problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (507)

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Caṕıtulo 13. Formas bilineales y cuadráticas
2) Sea la función cuadrática p(x1, x2) =
1
2
x21 + x1x2 + x
2
2 − 3x2. Aplicar el
resultado anterior para hallar el punto (α, β) donde tiene mı́nimo. Verificar
que en ese punto se anulan las derivadas parciales
∂p
∂xi
(i = 1, 2).
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).
Solución. 1) Veamos que si AX = B entonces, p(Y ) − p(X) = 1
2
[(Y −
X)tA(Y −X)]. Por una parte tenemos
p(Y )− p(X) = 1
2
Y tAY −Y tB− 1
2
XtAX +XtB =
1
2
Y tAY −Y tB+ 1
2
XtB.
La matriz XtAY es simétrica (orden 1× 1), y la matriz A es simétrica por
hipótesis. Entonces:
XtAY = (XtAY )t = Y tAtX = Y tAX = Y tB.
Desarrollando el segundo miembro de la sugerencia:
1
2
[(Y −X)tA(Y −X)] = 1
2
[(Y t−Xt)A(Y −X)] = 1
2
[(Y tA−XtA)(Y −X)]
=
1
2
[Y tAY − Y tB − Y tB +XtB] = p(Y )− p(X).
Para todo Y 6= X y teniendo en cuenta que A es definida positiva, se verifica:
p(Y )− p(X) = 1
2
[(Y −X)tA(Y −X)] > 0.
Esto implica p(Y ) > p(X) para todo Y 6= X. Como consecuencia, la función
p tiene un mı́nimo (además estricto) en X.
2) Podemos escribir
p(x1, x2) =
1
2
x21 + x1x2 + x
2
2 − 3x2 =
1
2
(x21 + 2x1x2 + 2x
2
2)− 3x2
=
1
2
(x1 x2)
(
1 1
1 2
)(
x1
x2
)
− (x1 x2)
(
0
3
)
=
1
2
XtAX −XtB.
La matriz A es simétrica y tiene sus menores principales mayores que cero,
por tanto es definida positiva. Según el apartado anterior el mı́nimo de p se
obtiene para la solución de AX = B :
AX = B ⇔
(
1 1
1 2
)(
x1
x2
)
=
(
0
3
)
⇔ (x1, x2) = (−3, 3).
Las parciales
∂p
∂x1
= x1 + x2 y
∂p
∂x2
= x1 + 2x2 − 3 se anulan en (α, β) =
(−3, 3). Esto era de esperar por un conocido resultado de Análisis.
	 Formas bilineales y cuadráticas
	 Funciones convexas y formas cuadráticas