problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (536)

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14.7 Proyección ortogonal
5. Sea BF = {e1, . . . , er} una base ortonormal de F. Ampliando, obtenemos
una base de E,
B = {e1, . . . , er, ur+1, . . . , un}.
Aplicando el método de Schmidt a B, obtenemos la base ortonormal de E
B′ = {e1, . . . , er, er+1, . . . , en}.
Veamos que F⊥ = L[er+1, . . . , en], lo cual demostrará que E = F ⊕ F⊥.
Efectivamente sea x ∈ E con x = x1e1 + · · ·+ xnen, entonces
x ∈ F⊥ ⇔

〈x, e1〉 = 0
. . .
〈x, er〉 = 0
⇔

x1 = 0
. . .
xr = 0
⇔ x = xr+1er+1 + · · ·+ xnen ⇔ x ∈ L[er+1, . . . , en].
Nota. Los casos F = {0} y F = E son triviales.
14.7. Proyección ortogonal
1. En R3 con el producto escalar
〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3,
hallar la proyección ortogonal del vector x = (1, 1, 1) sobre el subespacio
F ≡ x1 + x2 + 2x3 = 0.
2. En el espacio R2[x] con el producto escalar 〈p(x), q(x)〉 =
∫ 1
0 p(x)q(x) dx
determinar la proyección ortogonal del vector x2 sobre el subespacio F =
L[1, x].
3. En el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que
2 se define el producto escalar
〈p, q〉 = 1
2
∫ 1
−1
p(x)q(x) dx.
Hallar una base ortonormal del subespacio F = L[1, x] y como aplicación,
la proyección ortogonal del vector x2 sobre F.
4. Sea E espacio eucĺıdeo de dimensión finita, F subespacio de E y pF : E →
E la aplicación que a cada vector x de E le hace corresponder su proyección
ortogonal sobre F, pF (x). Demostrar que
	 Producto escalar
	Proyección ortogonal