2_Vectores_y_matrices - Fernando Cesar Sandoval Padilla

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2.- Vectores, matrices y determinantes 
Vector renglón de 𝒏 componentes 
Un vector renglón con 𝑛 componentes se define como un conjunto ordenado de 𝑛 
números escritos en la forma (𝑥1,𝑥2,…𝑥𝑛). 
 
Vector columna de 𝒏 componentes 
Un vector columna con 𝑛 componentes se define como un conjunto ordenado de 𝑛 
números escritos en la forma (
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
). 
 
Espacio 𝑹𝒏 
Se usa el símbolo 𝑅𝑛 para denotar el conjunto de todos los 𝑛 vectores 
(
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑛
), donde las 𝑎 ∈ ℝ para 𝑖 = 1,2,3…𝑛. 
Matriz 
Una matriz 𝐴 de 𝑚 x 𝑛 es un arreglo rectangular de 𝑚𝑛 números 
dispuestos en 𝑚 renglones y 𝑛 columnas: 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 …𝑎1𝑛
𝑎21 ...
 𝑎22...
… 𝑎2𝑛...
 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 
) 
 
El símbolo 𝑚 x 𝑛 se lee “𝑚 por 𝑛”. A menos que se establezca lo contrario 
se supondrá que los números en una matriz o vector son reales. El vector renglón 
(𝑎𝑖1,𝑎𝑖2,…, 𝑎𝑖𝑛) se llama renglón i y el vector columna (
𝑎1𝑗
𝑎2𝑗
⋮
𝑎𝑚𝑗
) se llama columna j. 
La componente o elemento ij de A, denotado por 𝑎𝑖𝑗 es el número que 
aparece en el renglón i y la columna j de A. En ocasiones se escribirá la matriz A 
como 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗). Por lo general las matrices se denotan con letras mayúsculas. 
Si 𝐴 es una matriz de 𝑚 x 𝑛, donde 𝑚 = 𝑛, se dice que 𝐴 es una matriz 
cuadrada. Una matriz de 𝑚 x 𝑛 con todos los elementos iguales a cero, se llama 
matriz cero de 𝑚 x 𝑛. Se dice que una matriz 𝑚 x 𝑛 tiene tamaño 𝑚 x 𝑛. 
14 
 
Los vectores renglón (𝑥1, 𝑥2,…, 𝑥𝑛) también son matrices de 1 x 𝑛, y de igual 
forma, los vectores columna (
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
) también son matrices de 𝑛 x 1. 
Suma de matrices 
Sea 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑦 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) dos matrices de 𝑚 x 𝑛. Entonces la suma de 𝐴 y 
𝐵, es una matriz de 𝑚 x 𝑛 tal que: 
 
𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗) = (
(𝑎11 + 𝑏11 ) (𝑎12+𝑏12 ) ⋯ (𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛 )
(𝑎21 + 𝑏21 ) (𝑎22 + 𝑏22) ⋯ (𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛)
⋮
(𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1)
⋮
(𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2)
⋮
⋯
⋮
(𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛)
) 
 
Es decir, 𝐴 + 𝐵 es la matriz 𝑚 x 𝑛 que se obtiene al sumar los componentes de 𝐴 
y 𝐵. 
Multiplicación de una matriz por un escalar 
Sea 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) una matriz de 𝑚 x 𝑛 y 𝛼 ∈ ℝ . Entonces 𝛼𝐴 es la matriz de 
𝑚 x 𝑛 tal que: 
 
𝜶𝐴 = (𝜶𝑎𝑖𝑗) = (
𝜶𝑎11 𝜶𝑎12 … 𝜶𝑎1𝑛
𝜶𝑎21 𝜶𝑎22 … 𝜶𝑎2𝑛
⋮
𝜶𝑎𝑚1
⋮
𝜶𝑎𝑚2
⋮
…
⋮
𝜶𝑎𝑚𝑛
) 
 
