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U4: ESPACIOS VECTORIALES
En las unidades 1 y 4 vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Esto es porque las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.
A continuación, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común, que verifican los vectores geométricos y las matrices.
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación
u + v ∈ V
 u + v = v + u
(u + v) + w = u + (v + w) 
Existe un vector 0∈V tal que v + 0 = v
Para cada v en V, existe un opuesto (–v)∈V tal que 
 v + (-v) = 0
6. k. v ∈ V, k ∈ R
7. α (u + v) = α u + α v 
8. (α + β) v= α v + β v
9. α ( β v) = (α β ) v 
10. 1v = v
EL CONJUNTO V JUNTO A LA OPERACIÓN SUMA (+) DEFINIDA EN V Y JUNTO A LA OPERACIÓN PRODUCTO ( ∙ ) DE UN ESCALAR DEL CUERPO K=R POR UN ELEMENTO DE V, EL CUAL VERIFICA LOS 10 AXIOMAS, SE DENOMINA ESPACIO VECTORIAL.
u 
v
 
 • -u 
 • ku
 • 0 
u+v
V
Se anota ( V, +, K ,∙ ) 
Aclaración: La operación multiplicación de un escalar por un elemento de V, se estudiará en este curso, sobre el cuerpo K de los reales (K=R).
EJEMPLOS DE E.V.
Según las propiedades enunciadas para la suma de matrices y las propiedades del producto de un escalar por una matriz (unidad 1) , se tiene que (Mmxn, +, . ) es espacio vectorial . También se escribe (Rmxn , +, . )
Según las propiedades enunciadas para la suma de vectores y el producto de un escalar por un vector y sus propiedades (unidad 4), se tiene que (R2 , +, . ) y (R3 , + , . ) son espacios vectoriales.
Subespacios vectoriales
Definición: Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones suma de vectores y producto por un escalar definidas en V.  
 
v
u+v
 
v
w+v
w
0
u
V
W
Ejemplo 1: W = {(x, y)∈R2 : y = 4x} ¿es un subespacio de R2?
Primero analicemos el conjunto W. Son todos vectores de R2 tales que la segunda componente es el cuádruple de la primera: 
 (x, 4x) = x . (1,4). También es posible observar que W es la recta que pasa por el origen y tiene vector director (1,4), o sea W es la recta de ecuación y = 4x, o a través de su ecuación vectorial: (x, y) = t. (1,4) con t de R. Se puede probar que W es un subespacio de R2.
Ejemplo 2:  Consideremos el conjunto
 W = {(x, y, z) ∈ R3 : x - y + 3z = 0}. Es decir un plano que pasa por el origen. ¿Es un subespacio de R3?
De la ecuación del plano se deduce que: x = y –3z.
Por lo tanto los vectores que pertenecen a W responden a la forma
 (y-3z, y ,z) con  y, z ∈ R. También es fácil determinar que un vector normal al plano es n =( 1, -1, 3 ). Se puede probar que el plano definido en W es un subespacio de R3.
TEOREMA DE LAS CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES PARA SUBESPACIOS
Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V (W⊆V). W es subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
a. 0 está en W.
b. Si u y v están en W, entonces u + v está en W.
c. Si u está en W y k es un escalar, k u está en W.
 
Este teorema es una herramienta muy útil para determinar cuándo un conjunto dado es un subespacio vectorial de un espacio vectorial.
Combinación lineal
Definición: Sean v1,v2,…,vr y w vectores de un espacio vectorial V. Se dice que el vector w es una combinación lineal de los vectores v1,v2,…,vr si se puede expresar a w como sigue:
 w = k1.v1 + k2.v2 + … + kr.vr 
 donde  k1, k2 ,…, kr son escalares.
Analiza: 
¿Es el vector (2,6)  combinación lineal de los vectores (1,0), (3,3)?
Para responder esto debemos buscar si existen escalares k1  , k2 tales que: (2,6) = k1 . (1,0) + k2 .(3,3). 
K1 y k2 existen y ellos son -4 y 2. Luego (2, 6) es C.L. de los vectores dados.
Conjunto generador
Sea {v1,v2,…vr} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V.
Si todo vector del espacio V puede expresarse como combinación lineal de v1,v2,…,vr, entonces se dice que {v1,v2,…,vr} es un conjunto generador de V o también que v1,v2,…,vr generan al espacio V.
Ej: {(1,0) , (0,1)} es un conjunto generador del espacio vectorial R2 .
Subespacio generado
Definición: Dados los vectores v1,v2,…,vr en V, se llama subespacio generado por v1,v2,…,vr  al conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Se anota: gen{v1,v2,…,vr} o 
 {v ∈ V: v = α1.v1+α2.v2+…+αr.vr, con αi ∈R} 
 
Ejemplo: Las combinaciones lineales del vector (1,5) son todos los vectores de la forma k.(1, 5) = (k, 5k) con  
 k ∈ R. 
De otra forma: el subespacio generado por (1,5) es la recta que pasa por el origen y tiene la dirección de dicho vector. Es decir: (x, y) = k. (1,5), k ∈ R
Subespacio generado. Ejemplo.
Independencia lineal y dependencia lineal
 
Si  L = {v1,v2,…,vr} es un conjunto de vectores de un espacio vectorial V, entonces la ecuación 
 α1.v1+α2.v2+…+αr.vr = 0 
tiene al menos la solución trivial: α1=α2=…=αr = 0. 
Si ésta es la única solución, entonces se dice que L es un conjunto linealmente independiente. 
Si hay otras soluciones (además de la trivial) entonces L es un conjunto linealmente dependiente.
 
Algunas propiedades de dependencia e independencia lineal
P1: Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vr} de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si y solo sí al menos uno de los vectores puede expresarse como combinación lineal de los demás.
P2: Un conjunto formado por un solo vector no nulo, es linealmente independiente.
P3: Si un conjunto de vectores contiene al vector nulo, entonces es linealmente dependiente (LD).
Independencia lineal y dependencia lineal. Ejemplos.
 El conjunto {(2,2),(2,–1)} en R2, es linealmente independiente y el conjunto 
 {(2,2),(1,1)} es linealmente dependiente.
Base y dimensión de un espacio vectorial
Definición de Base de un E.V.: 
Un conjunto de vectores B={v1,v2,…,vn} de un espacio vectorial V se denomina base de V si y sólo si:
 B es linealmente independiente
 B genera a V
 Ejemplos: a. B={(2,2),(2,–1)} es una base de R2. 
 b. Otra base de R2 muy usada y conveniente es la que contiene a los vectores canónicos, es decir, C = {(1,0),(0,1)} , también llamada base canónica o base estándar de R2.
Definición de dimensión de un E.V.: 
La dimensión de un espacio vectorial V es la cantidad de vectores que contiene una base de V.
Si B={v1,v2,…,vn} es una base de V, la dimensión de V es n y se indica dim(V) = n. 
En el ejemplo anterior, dada B={(2,2),(2,–1)} base de R2 , dim (R2) = 2. 
Coordenadas de un vector respecto de una base
Teorema: Si B={v1,v2,…,vn} es una base del espacio vectorial V, todo vector de V puede expresarse de manera única como combinación lineal de los vectores de la base B.
 
Sea B={v1,v2,…,vn} base de V.
 Para cada u ∈V, existen escalares únicos α1,α2,…,αn de R tales que: u = α1v1 + α2v2 +… + αnvn.
 Estos escalares se denominan coordenadas del vector u respecto de la base B. Las coordenadas de un vector en una base B se indican: 
 
Coordenadas de un vector respecto de una base. Ejemplo.