓ –(λ1V − f)
V1 v11, . . . ,v
1
ps v
1
ps+1, . . . ,v
1
ps−1 . . . v
1
p3+1
, . . . ,v1p2 v
1
p2+1
, . . . ,v1p1
Supuesto que B1,B2, . . . ,Bs son bases de V1, V2, . . . , Vs, respectivamente, construiremos la tabla
anterior dando los siguientes pasos:
m. iglesias
6.2 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN 122
• Paso 1. La primera fila Vs, se ha construido tomando ps vectores de Bs que sean l.i. módulo
Vs−1. Es decir: de modo que {vs1, . . . , vsps} ∪ Bs−1 sea una base de Vs.
• Paso 2. Aplicamos a los vectores de la fila anterior el endomorfismo −(λ1V − f) y, seguida-
mente, ampliamos el conjunto aśı obtenido con vectores de Bs−1 hasta obtener ps−1 vectores
de Vs−1 l.i. módulo Vs−2. Es decir, de modo ampĺıen la base Bs−2 a una base de Vs−1.
• ...
• Paso s − 1. Aplicamos a los vectores de la fila anterior el endomorfismo −(λ1V − f) y,
seguidamente, ampliamos el conjunto aśı obtenido con vectores de B2 hasta obtener p2 vectores
de V2 l.i. módulo V1. Es decir, de modo ampĺıen la base B1 a una base de V2.
• Paso s. Aplicamos a los vectores de la fila anterior el endomorfismo −(λ1V − f) y, seguida-
mente, ampliamos el conjunto aśı obtenido con vectores de B1 hasta obtener p1 vectores de
V1 que sean l.i.
Observaciones
1. En total se han construido ps +ps−1 + . . .+p1 = ns = dim(Vs) vectores de Vs que, por la pro-
posición 6.1.2 y el lema 6.1.2, son linealmente independientes y, en consecuencia, constituyen
una base de Vs.
2. Cada columna de la tabla, tomados sus elementos de abajo hacia arriba, llamada tramo o blo-
que elemental de base de Jordan, determina una caja o bloque elemental de Jordan asociado
al autovalor λ.
En efecto, sea {v1,v2, . . . ,vr}, (r ≤ s) una columna completa tomada, insistimos, de abajo
hacia arriba. Por construcción, sabemos que:
Vr vr
↓ –(λ1V − f)
Vr−1 vr−1
↓ –(λ1V − f)
...
...
↓ –(λ1V − f)
V2 v2
↓ –(λ1V − f)
V1 v1
↓ –(λ1V − f)
0

Es decir,
−(λ1V − f)(vr) = vr−1,
−(λ1V − f)(vr−1) = vr−2,
...
...
...
−(λ1V − f)(v3) = v2,
−(λ1V − f)(v2) = v1,
−(λ1V − f)(v1) = 0,
de donde
f(v1) = λv1 ,
f(v2) = v1 + λv2,
f(v3) = v2 + λv3,
...
...
...
f(vr) = vr−1 + λvr.
dto. de álgebra
6.3 FORMAS CANÓNICAS DE JORDAN 123
Restringiéndonos al bloque de base {v1,v2, . . . ,vr}, obtenemos la caja elemental de Jordan:
λ 1
λ 1
. . . . . .
λ 1
λ
 ∈M(r × r, K)
3. Del punto anterior deducimos que el número de cajas o bloques elementales de Jordan, es
igual al número de columnas de la tabla dada por el algoritmo anterior. Hay, por tanto:
ps cajas elementales de dimensión s× s,
ps−1 − ps id. id. (s− 1)× (s− 1),
...
...
...
...
p2 − p3 id. id. 2× 2,
p1 − p2 id. id. 1× 1.
4. A la base de Vs aśı construida (columnas de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba le
llamaremos bloque de base de Jordan correspondiente al autovalor λ. Es decir, a la base de
Vs,
Cs = {v11, . . . ,vs1, . . . ,v1ps , . . . ,v
s
ps , . . . ,v
1
p2+1 . . .v
1
p1}.
Nótese que si restringimos el endomorfismo f de V al subespacio Vs, se tiene que la matriz
MCs(f |Vs) es un bloque de Jordan asociado a λ.
6.3 Formas canónicas de Jordan
Nuestro objetivo en la presente sección es probar que V es suma directa de los subespacios maxi-
males asociados a los autovalores del endomorfismo f . De este modo, si para cada autovalor hemos
calculado una base según el algoritmo descrito en la proposición 6.2.1, la unión de dichas bases es
una base de V respecto de la cual la matriz de f será diagonal por bloques de Jordan. Tal matriz
será llamada forma canónica de Jordan asociada al endomorfismo f y la base correspondiente será
denominada “base canónica de V para f”.
Lema 6.3.1 Sea λ un autovalor de f y α ∈ C, (α 6= λ). Se verifica que
x ∈ Vj \ Vj−1 =⇒ (α1V − f)(x) ∈ Vj \ Vj−1.