En otras palabras, 𝛼𝐴 = (𝛼𝑎𝑖𝑗) es la matriz obtenida al multiplicar cada 
componente de 𝐴 por 𝛼. 
Teorema 
Sean 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 tres matrices de 𝑚 x 𝑛 y sean ∝ y 𝛽 dos escalares. Entonces: 
i. 𝐴 + 0 = 𝐴 
ii. 0𝐴 = 0 
iii. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (ley conmutativa para la suma de vectores) 
iv. (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) (ley asociativa para la suma de matrices) 
v. ∝ (𝐴 + 𝐵) =∝ 𝐴+∝ 𝐵 (ley distributiva para la multiplicación por un 
escalar). 
vi. 1𝐴 = 𝐴 
vii. (∝ +𝛽)𝐴 =∝ 𝐴 + 𝛽𝐴. 
Nota: El cero en la parte i) del teorema es la matriz cero de 𝑚 x 𝑛. En la parte ii) 
el cero a la izquierda es un escalar, mientras que el cero a la derecha es la matriz 
cero de 𝑚 x 𝑛. 
15 
 
Producto escalar (interno o punto) 
Sean 𝑎 = (
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑛
) y 𝑏 = (
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
) dos 𝑛-vectores. Entonces el producto escalar 
de 𝑎 y 𝑏, denotado por 𝑎 ∙ 𝑏 esta dado por: 
𝑎 ∙ 𝑏 = (𝑎1𝑏1) + (𝑎2𝑏2) + ⋯+ (𝑎𝑛𝑏𝑛) 
Observe que el producto escalar de dos 𝑛-vectores es un escalar (es decir, un 
número). 
Teorema 
Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 tres 𝑛-vectores y sean ∝ y 𝛽 dos escalares. Entonces: 
i. 𝑎 ∙ 0 = 0 
ii. 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 (ley conmutativa del producto escalar) 
iii. 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 (ley distributiva del producto escalar) 
iv. (∝ 𝑎) ∙ 𝑏 =∝ (𝑎 ∙ 𝑏) 
Producto de matrices 
Sea 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) una matriz de 𝑚 x 𝑛 y sea 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) otra matriz de 𝑛 x 𝑝. 
Entonces el producto de 𝐴 y 𝐵, denotado por 𝐴𝐵, es una matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗) de 
𝑚 x 𝑝, tal que: 
𝐶 = (𝑐𝑖𝑗) = (𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙ó𝑛 𝑖 𝑑𝑒 𝐴) ∙ (𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑗 𝑑𝑒 𝐵) 
 
Es decir, el elemento 𝑖𝑗 de 𝐴𝐵 es el producto punto del renglón 𝑖 de 𝐴 y la 
columna 𝑗 de 𝐵. Si esto se extiende, se obtiene: 
 
𝑐𝑖𝑗 = (𝑎𝑖1𝑏1𝑗) + (𝑎𝑖2𝑏2𝑗) + ⋯+ (𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗) 
Si el número de columnas de 𝐴 es igual al número de renglones de 𝐵, entonces 
se dice que 𝐴 y 𝐵 son compatibles bajo la multiplicación. 
Ejemplo 
Sean: 
 𝑎 = (
1
2
3
) 𝑏 = (4,−1,2) 𝑐 = (
2
3
) 𝑑 = (
−2
−4
3
) 𝑒 = (
6
3
1
4
) 
𝐴 = (
−6 2
5 3
) 𝐵 = (
4 2 3
1 2 6
) 𝐶 = (
−3 5
2 7
1 3
) 𝐷 = (
4 2 3
5 1 4
3 2 5
) 𝐸 = (
−4 3
1 2
) 
Determine: 
i. 2𝑎 – 3𝑑 
16 
 
ii. 𝑏 + 𝑐 
iii. 4𝑒 – 𝑎 
iv. 2𝐴 – 3𝐸 
v. 𝐵 + 𝐶 
vi. 𝐴𝐸 
vii. 𝐸𝐴 
viii. 𝐶𝐵 
ix. 𝐵𝐶 
x. 𝐷𝐶 
Solución 
i. 2𝑎 – 3𝑑 = 2 (
1
2
3
) − 3 (
−2
−4
3
) = (
2
4
6
) + (
6
12
−9
) = (
8
16
−3
) 
ii. 𝑏 + 𝑐 = (4, −1,2) + (
2
3
) → 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 
iii. 4𝑒 – 𝑎 = 4(
6
3
1
4
) + (
2
3
) → 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 
iv. 2𝐴 – 3𝐸 = 2 (
−6 2
5 3
) − 3 (
−4 3
1 2
) 
 
