problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (578)

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14.24 Matrices de proyección y simetŕıa
14.24. Matrices de proyección y simetŕıa
1. a) Sea Km (K = R o K = C) dotado del producto escalar usual y F
un subespacio de Km. Sea BF = {e1, e2, . . . er} una base ortonormal de F.
Demostrar que la proyección ortogonal p sobre F viene dada por
p : Km → Km, p(x) = (e1e∗1 + e2e∗2 + · · ·+ ere∗r)x, con x =
x1...
xm
 .
A la matriz P = e1e
∗
1 + e2e
∗
2 + · · · + ere∗r se la llama matriz de proyección
sobre el subespacio F.
b) Como aplicación, hallar la matriz de proyección en R3 sobre F ≡ x1 +
x2 + x3.
2. Demostrar que la matriz P de proyección es idempotente y hermı́tica.
3. Sea A ∈ Km×n (K = R o K = C) una matriz con sus n columnas lineal-
mente independientes. Demostrar que la matriz A∗A es invertible.
4. a) Sea A ∈ Km×n (K = R o K = C) una matriz con sus n columnas
linealmente independientes. Sea Km dotado del producto escalar usual. De-
mostrar que la matriz de proyección P sobre el subespacio columna de A
es
P = A (A∗A)−1A∗.
b) Como aplicación, calcular la matrices de proyección P y simetŕıa S sobre
el subespacio de R4 :
F ≡

2x1 − 2x2 + x4 = 0
3x1 − 2x2 + 2x3 − x4 = 0
4x1 − 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0.
5. Sea el hiperplano de Km (K = R o K = C):
F ≡ a1x1 + · · ·+ amxm = 0.
1) Demostrar que la matriz de proyección sobre F es
P = I − NN
∗
N∗N
con N =
a1...
am
 .