problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (529)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
El polinomio p(t) es de segundo grado y no toma valores negativos, lo cual
implica que no puede tener dos ráıces reales distintas. En consecuencia, su
discriminante ha de ser ≤ 0 :
4 〈x, y〉2 − 4 ‖x‖2 ‖y‖2 ≤ 0.
Equivalentemente, 〈x, y〉2 ≤ ‖x‖2 ‖y‖2 , o bien
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖ ∀x, y ∈ E.
4. Para todo λ ∈ R y para todo x, y ∈ E :
1) ‖x‖ = 0⇔
√
〈x, x〉 = 0⇔ 〈x, x〉 = 0⇔ x = 0.
2) ‖λx‖2 = 〈λx, λx〉 = λ2 ‖x‖2 ⇒ ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ .
3) Desarrollemos ‖x+ y‖2 :
‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉 = 〈x, x〉+ 2 〈x, y〉+ 〈y, y〉
= ‖x‖2 + 2 〈x, y〉+ ‖y‖2 ≤ ‖x‖2 + 2 |〈x, y〉|+ ‖y‖2 .
Por la desigualdad de Schwartz, |〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖ por tanto,
‖x+ y‖2 ≤ ‖x‖2 + 2 ‖x‖ ‖y‖+ ‖y‖2 = (‖x‖+ ‖y‖)2 .
Tomando ráıces cuadradas queda ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ .
14.4. Ortogonalidad en el espacio eucĺıdeo
1. En el espacio vectorial R2[x] se considera el producto escalar
〈p(x), q(x)〉 =
∫ 1
−1
(
p(x)q(x) + p′′(x)q′′(x)
)
dx.
Comprobar que los vectores p(x) = 1+4x+x2 y q(x) = 1−x son ortogonales.
2. Sea E un espacio eucĺıdeo. Demostrar que
1) El vector 0 es ortogonal a todos los vectores de E
2) El vector 0 es el único que satisface la propiedad anterior.
3) Un vector es ortogonal a todos los vectores de un subespacio F de E si,
y sólo si es ortogonal a los de una base de F.
4) Todo subconjunto S de E formado por vectores ostogonales dos a dos y
no nulos es linealmente independiente.
3. Demostrar el teorema de Pitágoras:
Si x e y son vectores de un espacio eucĺıdeo, x ⊥ y ⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2+‖y‖2 .
	 Producto escalar
	Ortogonalidad en el espacio euclídeo