 = (
−12 4
10 6
) + (
12 −9
−3 −6
) = (
0 −5
7 0
) 
v. 𝐵 + 𝐶 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 
vi. 𝐴𝐸 = (
−6 2
5 3
) (
−4 3
1 2
) = (
(24 + 2) (−18 + 4)
(−20 + 3) (15 + 6)
) = (
26 −14
−17 21
) 
 
vii. 𝐸𝐴 = (
−4 3
1 2
) (
−6 2
5 3
) = (
(24 + 15) (−8 + 9)
(−6 + 10) (2 + 6)
) = (
39 1
4 8
) 
 
viii. 𝐶𝐵 = (
−3 5
2 7
1 3
) (
4 2 3
1 2 6
) = (
−7 4 21
15 18 48
7 8 21
) 
 
ix. 𝐵𝐶 = (
4 2 3
1 2 6
) (
−3 5
2 7
1 3
) = (
−5 43
7 37
) 
 
x. 𝐷𝐶 = (
4 2 3
5 1 4
3 2 5
)(
−3 5
2 7
1 3
) = (
−5 43
−9 44
0 44
) 
 
 
 
 
17 
 
Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales 
El sistema: 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 
 
se puede representar como: 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚1
⋮
𝑎𝑚2
⋮
…
⋮
𝑎𝑚𝑛
) , 𝑥 = (
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
) 𝑏 = (
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
) 
 
Como 𝐴 es una matriz de 𝑚 x 𝑛 y 𝑥 de 𝑛 x 1, entonces el producto 𝐴𝑥 es de 
𝑚 x 1: 
𝐴𝑥 = 𝑏 
Matriz identidad 
La matriz identidad 𝐼𝑛 de 𝑛 x 𝑛 es aquella matriz cuyos elementos en la 
diagonal principal son iguales a 1 y los demás son 0; es decir: 
𝐼𝑛 = (𝑏𝑖𝑗) = {
1, 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 
0, 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗 
 
 
Teorema 
Sea 𝐴 una matriz de 𝑛 x 𝑛 entonces: 
𝐴𝐼𝑛 = 𝐼𝑛𝐴 = 𝐴 
 
Inversa de una matriz 
Sean 𝐴 y 𝐵 dos matrices de 𝑛 x 𝑛, y suponga que: 
𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 
Entonces 𝐵 se llama la inversa de 𝑨 y se denota como 𝐴−1, esto es: 
𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 
𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 
 = 𝐼𝑛 
 
Si 𝐴 tiene inversa se dice que es invertible. 
Teorema 
Sean 𝐴 y 𝐵 dos matrices invertibles de 𝑛 x 𝑛. Entonces 𝐴𝐵 es invertible y: 
(𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1𝐴−1 
 
18 
 
Ejemplo 1 
Sea 𝐴 = (
2 −3
−4 5
). Calcule 𝐴−1 si existe. 
Solución 
 
(
2 −3
−4 5
|
1 0
0 1
)
𝑅1 →
1
2
𝑅1 → (
1 −
3
2
−4 5
|
1
2
0
0 1
)
𝑅2 → 𝑅2 + 4𝑅1
 
 
(
1 −
3
2
0 −1
|
1
2
0
2 1
)
𝑅2 → −𝑅2
 → (
1 −
3
2
0 1
|
1
2
0
−2 −1
)
𝑅1 → 𝑅1 +
3
2
𝑅2 
 
 (
1 0
0 1
|
−
5
2
−
3
2
−2 −1
) 
Por lo tanto: 
𝐴−1 = (
−
5
2
−
3
2
−2 −1
) = (−
1
2
) (
5 3
4 2
) ∎ 
 
Ejemplo 2 
Sea 𝐴 = (
1 2
−2 −4
). Calcule 𝐴−1 si existe. 
Solución 
 
(
1 2
−2 −4
|
1 0
0 1
)
𝑅2 → 𝑅2 + 2𝑅1
 → (
1 2
0 0
|
1 0
2 1
) 
 
Por lo tanto, 𝐴 no tiene inversa. ∎ 
 
Determinante de una matriz de 2x2 
 
Sea 𝐴 = (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
). Entonces el determinante de 𝐴 esta dado por: 
det 𝐴 = |𝐴| = 𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12 
 