Demostración Sea x ∈ Vj \ Vj−1, se tiene que:
(α1V − f)(x) = (α1V − λ1V + λ1V − f)(x) = (α− λ)x︸ ︷︷ ︸
Vj\Vj−1
+(λ1V − f)(x)︸ ︷︷ ︸
Vj−1⊂Vj
∈ Vj \ Vj−1,
de donde
(α1V − f)(x) ∈ Vj \ Vj−1.
Corolarios Si Vs es el subespacio maximal asociado al autovalor λ, α 6= λ, y x ∈ Vj \ Vj−1,
(j = 1, . . . , s) se verifica que:
1. (λ1V − f)s(x) = 0.
m. iglesias
6.3 FORMAS CANÓNICAS DE JORDAN 124
2. (α1V − f)j(x) ∈ Vj \ Vj−1.
3. (α1V − f)j(x) 6= 0.
Lema 6.3.2 Sean Vs1 , Vs2 , . . . , Vsr los subespacios maximales asociados a los autovalores λ1, λ2, . . . , λr
de f y sea xj ∈ Vsj \ {0}, (j = 1, . . . , r). Se verifica que
{x1,x2, . . . ,xr} es l.i.
Demostración Procederemos por inducción sobre r.
• Para r = 1, x1 es l.i.
• Para r = 2.
Consideremos la relación,
α1x1 + α2x2 = 0 (6.3)
y apliquemos a los dos miembros el endomorfismo (λ21V − f)s2 .
Teniendo en cuenta los corolarios del lema anterior se tendrá que
α1(λ21V − f)s2(x1) = 0 =⇒ α1 = 0.
Sustituyendo en 6.3, obtenemos que α2 = 0 y, por consiguiente, {x1,x2} l.i.
• Supongamos el lema cierto para cualquier sistema y1,y2, . . . ,yr−1 de vectores donde yj ∈
Vsj \ {0}.
• Prueba para r. Partamos de la relación
α1x1 + α2x2 + . . . + αrxr = 0. (6.4)
Apliquemos a los dos miembros de 6.4 el endomorfismo (λr1V − f)sr . De acuerdo con el
corolario 1 y 2 del lema anterior será
α1(λr1V − f)sr(x1) + α2(λr1V − f)sr(x2) + . . . + αr−1(λr1V − f)sr(xr−1) = 0.
Como (λr1V −f)sr(xj) ∈ Vsj \{0}, (j = 1, . . . , r−1), deducimos por la hipótesis de inducción
que estos vectores son l.i. y, por consiguiente, que αj = 0, (j = 1, . . . , r− 1). Sustituyendo en
6.4 obtenemos que αr = 0 y, por tanto, los vectores x1,x2, . . . ,xr son l.i.
Corolario Si Vs1 , Vs2 , . . . , Vsr son los subespacios maximales asociados a los autovalores λ1, λ2, . . . , λr
de f , se verifica que la suma Vs1 + Vs2 + . . . + Vsr es directa.
Demostración Bastará probar que
Vs1 ∩
r∑
i=2
Vsi = {0}.
En efecto,
x1 ∈ Vs1 ∩
r∑
i=2
=⇒ x1 ∈ Vs1 , x1 ∈
r∑
i=2
Vsi =⇒ ∃xi ∈ Vsi (i = 2, . . . , r) |x1 = x2 + . . . + xr.
Expresión, esta última, que indica que los vectores x1,x2, . . . ,xr son linealmente dependientes, en
contradicción con el lema. Luego debe ser x1 = 0. Análogamente para i = 2, . . . , r.
dto. de álgebra
6.3 FORMAS CANÓNICAS DE JORDAN 125
Proposición 6.3.1 Si Vsi el subespacio maximal asociado al autovalor λi de f , se verifica que
dim(Vsi) = nsi = mi,
donde mi es la multiplicidad algebraica del autovalor λi.
Demostración Sea dim(Vsi) = nsi y Ci = {ui1,ui2, . . . ,uinsi} una base de Vsi construida mediante
el algoritmo de la proposición 6.2.1.
Sea B = {ui1,ui2, . . . ,uinsi ,unsi+1, . . . ,un} una base de V obtenida prolongando la base Ci. La
matriz de f respecto de B será de la forma,
A =
(
Jλi P
0 Q
)
,
donde Jλi es un bloque de Jordan asociado a λi de orden nsi × nsi . El polinomio caracteŕıstico de
f será pues,
|λI −A| =
∣∣∣∣ λI − Jλi −P0 λI −Q
∣∣∣∣ = (λ− λi)nsi |λI −Q|.
Procedamos al absurdo. Supongamos que m > nsi con lo cual λi deberá ser solución de la ecuación
|λI − Q| = 0. Esdecir, λi debe ser un autovalor de la matriz Q. Veamos que esto no es posible.
Para ello construyamos un endomorfismo cuya matriz respecto de una cierta base sea, exactamente,
la matriz Q.
Consideremos el espacio cociente V/Vsi . Tomemos como base de este espacio
B′ = {uinsi+1 + Vsi , . . . ,uin + Vsi},
donde {uinsi+1, . . . ,uin} es la prolongación de Ci a la base B de V .
