problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (540)

Vista previa del material en texto

14.9 Matrices ortogonales
=
1
17
√
242 + 2 · 122 + 3 · 162 =
√
1632
17
=
4
√
102
17
.
2. Usando conocidas propiedades de la norma,
1) d(x, y) = 0⇔ ‖x− y‖ = 0⇔ x− y = 0⇔ x = y.
2) d(x, y) = ‖x− y‖ = ‖−(y − x)‖ = |−1| ‖y − x‖ = ‖y − x‖ = d(y, x).
3) d(x, y) = ‖x− y‖ = ‖(x− z) + (z − y)‖
≤ ‖x− z‖+ ‖z − y‖ = d(x, z) + x(z, y).
3. El vector x se puede descomponer en la forma x = pF (x) +u con u ∈ F⊥.
Entonces, para todo y ∈ F el vector pF (x) − y pertenece a F. Al ser u ⊥
(pF (x)− y) , podemos aplicar el teorema de Pitágoras. Tenemos:
d2(x, y) = ‖x− y‖2 = ‖u+ (pF (x)− y)‖2
= ‖u‖2 + ‖pF (x)− y‖2 = ‖x− pF (x)‖2 + ‖pF (x)− y‖2
= d2 (x, pF (x)) + d
2 (pF (x), y)⇒ d (x, pF (x)) ≤ d(x, y).
14.9. Matrices ortogonales
1. (a) Demostrar que una matriz A es ortogonal si, y sólo si AtA = I.
(b) Comprobar que las siguientes matrices son ortogonales:
M =
[
cosα − senα
senα cosα
]
, N =
1
3
2 −2 12 1 −2
1 2 2
 .
2. Demostrar las propiedades
(a) El producto de dos matrices ortogonales y del mismo orden es una ma-
triz ortogonal.
(b) La matriz identidad de cualquier orden es ortogonal.
(c) La inversa de una matriz ortogonal es ortogonal.
Nota. Estas propiedades garantizan que el conjunto de las matrices orto-
gonales y del mismo orden tiene estructura de grupo con respecto de la
multiplicación.
3. Demostrar las propiedades
(a) La traspuesta de una matriz ortogonal es ortogonal.
(b) El determinante de una matriz ortogonal es 1 o −1.
(c) Si λ es valor propio real de una matriz ortogonal, entonces λ = 1 o
λ = −1.
	 Producto escalar
	Matrices ortogonales