Teorema 
Si 𝐴 es una matriz de 2 x 2, entonces: 
i. 𝐴 esinvertible sí y sólo sí det 𝐴 ≠ 0. 
ii. Si det 𝐴 ≠ 0, entonces: 
 
𝐴−1 =
1
det 𝐴
(
𝑎22 −𝑎12
−𝑎21 𝑎11
) 
19 
 
Ejemplo 1 
Utilice el teorema anterior para determinar si las siguientes matrices tienen 
inversa. Si tienen inversa, calcúlela. 
a) 𝐴 = (
2 −3
−4 5
) 
 
b) 𝐵 = (
1 2
−2 −4
) 
Solución 
a) det 𝐴 = (2)(5) − (−4)(−3) = 10 − 12 = −2 ≠ 0, entonces 𝐴 es invertible y: 
 
𝐴−1 = −
1
2
(
5 3
4 2
) ∎ 
b) det 𝐴 = (1)(−4) − (−2)(2) = −4 + 4 = 0, por lo que 𝐴 no es invertible. ∎ 
 
Ejemplo 2 
Sea 𝐴 = (
2 4 6
4 5 6
3 1 −2
). Calcula 𝐴−1 si existe. 
 
Solución 
(
2 4 6
4 5 6
3 1 −2
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
𝑅1 →
1
2
𝑅1
 → (
1 2 3
4 5 6
3 1 −2
|
1
2
0 0
0 1 0
0 0 1
)𝑅2 → 𝑅2 − 4𝑅1
𝑅3 → 𝑅3 − 3𝑅1
 
(
1 2 3
0 −3 −6
0 −5 −11
|
1
2
0 0
−2 1 0
−
3
2
0 1
)𝑅2 → −
1
3
𝑅1 → (
1 2 3
0 1 2
0 −5 −11
|
1
2
0 0
2
3
−1
3
0
−
3
2
0 1
)
𝑅1 → 𝑅1 − 2𝑅2
𝑅3 → 𝑅3 + 5𝑅2
 
(
1 0 −1
0 1 2
0 0 −1
|
−
5
6
2
3
0
2
3
−1
3
0
11
6
−5
3
1
)
𝑅3 → −𝑅3
 → (
1 0 −1
0 1 2
0 0 1
|
−
5
6
2
3
0
2
3
−1
3
0
−
11
6
5
3
−1
)
𝑅1 → 𝑅1 + 𝑅3
𝑅2 → 𝑅2 − 2𝑅3 
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
−
8
3
7
3
−1
13
3
−11
3
2
−
11
6
5
3
−1
) 
 
 
 
20 
 
Por lo tanto: 
𝐴−1 =
(
 
 
−
8
3
7
3
−1
13
3
−
11
3
2
−
11
6
5
3
−1
)
 
 
= (
1
6
) (
−16 14 −6
26 −22 12
−11 10 −6
) ∎ 
Ejemplo 3 
Sea 𝐴 = (
1 −3 4
2 −5 7
0 −1 1
). Calcula 𝐴−1 si existe. 
Solución 
(
1 −3 4
2 −5 7
0 −1 1
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)𝑅2 → 𝑅2 − 2𝑅1 → (
1 −3 4
0 1 −1
0 −1 1
|
1 0 0
−2 1 0
0 0 1
)
𝑅3 → 𝑅3 − 3𝑅1
 
(
1 −3 4
0 1 −1
0 0 0
|
1 0 0
−2 1 0
−2 1 1
) 
Por lo tanto, 𝐴 no tiene inversa. ∎ 
Ejemplo 4: uso de la inversa de una matriz para resolver un sistema de 
ecuaciones lineales. 
 
Resuelva: 
2𝑥1 + 4𝑥2 + 3𝑥3 = 6 
𝑥2 − 𝑥3 = −4 
3𝑥1 + 5𝑥2 + 7𝑥3 = 7 
Solución 
A partir de que todo sistema de ecuaciones lineales se puede representar de 
la forma: 
𝐴𝑥 = 𝑏 
despejemos el vector solución 𝑥: 
 
𝐴−1𝐴𝑥 = 𝐴−1𝑏 
 
𝑥 = 𝐴−1𝑏 
donde 𝑥 = (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) , 𝐴 = (
2 4 3
0 1 −1
3 5 7
) 𝑦 𝑏 = (
6
−4
7
). Calculemos 𝐴−1 para poder 
21 
 
 
obtener los componentes del vector solución 𝑥: 
(
2 4 3
0 1 −1
3 5 7
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
𝑅1 →
1
2
𝑅1
 → (
1 2
3
2
0 1 −1
3 5 7
|
1
2
0 0
0 1 0
0 0 1
)
𝑅3 → 𝑅3 − 3𝑅1
 