Consideremos la aplicación
ϕ : V/Vsi −→ V/Vsi
definida por:
∀x ∈ V, ϕ(x + Vsi) = f(x) + Vsi .
Es fácilmente comprobable que ϕ está está bien definida y es lineal. Es pues un endomorfismo de
V/Vsi . Además, claramente se verifica que MB′(ϕ) = Q.
Veamos que ϕ no posee el autovalor λi y que, por consiguiente, λi no es solución de la ecuación
|λI −Q| = 0.
En efecto, si λi fuese un autovalor de ϕ, existiŕıa a + Vsi 6= 0 + Vsi , (a /∈ Vsi) tal que
ϕ(a + Vsi) = λi(a + Vsi).
Es decir,
f(a) + Vsi = λia + Vsi ,
de donde
λia− f(a) ∈ Vsi =⇒ (λ1V − f)(a) ∈ Vsi =⇒ (λ1V − f)si [(λ1V − f)(a)] = 0 =⇒ (λ1V − f)si+1(a) =
0 =⇒ a ∈ Vsi+1 = Vsi =⇒ a ∈ Vsi =⇒ a + Vsi = 0 + Vsi .
De lo anterior deducimos que λi no puede ser autovalor de ϕ y, por consiguiente, no puede ser ráız
de su polinomio caracteŕıstico P (ϕ, λ) = |λI −Q|, con lo cual debe ser
nsi = dim(Vsi) = mi.
m. iglesias
6.3 FORMAS CANÓNICAS DE JORDAN 126
Proposición 6.3.2 Si λ un autovalor de f de multiplicidad m y Vs es el subespacio maximal
asociado a λ, se verifica que
p1 + p2 + . . . + ps = m.
Demostración Es consecuencia inmediata de la proposición anterior, teniendo en cuanta que se
ha demostrado que p1 + p2 + . . . + ps = ns = dim(Vs). (Ver proposición 6.1.3).
Definición 6.3.1 La suma p1 +p2 + . . .+ps = m, recibe el nombre de partición de la multiplicidad
m del autovalor λ de f .
Proposición 6.3.3 Si Vsi , (i = 1, . . . , r) son los subespacios maximales asociados, respectivamen-
te, a los autovalores λ1, λ2, . . . , λr, se verifica que
V = Vs1 ⊕ Vs2 ⊕ . . .⊕ Vsr .
Demostración Se tiene que:
• Por una parte, V ⊃ Vs1 ⊕ Vs2 ⊕ . . .⊕ Vsr .
• Además,
dim(Vs1 ⊕ Vs2 ⊕ . . .⊕ Vsr) =
r∑
i=1
dim(Vsi) =
r∑
i=1
mi = n = dim(V ).
De ambos puntos se deduce la proposición.
Teorema 6.3.1 Dado f ∈ End(V ), existe una base C de V respecto de la cual la matriz de f es
diagonal por cajas, siendo estas, cajas o bloques elementales de Jordan.
Demostración Sean Vs1 , Vs2 , . . . , Vsr los subespacios maximales asociados, respectivamente, a
los autovalores λ1, λ2, . . . , λr y C1, C2, . . . , Cr las bases, respectivas, de dichos subespacios obtenidas
mediante el algoritmo de la proposición 6.2.1. Sabemos que C = C1∪C2∪ . . .∪Cr es una base de V .
Es claro, después de lo demostrado anteriormente que la matriz J = MC(f) es diagonal por cajas,
y que estas son cajas o bloques elementales de Jordan.
Definición 6.3.2 La matriz J obtenida mediante la aplicación del teorema anterior se denomina
forma canónica de f y a la base C se le llama base canónica de V para f .
Corolarios
1. Si A = MB(f), existe una matriz P invertible tal que J = P−1AP .
La matriz P recibe el nombre de matriz de paso a la forma canónica de Jordan de la matriz A.
En efecto, si P = M(C,B), basta recordar que
MC(f) = M(B, C)MB(f)M(C,B),
de donde
J = P−1AP
2. La matriz de Jordan del endomorfismo f es, salvo permutación de sus autovalores, única y
depende exclusivamente de los autovalores de f , de sus multiplicidades y de la partición de
cada multiplicidad. Como es obvio, la base C y, consecuentemente, la matriz P no es única
ya que depende de las bases B1,B2, . . . ,Bs de los subespacios V1, V2, . . . , Vs asociados a cada
autovalor λ de f aśı como de la elección de los vectores para la aplicación del algoritmo de la
proposición 6.2.1.
dto. de álgebra
6.3 FORMAS CANÓNICAS DE JORDAN 127
De todo lo anteriormente expuesto se deduce con facilidad el siguiente resultado.
Teorema 6.3.2 (teorema de Jordan).
1. Dos matrices cuadradas son semejantes si y sólo si tienen la misma forma canónica de Jordan.
2. Dos endomorfismos de V son linealmente equivalentes si y sólo si tienen la misma forma
canónica de Jordan.
m. iglesias