problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (531)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
3. En R3 se considera el producto escalar
〈x, y〉 =
(
x1, x2, x3
)1 2 02 5 0
0 0 3
y1y2
y3
 .
Ortonormalizar por el método de Schmidt la base
B = {(2,−1, 0), (3, 0− 4), (2, 1, 3)}.
4. Sea E espacio eucĺıdeo de dimensión finita n. Demostrar que si la base B
de E es ortonormal, entonces para todo x, y ∈ E se verifica
〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn,
en donde (x1, . . . , xn) e (y1, . . . , yn) son los respectivos vectores de coorde-
nadas de x e y en la base B.
5. Sea {u1, . . . , um} un sistema libre de un espacio eucĺıdeo. Demostrar que
existe un sistema ortonormal {e1, . . . , em} con el mismo número de elementos
tal que
L[u1, . . . , uk] = L[e1, . . . , ek] (∀k, 1 ≤ k ≤ m).
6. Sea E un espacio eucĺıdeo de dimensión finita n y B = {u1, u2, . . . , un}
una base de E. Demostrar que B′ = {e1, e2, . . . , en} es base ortonormal de
E, siendo
e1 =
u1
‖u1‖
, e2 =
u2 − 〈u2, e1〉e1
‖u2 − 〈u2, e1〉e1‖
,
e3 =
u3 − 〈u3, e2〉e2 − 〈u3, e1〉e1
‖u3 − 〈u3, e2〉e2 − 〈u3, e1〉e1‖
,
. . .
en =
un − 〈un, en−1〉en−1 − · · · − 〈un, e1〉e1
‖un − 〈un, en−1〉en−1 − · · · − 〈un, e1〉e1‖
.
Solución. 1. Si ei = (0, . . . , 1, . . . , 0) es el i-ésimo vector de la base canónica
e i 6= j, claramente 〈ei, ej〉 = 0. Por otra parte, ‖ei‖ =
√
〈ei, ei〉 =
√
1 = 1
para todo i = 1, . . . , n.
2. Dada una base B = {u1, u2, u3} de un espacio eucĺıdeo E sabemos que la
ortonormalizada por el método de Gram-Schmidt viene dada por
e1 =
u1
‖u1‖
, e2 =
u2 − 〈u2, e1〉e1
‖u2 − 〈u2, e1〉e1‖
,