(
1 2 3
2
0 1 −1
0 −1 5
2
|
1
2
0 0
0 1 0
−
3
2
0 1
)
𝑅1 → 𝑅1 − 2𝑅2
𝑅3 → 𝑅3 + 𝑅2
 → (
1 0 7
2
0 1 −1
0 0 3
2
|
1
2
−2 0
0 1 0
−
3
2
1 1
)
𝑅3 →
2
3
𝑅3
 
(
1 0 7
2
0 1 −1
0 0 1
|
1
2
−2 0
0 1 0
−1 2
3
2
3
)
𝑅1 → 𝑅1 −
7
2
𝑅3
𝑅2 → 𝑅2 + 𝑅3 → (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
4 −13
3
−
7
3
−1 5
3
2
3
−1 2
3
2
3
) 
Entonces: 
𝐴−1 =
(
 
 
4 −
13
3
−
7
3
−1
5
3
2
3
−1
2
3
2
3 )
 
 
= (
1
3
) (
12 −13 −7
−3 5 2
−3 2 2
) 
Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones está dado por: 
𝑥 = 𝐴−1𝑏 
𝑥 = (
1
3
)(
12 −13 −7
−3 5 2
−3 2 2
)(
6
−4
7
) 
𝑥 = (
1
3
) (
75
−24
−12
) 
𝑥 = (
25
−8
−4
) ∎ 
 
Transpuesta de una matriz 
Sea 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) una matriz de 𝑚 x 𝑛. Entonces las transpuesta de 𝐴 
denotada por 𝐴𝑡, es la matriz de 𝑛 x 𝑚 obtenida al intercambiar los renglones por 
las columnas de 𝐴. De manera breve, se puede escribir 𝐴𝑡 = (𝑎𝑗𝑖). En otras 
palabras, 
22 
 
sí 𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚1
⋮
𝑎𝑚2
⋮
…
⋮
𝑎𝑚𝑛
) entonces 𝐴𝑡 = (
𝑎11 𝑎21 … 𝑎𝑚1
𝑎12 𝑎22 … 𝑎𝑚2
⋮
𝑎1𝑛
⋮
𝑎2𝑛
⋮
…
⋮
𝑎𝑚𝑛
). 
Simplemente se coloca el renglón 𝑖 de 𝐴 como la columna 𝑖 de 𝐴𝑡 y la columna 𝑗 
de𝐴 como el renglón 𝑗 de 𝐴𝑡. 
Ejemplo 
Encuentre las transpuestas de la siguientes matrices: 
 
𝐴 = (
4 6
−3 1
) 
 
𝐵 = (
2 1 3
4 5 6
) 
Solución 
Al intercambiar los renglones por las columnas de cada matriz se obtiene: 
 
𝐴𝑡 = (
4 −3
6 1
) 
 
𝐵𝑡 = (
2 4
1 5
3 6
) 
 
Teorema 
Suponga que 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) es una matriz de 𝑛 x 𝑚 y 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) una matriz de 
𝑚 x 𝑝. Entonces: 
i. (𝐴𝑡)𝑡 = 𝐴 
ii. (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡 
iii. Sí 𝐴 y 𝐵 son de 𝑛 x 𝑚, entonces (𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 
iv. Si 𝐴 es invertible, entonces 𝐴𝑡 es invertible y (𝐴𝑡)−1 = (𝐴−1)𝑡 
Matriz simétrica 
Una matriz 𝐴 de 𝑛 x 𝑛, se llama simétrica si 𝐴𝑡 = 𝐴. Es decir, las columnas 
de 𝐴 son también los renglones de 𝐴. 
Ejemplo 
Las siguientes matrices son simétricas: 
 
23 
 
𝐴 = (
1 2
2 3
) 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝑡 = (
1 2
2 3
) = 𝐴 
 
𝐵 = (
−3 2 1
2 4 5
1 5 6
) 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝐵𝑡 = (
−3 2 1
2 4 5
1 5 6
) = 𝐵